椭圆的简单性质ppt课件.ppt

2种方法——求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆 的标准方程。 (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程， 然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程。 3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大 距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c。 (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可 求得e(0＜e＜1)。 (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依 据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴。
x 2 y2 1．设P是椭圆 ＋ ＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2| 4 9 等于( A．4 ) B．8
C．6 D．18 解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6。
答案：C
x2 y2 2．方程 ＋ ＝1表示椭圆，则m的范围是( 5－m m＋3 A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5) B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3)
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
图形
坐标轴 (－a,0) (0，－b) (a,0) (0，b) 2a 2c (0,1) (0，－a) (－b,0)
原点 (0，a) (b,0) 2b
a2－b2
1个规律——椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系 x 2 y2 给出椭圆方程 2＋ 2 ＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔a＞b＞0；椭圆的焦点在y轴上 a b ⇔0＜a＜b。 1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思 考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理 清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。

x y 2 1(a b 0) a2 b
B2 O y
2
2
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a y
A2 F2 B2 x
A1 F1 B1
F2 A2 x
B1 F1
O
范围 顶点坐标 焦点坐标 对称性 半轴长 离心率 a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4ห้องสมุดไป่ตู้3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
P（x，y）
O P2（-x，-y）
X
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 y 心对称。
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。

(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
解：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m，①
得方程组x42＋y22＝1.② 将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
类型三：弦长及中点弦问题 典例示范
【例 3】 (1)已知椭圆 4x2＋5y2＝20 的一个焦点为 F，过点 F 且 倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，则弦长|AB|＝________.
(2)已知(4，2)是直线 l 被椭圆3x62＋y92＝1 所截得的线段的中点， 则 l 的方程是________．
是 AB 的中点．若 AB＝2 2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程． 解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得 a(x1＋
x2)(x1
－
x2)
＋
b(y1
＋
y2)(y1
－
y2)
＝
0.
而
y1－y2 x1－x2
＝
－
1
，
y1＋y2 x1＋x2
＝
kOC
＝
22，代入上式可得 b＝ 2a.
2· －1902－4×－53＝ 2×8 910＝169 5.
(2)x＋2y－8＝0 解析：设直线 l 与椭圆相交于点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，
则3x621＋y921＝1，且3x622 ＋y922＝1，两式相减得xy11－ －yx22＝－4（xy11＋＋xy22）. 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以xy11－ －yx22＝－12，故直线 l 的方程为 y－2 ＝－12(x－4)，即 x＋2y－8＝0.

椭圆的简单几何性质
(第四课时)
弦长公式
一.直线复习
1. 倾斜角、斜率： k tan y2 y1
2. 直线方程的五种形式.
x2 x1
（1）点斜式： y y k(x x )
（2）斜截式： y kx b
（3）两点式：
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
（4）截距式： x y 1 ab
（5）一般式： Ax By C 0
3. 两条直线的平行与垂直
平行： l1 / /l2 k1 k2 垂直： l1 l2 k1k2 1
4.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：d C1 C2
A2 B2
一、直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；(Βιβλιοθήκη )韦达定理；(4)弦长公式.
练习：
1、课本P48第7题 2、《风向标》P38基础训练 3
弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
课后探讨第二种解法
练习：
1、如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
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求这条弦所在直线方程。
作业布置
一、书面作业：课本
要求：书写具体解题过程
二、课后练习： 《风向标》P 三、课后探究：
课后练习
1、过椭圆 x2 2 y2 4的左焦点作倾斜角为 30 的直
线，求弦长AB.