带因子—迭代法求解暴雨强度公式参数

中国给水排水　ＣＨＩＮＡ　ＷＡＴＥＲ＆ＷＡＳｒＥＷＡＴＥＲ　Ｎ０　２　

带因子一迭代法求解暴雨强度公式参数　任伯帜　，沈良峰　，许仕荣　，王涛　，谢社平！　（１湘潭工学院土木工程系，湖南湘潭４１１２０１；２湖南大学土木工程学院，湖南长　沙４１００８２）　

摘要：在修编长沙市暴雨强度公式的实践中，通过对现有各种求解城市暴雨强度会式参数　的计算方法分析，提出应用带因子一迭代法求解　结果表明，该法不但较好地解决了非线性方程线　性化时易出现的病态问题，而且放宽了迭代初始值的选择范围，迭代收敛性较好、求解过程稳定、拟　舍精度较高，实用可行。　关键词：城市排水；暴雨强度公式；　带因子一迭代法；　非线性方程：　参数估计　中图分类号：ＴＵ８２３　６　文献标识码：Ｃ　文章编号：１０１３０—４６Ｏ２（２０Ｏ２）０２—００６３　０３　

１模型的建立　曲线拟合或科学试验中常见下列非线性方程　组：　（　，　，　，…，ｄ，）＝０（ｉ：１，２，３，…，　＂　；Ｊ＝１，２，３，…，Ｎ）　（１）　其中　（　＝１，２，３，…，Ｎ）是ｍ个参变量ｑ（ｉ　

＝１．２．３，…，　）的非线性函数　（弓，ｙＪ，　）是通过　Ｎ次试验观测所得的Ｎ组已知数据　在求解式（１）　非线性方程组的参数ｎ．时，常化为多元函数的极小　

值问题，即求与之等价的目标函数的极小值问题，从　而确定参数ｎ．：　Ｎ　Ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，Ａ）：　（　，　，ｚｌ，ａ，）　（２）　

用矩阵与向量记号表示：Ｘ＝［　．，　，　，，…，　

～　，ｙ＝［Ｙ１，Ｙ２，Ｙ３，…，　］　Ｚ：：２１，ｚ２，　３，・一，　～］　，Ａ＝［ｄｊ，ｎ　２，＆３，　…，

ｎ川］　

则有：Ｆ（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ）＝［ｆ　（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ），＾　（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ），ｆ３（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ），…，　（Ｘ，ｙ，Ｚ，　Ａ）］　则式（１）可改成：　Ｖ（ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ）＝Ｆ（Ｘ，ｙ，ｚ，Ａ）　基金项目：湖南省科技三项计划项目　Ｆ（Ｘ．Ｙ，Ｚ，Ａ）：Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，Ａ）Ｉ！（３）　为使式（２）、（３）有极小值，则需：　旦　ｏ　ａ　＝２童　（ｘ．ｙ，ｚ，Ａ　１　．　１＝Ｉ一　曼　，兰，　：ｏ　０Ｕ　（Ｊ：１，２，３，・一，Ｎ；ｉ＝１，２，３．－一，”ｚ）　即有：可Ｖ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ）＝２ＤＦ（Ｘ，Ｙ．Ｚ．Ａ）　Ｆ（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ）＝０　（４）　式中　可ｖ（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ）：［　Ａ）．　∞０　曼　！　，兰，　２…旦　！　！　．兰，　）＿　，　’　’　ＤＦ（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ）　１］’　ｏａ　Ｏａ，　一Ｏｊ（ｘ，一Ｏｆ，监…一Ｏｊｋ．　Ｉ’　２’　３’’　因Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，Ａ）是关于Ａ的非线性函数．为　此方程（４）是一个非线性方程组，一般难于直接求　

