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复变函数法求应力强度因子

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用复变函数法求解应力强度因子
西安交大
2016 年 1 月 9 日
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. ... . . . . Nhomakorabea. . .
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(西安交大)
复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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理论知识
复变应力函数
Definition 定义复变数 z = x + iy 它的共轭复变数为 z = x − iy 核心思想 一个实函数若是变数 x 和 y 的函数，将变数 x 和 y 改为 z 和 z 后，此函数 写成新函数形式时仍有实值。 因此 重调和方程中的 Airy 应力函数 Ψ(x, y) 可以改写成 Ψ(x, y) = Ψ[x(z, z), y(z, z)] = Φ(z, z)
(14)
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复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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理论知识
Westergarrd 应力函数
I、II 复合型裂纹尖端
Definition 复数形式表示的应力强度因子为 K = KI − iKII 又由 I、II 型裂纹尖端附近的应力场得 π 2KII π 2KI σx + σy = √ cos − √ sin 2 2 2π r 2π r 由式 (15) 和式 (16) 可得 σx + σy = Re{K[ 2 ]1/2 } π (z − z0 )
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(13)
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复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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理论知识
Westergarrd 应力函数
II 型裂纹
此时有 σy |y=0 = 0 的限制，仿照 I 型裂纹的方法。 令 ZII (z) = 2iψ ′ (z)，则有 σ = 2Im[ZII ] + yRe[Z′ II ] x σy = −yRe[ZII ] τxy = Re[ZII ] − yIm[Z′ II ] ZI 和 ZII 称为 Westergaard 应力函数，要求得它们是很不容易的。
理论知识
Westergarrd 应力函数
I、II 复合型裂纹
又由式 (10) 和式 (11) 得 σx + σy = 4Re[ψ ′ (z)] 代入式 (17) 有 Re{(KI − iKII )[ 于是 2 ]1/2 } = 4Re[ψ ′ (z)] π (z − z0 ) (19) (18)
√ √ K = KI − iKII = 2 2π lim (z − z0 )ψ ′ (z)
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复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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理论知识
复变应力函数
对方程 (4) 积分四次可得通解 Φ(z, z) = f1 (z) + f2 (z) + zf3 (z) + zf4 (z) 因为 Φ 具有实值，故函数间有下列关系 f1 (z) = f2 (z), f3 (z) = f4 (z) 设 f1 (z) = ϕ(z)/2，f4 (z) = ψ (z)/2，则 Φ(z, z) = 1 [ϕ(z) + ϕ(z) + zψ (z) + zψ (z)] ⇔ Φ(z, z) = Re[ϕ(z) + zψ (z)] (7) 2 (6) (5)
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(23)
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复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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应用举例
类 Griffith 裂纹
例题 1
解答 所以 ZI =
√ σ a √ (cos θ 2 2r
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(24)
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复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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应用举例
混合型裂纹
例题 2
Example 无限大平板，有一长度为 2a 的穿透裂纹，其坐标原点取在裂纹中心，裂纹 的右尖端坐标为 y = 0，x = a。在裂纹表面 z = b 处作用一个集中力 F，按 单位板厚的力来计算，F = P − iQ，求裂纹场尖端的应力强度因子。 解答 取映射函数 z = ω (η ) = a 1 (η + ) 2 η (25)
z→z0
(20)
重要思想 为了确定 KI 和 KII ，只需确定一个解析函数 ψ (z)。对于构件比较复杂的的 几何形状， 通常用保角映射， 将 z = x + iy 平面内的几何图形， 通过 z = ω (ξ ) 映射到 ξ = ξ + iη 平面，成为简单几何边界图形，简化问题。
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(15)
(16)
(17)
其中 z0 为裂纹右尖端的坐标，z − z0 = reiθ
(西安交大) 复变函数求 K
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(22)
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复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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应用举例
类 Griffith 裂纹
例题 1
解答 利用式 (13) 来验证是否满足下列边界条件和特殊条件 (1) 当 |x| → ∞，(σx )∞ → σ (2) 当 |y| → ∞，(σy )∞ → σ (3) 当 y = 0 时，τxy = 0 和 σx = σy (4) 当 y = 0，且 |x| < a 时，σy = τxy = 0，即裂纹表面应力自由 设 z = a + reiθ ，由于 r ≪ a √ σ a −2iθ ZI (z) = √ ≈ √ e 2r (a + reiθ )2 − a2 σ (a + reiθ )
同理 ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ ∂z ∂ ∂z ∂ ∂ ∂2 = + = i( − ) ⇒ 2 = −( 2 − 2 + 2) ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂ z∂ Z ∂ z 两式相加再平方得 ∂2 ∂2 ∂4 ∇4 = ( 2 + 2 )2 = 16 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂z
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(1)
(2)
(3)
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复变函数求 K
2016 年 1 月 9 日
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理论知识
复变应力函数
例子 试证明重调和方程式 ∇4 Φ = 0 可以改写成 ∂ 4 Φ(z, z) =0 ∂ z2 ∂ z2 Proof. ∂ ∂ ∂z ∂ ∂z ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 = + = + ⇒ 2 = 2 +2 + 2 ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z ∂x ∂z ∂ z∂ Z ∂ z (4)
− i sin θ ) 2
代入式 (13) 可得 √ a θ θ 3θ σ σx = √ cos [1 − sin sin ] 2 2 2 2r √ σ a θ θ 3θ σy = √ cos [1 + sin sin ] 2 2 2 2 r √ σ a θ θ 3θ τxy = √ sin cos cos 2 2 2 2r √ √ 与教材中的应力场比较可得 k1 = σ a 或 KI = σ π a
σy − σx + 2iτxy = (
把 (7) 式代入上两式并求导，可得 σx + σy = 2[ψ ′ (z) + ψ ′ (z)] σy − σx + 2iτxy = 2[ϕ′′ (z) + zψ ′′ (z)] 同理可得位移的表达式 2µ(u + iv) = κ ψ (z) − zψ ′ (Z) − ϕ′ (Z) 平面应变时 κ = 3 − 4ν ，平面应力时 κ = (3 − ν )/(1 + ν )
将长度为 2a 的直线变换成一个单位圆，式 (20) 变为 √ ψ ′ (η ) K = 2 2π lim [ω (η ) − ω (η0 )]1/2 ′ η →η0 ω (η )

