席位分配

(i=1,2, … ,即m当) 总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）
Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是 B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公 平
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之
m),
一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm)
法 人数
A方 p1 B方 p2
席位 n1 n2
当p1/n1= p2/n2 时，分配公 平 若 p1/n1> p2/n2 ，对A 不公 平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15
pp22=/np1210=/0n1,10–np2=2/1n02,=5
虽二者的绝对 不公平度相同
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
系 Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系

数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。

我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。

我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。

2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。

通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。

3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。

建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。

（无论在哪方面都一样。

）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。

1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。

然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。

为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。

pi2 , i 1,2,...., s . 大的那个州, Qi ni (ni 1)
(1)先证明存在性.考虑 f ( x1 , x2 ,..., xs )
( x q ) .x R , i 1,2,..., s 显
2 i 1 i i i
s
然 f 是一个连续函数,当 ( x1 , x2 ,..., xs ) (q1 , q2 ,..., qs ) 时,fmin=0 而对于 f (n1 , n2 ,..., ns ) ，有 n1 n2 ... ns N .
* * n1 n2 n1 n 2 .


1,2,..., s且j i, s.t.n* 1,2,..., s, s.t.ni* ni . 则 j 事实上,若 i j nj,
* 因为 n N n N nl ni .从而与 ni n i 矛盾.
[qi ] 表示向 qi 方向取整， [qi ] 表示向 qi 方向取整. 这样，
[qi ] ni [qi ] , i 1,2,..., s .
关于 qi 的取值情况有且仅有两种.也就是说 f (n1 , n2 ,..., ns ) 至多存在 2 s 个正实值,并剔除那些 n1 n2 ... ns N 的情况,在剩余的这有限多 个点中,必存在最小值点,记为 f (n1, n 2, ..., n s ) .于是,我们知道,
* * n1 n1 1, n 2 n2 1 ，则：




差值 f f (n1 , n 2 , ..., n s ) f (n , n ,..., n )
* 1 * 2 * s
2

绝对不公平值
每席代表人数： p1/ n1
不公平
Байду номын сангаас程度
例： 120:10 100:10→2 例： 1020:10 1000:10→2 改进
改进
对A相对不公平值
rA ( n1 , n 2 ) = p1 p2 − n1 n2 p2 n2 p2 p1 − n2 n1 p1 n1
绝对不公平值 基数
对B
rB ( n 1 , n 2 ) =
模型分析
总人数 p=∑pi ，总席位 n=∑ni 按人数比例 p
ni = [
i
p
n ]
则 则
pi p p < ≤ i ni +1 n n
pi Qi = n i ( n i + 1)
2
例： 120:10 100:10→2 → 0.2 例： 1020:10 1000:10→2 →0.02
目标：rA, rB 尽量小
2、确定分配方案
假设 A,B 占有 n1,n2 席 不妨设 p1/n1>p2/n2 则 p1/(n1 +1)>p2/n2 == p1/(n1 +1)<p2/n2 对A不公平值(相对)
某校 共200人 20席 调整 人数比例 20席 实际分配 21席 实际分配
甲系 100 10 103 51.3 10.3 10 10.815 11
乙系 60 6 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙系 40 4 34 17 3.4 4 3.57 3
产生问题:分配不公
原因 20个,丙多占0.6 21个,不充分的席位都在增加
p2 (n1 + 1) rA(n1 +1,n2)= -1 p1n2 p1/n1 )>p2/(n2 +1)