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ｆ一　

维普资讯 http://www.cqvip.com 中国给水排水　０．２　解，常采用逐次线性化处理。即设＿４　为解的初始　近似值，△Ａ为精确值与初始值之差，则有：Ａ＝Ａ　＋　，将Ｆ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ）在Ａ　附近Ｔａｙｌｏｒ展开，　并略去△４的二次及二次以上各项得：　Ｆ（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ）二Ｆ（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ　ｊ＋　ＤＦ（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ　）ｚｇＡ（５）　将式（５）代人式（３），再由式（４）得：　ＤＦ（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ　）　ＤＦ（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ．　）　４＋ＤＦ（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａｎｊ　Ｆ（Ｘ，Ｙ，Ｚ，　Ａ　．１＝０　（６）　由于Ｆ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ）复杂的非线性，由Ｔａｙｌｏｒ　展开线性化后得到的线性方程组易出现病态问题，　给式（６）求解带来困难，为此引进阻尼因子“，从而　增大［ＤＦ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ　）　ＤＦ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ０）：的主对　角元素的值，则式（６）变为：　［ＤＦ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ　）　ＤＦ（ｘ，Ｙ，ｚ，　Ａ０）＋“ｊ　Ｊ　＋ＤＦ（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ０）。　Ｆ（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ　）＝０　（７）　式中Ｊ　——ｍ×”　阶单位矩阵　ＤＦ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ　ｎ）　ＤＦ（ｘ，Ｙ，Ｚ，Ａ０）＋ｕＩ　，ｂ１　ｂ：　ｌ，ｂ　２，ｂ　３，‘。。，６　“　式中　＝　ｑＸａＪ］（Ｘ　，Ｙ，Ｚ，Ａｏ）・　（ｘ，Ｙ，ｚ，Ａ　０）　Ｉ＝也　ＤＦ（ｘ，Ｙ，ｚ，Ａ　）　Ｆ（ｘ　［ｂ１．ｂ　，ｂ　一，ｂ　］　式中６．＝∑　（ｘ，Ｙ，ｚ，Ａ０）・　０“　Ｙ，Ｚ，Ａ　）　！　，　！墨，　！　ａａ，　（ｆ＝１，２，３，・－－，ｍ；ｋ：１，２，３，…，＂　）　在迭代求解式（７）时，为放宽对初始值Ａ　的选　择，使迭代收敛或加速收敛．引入步长因子　，即解　方程组（７）得出的△Ａ，不是直接由Ａ＝Ａ　＋△Ａ计　算第一次近似值，而是把　４作为寻查方向，即改为：　Ａ＝Ａ　＋　（８）　其中步长因子　的选择应满足：　Ｖ（Ｘ，ｙ，Ｚ，Ａ　ｎ＋　ｊ＜Ｖ（Ｘ，ｌ　，Ｚ，Ａ０）　（９）　则由式（７）、（８）、（９）及求解参数的精度要求　（ｍａｘⅡ　口　＝ｎ１ａｘ△４≤Ｅ，其中ｅ为求解精　度）构成了带因子一迭代法求解参数的数学模型。　２参数的求解　将　—ｒ—　关系数据表中不同历时ｆ和不同重　现期Ｐ对应的不同雨强ｉ组成Ｎ组（ｉ　，０，岛）已知　数据组（Ｊ＝１，２，３，…，Ｎ；Ｎ＝９个历时×１１个重现　期＝９９），则将城市暴雨强度公式变形得下列方程　组：　（　，ｆ　，　，Ａ－，６，ｃ，　）　Ａｌ　：０　。　（ｔ．＋ｂ）　

即：　（ｉ．，ｆ．，　，Ａ．，ｂ，ｃ，　）＝０（　＝１，　２，３，…，～）　（１０）　式（１０）中函数，．是关于４个参数（Ａ　，ｂ，　，　）　的非线性函数，（　，０，　）为Ｎ组已知数组　对函　数　中４个参数分别求导得：　ａｆ，一　１＋ｃ　

ＯＡｌ　（ｒ．＋６）”　

ｎＡ－（１＋ｃ　）　（　．叶一６）　。　’　