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1-3应力强度因子的求解

1-3应力强度因子的求解


{ε } = [ N ′( x)]{uie }
T 由应变能密度 W = ε Cε / 2 可得单元刚度
[ K ]e = ∫ [ N ′( x)]T C[ N ′( x)]dV
Ve
将所有单元组装，可得 总刚度矩阵
[ K ]{u} = {F }
节点总位移矢量
广义节点力矢量
常规单元
• 裂纹尖端应力场的奇异性要求网格划分足够细，网格尺寸一般为裂纹 尺寸的1/1000~1/100 • 求解平衡方程，得到各节点位移，取裂纹附近节点位移，根据
ξ = −1+ 2 r / l
u = ∑ N i ui
i =1 3
将二次常规单元边 中点移到1/4处
对等参单元
应变
ε=
du 1 3 l l 1 l u1 − 4 − 2 u2 + 2 − u3 = 2 − dr l 2 r r 2 r
⊙⊙⊙⊙ σ 2a
K I = σ πa 1+ κ u 2 ( x, a ) = σ a2 − x2 4µ
K II = σ πa 1+ κ u1 ( x, a) = σ a2 − x2 4µ
K III = σ πa σ u3 ( x , a ) = a2 − x2 4µ
应力强度因子的求解
一般情况
K = Yσ πa
Y为与裂纹体几何有关的参数 a为裂纹几何尺寸相关参数
σ为外载
应力强度因子的求解方法
• • • • • • • 普遍形式的复变函数方法 积分变换法 应力集中系数法 位错连续分布法 权函数法 边界配置法和边界元法 有限元法
权函数法
p(x) P*(x) p(x) P*(x) + =
断裂力学第四节-复变应力函数

断裂力学第四节-复变应力函数


式(1)，（2）和（5）统称为克洛索夫公式。


边界条件的复变函数表示形式：
位移边界条件：

力边界条件：
边界上每一点在x和y方向上的应力值：
根据式子： ， 化简上式：
根据：
复变函数表示的力的边界条件：
断裂力学应力强度因子及应力场、应变场的求解：
Westergaard应力函数 根据克洛索夫公式，假设2个K-M函数满足一定的条件，从而求解出应 力，应力表达式中只含有一个K-M函数，也就是只含有一个复变函数， 这样的应力复变函数称为Westergaard应力函数。 在解决实际问题中，满足边界条件的Westergaard应力函数很难得到。
令：
，
上式中的后两项也互为共轭：
后两项为前两项的共轭函数，借助复数求实部的方法：
令：
，
应力函数转化复变函数表示的形式为：
或者：
2. 应力和位移的复变函数表示
应力分量的复变函数表示形式：
应变的复变函数表示形式：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ……(3)
……(4)

位移的复变函数表示形式：
根据：
……(5) （ 平 面 应 变） 式中： （ 平 面 应 力）
回顾弹性力学基本问题应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数求解由克洛索夫穆斯赫利什维利kolosoffmuskhelishvili发展的使不少复杂的弹性力学平面问题的解法到了完美的境地
回顾
弹性力学基本问题
（应力函数的复变函数表示）
1. 应力函数的复变函数表示
应力函数的复变函数求解，由克洛索夫-穆斯赫利什维利（Kolosoff-
Muskhelishvili）发展的，使不少复杂的弹性力学平面问题的解法到
应力强度因子的计算

应力强度因子的计算

第二章应力强度因子的计算K--应力、位移场的度量=K的计算很重要,计算K值的几种方法：1. 数学分析法：复变函数法、积分变换；2. 近似计算法：边界配置法、有限元法；3. 实验标定法：柔度标定法；4. 实验应力分析法：光弹性法.§ 2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算、无限大板I型裂纹应力强度因子的计算K] =lim ■ 2px桩Z I计算K的基本公式，适用于型裂纹X? 01. 在“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，距离x = _b处各作用一对集中力p.y；「x 二ReZ i - y Im Z I；「y 二ReZ i y Im Z Ixy =_yReZ l选取复变解析函数:2 pz a2b2二(z2_b2)边界条件:a. zb. zca,出去z = ±b处裂纹为自由表面上c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为p2 p (匕 +a) Ja 2+孑二[(a)2-b 2] ； (2a)2p 、、 a二(a 2-b 2)2. 在无限大平板中,具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，在距离x= _印的 范围内受均布载荷q 作用.yb.11yqn____ r~Kq 1旺x------ ►J 2 a利用叠加原理：a2q\a i . ---------------- dxo _ / 2 2、二(a -x )令x=acos : a 2-x 2= acosv , dx = acos 二当整个表面受均布载荷时，c -• a. =K i = 2^-s in3. 受二向均布拉力作用的无限大平板，在x 轴上有一系列长度为2a ，间距为2b的裂纹.以新坐标表示:K i微段 > 集中力qdx > dK i2q烏 dx 护(a 2_x 2)-K isin 4(J)广;)竺吗=a cos^二0, -a ::: x ::: a, -a 二2b ：：： x ：：： a 二2b 在区间内；-y =°,，xy =c.所有裂纹前端；匚y.匚单个裂纹时又Z应为2b的周期函数采用新坐标：=z-an ..-sin ( a) 2b当© t 0时,sin 二© =厶Jcos 厶© =12b 2b 2b迟JL乜JL JL乜= sin——( a) =sin—— cos一a cos一sin — a 2b2b 2b 2b 2b边界条件是周期的：a. z —二二xb.在所有裂纹内部应力为零.y~2 2z - a-sin2b二a、2(Sin" %2b 仙2b)JI u 31ji.二 a 二 sin - 2b 1 -a . -a ——cos ——sin — 2b 2b 2b =；「2b tan a \ 2b—a, 2b tan ：aYn a2b2a 1若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（兰乞丄）可不考虑相互作用，按单个裂纹2b 5计算•二、无限大平板n>m 型裂纹问题应力强度因子的计算1. u 型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:心计吋（人尹2. 无限大平板中的周期性的裂纹，且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切 力作用.JT JT cos a sin a 2b 2b2bfTTfTTfTTfTTHTfTTfTT.. 2 ■22 2[sin (a)] = ( ) cos a 2 cos a sin a (sin a) 2b2b 2b 2b 2b 2b2b•2：:.2[%(a)] -(sin2b a)JI=2 -2bn Jicos asin a2b 2b:二 sin2b—2/ ?.a .二 acos ——sin2b 2b2b 修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K ］的影响.二a 2 药）心=帆 J 2 兀©Z (©) = i V^a J^tan 舒3.川型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）:4.周期性裂纹:sin二z 2b n ： …sin ( a) 2bZ()二訓n 2?+a)]2-伽訝H Z 2伽亦）一伽§ 2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力 和应变，得到椭圆表面上任意点，沿y 方向的张开位移为：2 2 1x z . 2 y =y 0（1 2 2）a c2（1 -」2）；「a 其中：yo =（丘丿.-为第二类椭圆积分•有Ji | 2 2=o 2、1-c；asin 2d 「（于仁东书丿匹 a^2 二 2[sin 2「（-）2cos 2] d （王铎书丿 0c1962年,lrwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子xz2 2 2 2 2N 二 Qcos : ,x ,-『sin :2 2 X i 乙-2~~2acacc 2sin 2「a 2cos 2假设：椭圆形裂纹扩展时，其失径「的增值r 与「成正比.边缘上任一点p （x ,z ）,有:x j (「r)sin 炉=(1 f^?sin 》=(1 f)x iz = r)cos 即=(1 f )z 1=■ p (x ；z), p (M,Z i )均在 y=0 的平面内.— ,:2 ・2-2 24 2 2・2 ・2=c x a z (i f)ac a c=新的裂纹面仍为椭圆•长轴c =(i • f)c ,短轴a '=(i • f)a .=y 向位移2 2原有裂纹面：二 二,上）2=ia c y o2 2扩展后裂纹面：笃•务•（工）2=i a c y o以x'x i , z'z,代入=原有裂纹面的边缘y 向位移y ,有原裂纹面y o2(i 」2)二 a2(i-」2)ri f)aE=(i f)y oc 2片2a 2zj 二 a 2c 2sin 2「亠 a 2cos2 :2 2 2 2 2 2「-（1-2门笃一（1一2门刍=1一笃一乌2f （笃吕）ac a ca c=2f二 y 2=2fy °2=2f （1 f ）2y o 2L 2fy 。

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第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠRe Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：222()Z z b π=- 边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。

c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。

y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒K=⎰Ⅰ令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22(cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12()aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b 的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cos sin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+σcossin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbb bπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.τsin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) 1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子σ原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+= ⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内. 222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有2222211112222222011(1)(1)x z x z y y a c f a f c'=-+=--'''++。