Ａｌｌｇｐ．　一（『ｌ可　

—Ａｌ（１＋ｃｌｇｐ￣）ｌｎ（０　ａ　（　，＋ｂ）　

令：　ｘ＝［　］丁＝：ｉ１．　：，ｉ　一，ｉＮ］　Ｙ＝［ｒ，］　＝：ｔｌ，￡　，　３，…，　Ｎ　Ｚ＝［　：　＝［　Ｌ，　，Ｐ　３，…．Ｐ　］　Ａ一［Ａ１，ｂ，Ｃ，Ｈ：　＝［ｎ】，ｎ！，＆３，ｎ４ｒ　选择迭代初值Ａ　，由带因子一迭代求参数模型　按图１进行迭代求解。当ｍａｘＩ△Ａ≤∈时，则输出　待求参数Ａ　、ｂ、ｒ、　。　∈取值范围一般为１０～１０～；　初值赋为　０．０１；　初值赋为１；已知数据组总数Ｎ＝９９：　＝　４；选代次数ＬＰ初值赋为零；输出参数ＬＦ＝０表示　计算成功并输出参数，ＬＦ＝　１表示选代次数大于　假定的ｍａｘＬＰ时仍未收敛，可再放大ｍａ，ｘＬＰ进行　迭代，ＬＦ＝２表示“＝１００、　＝０，无法迭代下去　（可能是因为精度要求太高），改变精度要求即可继　续迭代　

维普资讯 http://www.cqvip.com 中国给水排水　Ｎｏ　２　３应用实例　４结语　湖南省长沙市有连续２５年（１９７４年－－１９９８年）　应用带因子一迭代法推求城市暴雨强度公式参　的雨量资料，每场暴雨取５、１０、１５、２０、３０、４５、６０、　数的结果表明该法是合理可行的，它具有如下特点：　９０、１２０　ｒａｉｎ　９个历时段的最大降雨强度，每年各历　①较好地克服了非线性方程线性化时易出现　时取６个雨强最大值；不分年次先后按文献［６］的从　的病态问题，使迭代求解过程稳定；　

大到小排序，选取其中４倍年份数的前面样本作为　②较好地解决了现有各种方法中迭代初始值　

统计的基础资料，按文献［６］的计算方法得出长沙市　选择的局限性，放宽了初始值的选择范围，且能做到　

的ｉ－－ｔ－－ｐ关系数据，在此基础上推求暴雨公式参　迭代收敛或加速收敛；　

得…沙市暴精度　足　煮　肝脯甜施，且　雨强度公式参数结果对比见表

１。　…一一一……　一　表１　不同方法对长沙市暴甫强度公式参数的　计算结果对比　

一＋　暴雨强度公式参数　Ｉ　。畀　．　６　

ＣＸＥ编制法　１１　５１１　１２．６４３　０　３８５　０．６５４　０　３ｏ７　１　单纯加速法　１１　７８２　１２．７３０　０　３８９　０．６６５　０　２９５　４　高斯一牛顿法１２　０５　１２．９３５　０　３９７　０．６７６　０　２６４１　迭代法　１２　４８３　１３．０１２　０　４０３　０．６８０　０　２３３　６　麦夸尔特法　１２　６７４　１３　２６３　０　４０６　０　６８４　０　２０５　３　带因子一迭代法１２　８７７　１３．２７５　０　４１０　０　６８５　０　１４５　９　

从表１可知，在相同的　一　一　关系数据表及　比较条件下，用带因子一迭代法推求城市暴雨强度　公式参数优于其他方法，此法推求的长沙市暴雨强　度公式为：　

一１２　８７７（１＋０　４１０　ｌｇ　Ｐ）　（￡＋１３　２７５）０　

参考文献：　［１’ＧＢ　１４　８７，室外排水工程设计规范［ｓ］　［２］王世刚．城市暴雨公式参数优化计算程序［Ｊ］．中国给　水排水，１９８７，３（４）：５０　５２．　［３　张字贤．用高斯一迭代法求解暴雨强度公式参数［Ｊ］　河海大学学报，１９９５，２３（５）：１０６—１１１　［４：赵建国迭代法求解暴雨强度公式参数［Ｊ］．给水排水，　１９９７，２３（１２）：９—１２　［５］李树平，刘遂庆，黄延林用麦夸尔特法推求暴雨强度　公式参数［Ｊ］给水排水，１９９９．２５（２）：２６　２８．　［６：任伯帜，许仕荣，王涛皮尔逊一＿『１型分布统计参数的　确定［Ｊ］．中国给水排水，２００１．１７（１）：４０—４２．　

・６５・　电话：（０７３２）８２９００４１　收稿日期：２０（１１—０６—３１　

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