函数的定义域值域最值

基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。

函数最大值的求法
---------------------------------------------------------------------- 函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值，下面是求最大值和最小值的方法。

一、求函数的最大值和最小值：
f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。

一般而言，可以把函数化简，化简成为:
f(x)=k (ax+b)2+c的形式，在x的定义域内取值。

当k>0时，k(ax+b)2≥0，f(x)有极小值c。

当k<0时，k(ax+b)2≤0，f(x)有最大值c。

二、常见的求函数最值方法有：
1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, 0,求出y的最值，此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性﹒首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。

4、利用均值不等式，形如的函数，及，注意正,定,等的应用条件，即: a，b均为正数，是定值,a=b的等号是否成立。

5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。

函数的定义域与值域函数是数学中的重要概念，用于描述输入和输出之间的对应关系。

在函数中，定义域（Domain）指的是函数的所有可能输入值所构成的集合，值域（Range）则是函数的所有可能输出值所构成的集合。

函数的定义域和值域在数学中具有重要的意义和应用，并在各个学科领域中发挥着重要的作用。

1. 定义域在函数中，定义域是指函数的所有可能输入值的集合。

它决定了函数可接受的输入范围。

通常，定义域可以是实数集、整数集、有理数集等。

然而，有些函数可能会有特定的限制条件，如分母不能为零、根号内不能为负数等。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。

在这种情况下，由于分母不能为零，所以x的定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。

这样，所有不为零的实数都可以作为这个函数的输入值。

2. 值域在函数中，值域是指函数的所有可能输出值的集合。

它表示了函数所能取得的所有可能结果。

值域的确定需要考虑函数在定义域中的取值范围以及函数本身的性质。

例如，再考虑函数f(x) = 1/x，其定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。

对于任意一个不为零的输入值x，在函数中，将其代入公式后可以得到一个相应的输出值，即f(x) = 1/x。

显然，输出值可以是任意实数，因此值域为实数集R，即f(x)∈R，f(x)≠0。

3. 定义域和值域的图示为了更好地理解函数的定义域和值域，可以通过图示来展示函数的输入输出关系。

在坐标系中，将定义域的值放在x轴上，将对应的函数值放在y轴上，可以绘制函数的图像。

例如，回顾函数f(x) = 1/x，在定义域除去0的实数集，可以绘制函数曲线。

这样，x轴上除了0以外的各个点，都对应着y轴上的一个值，而值域即为函数曲线所覆盖的y轴的范围。

4. 应用举例函数的定义域和值域在数学中具有广泛的应用和重要意义。

它们不仅可以帮助我们理解函数的性质，还能在实际问题中起到指导作用。

例如，在物理学和工程学中，定义域和值域的概念可以帮助我们描述和分析各种物理量之间的关系。

函数的值域与最值1．函数值和函数值域的看法(1)函数值与函数值域是两个相关看法，函数值是一个局部看法，函数值域是一个整体看法．函数值域是函数值的会集 . (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法那么．2．函数的最值(1)定义〔见教材必修 1 30 页〕 (2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y＝ f(x) 的图象以以下图．②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．③极值与最值极值是函数的局部性质，极大 (小 )值是函数在某一区间上的最大 (小 )值，而最大值与最小值那么分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．〔其实不是所有的函数都有最大值与最小值．〕根本初等函数的值域：3．函数值域〔最值〕的求法(1)列举法即直接依照函数的定义域与对应法那么将函数值一一求出来写成会集形式．这种方法只适于值域 B 中元素为有限或诚然是无量但倒是与自然数相关的会集．(2) 逐层求值域法：逐层求值域法就是依照x 的取值范围一层一层地去求函数的值域．比方：求函数f(x) ＝1，x∈ [2,5] 的值域．1－ 2xcx＋d(3)分别常数法形如 y＝ax＋b(a≠ 0)的函数(4)配方法是求“二次函数类〞值域的根本方法，形如 F( x)＝ a[ f 2(x)＋ bf(x)＋ c]的函数的值域问题。

(5)换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝ ax＋ b± cx＋ d(a、 b、 c、d 均为常数，且 a≠ 0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时必然要注意新元的范围对值域的影响．(6)利用函数的有界性形如 sinα＝f(y)，x2＝ g(y)，a x＝h(y)等，因为 |sinα|≤ 1，x2≥0， a x＞0 可解出 y 的范围，从而求出其值域或最值．(7)数形结合法假设函数的剖析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等(8)重要不等式 (绝对值不等式 )利用均值不等式：a＋ b≥2a＋ b222ab， ab≤， a ＋ b ≥ 2ab.2用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等〞(9) 利用函数的单调性①单调函数在端点处有定义，那么函数在端点处取最值． 若是函数在端点处没有定义，那么不可以能在端点处获取最值．②关于自变量 x 的一次根式， 如 y ＝ ax ＋ b ＋ dx ＋ c ，假设 ad ＞ 0，那么用单调性求值域或最值；假设 ad ＜0，那么用换元法．③形如 y ＝ x ＋kx 的函数．(10) 导数法：利用导函数求最值．4． 条件最值所谓条件最值， 即函数在必然条件下才能获取最值，也许说函数的最值碰到某种条件的限制和影响． 因此，在求条件最值时， 必然要注意所求最值可否吻合条件；特别是实质应用题，要检查所求最值可否吻合实质意义．如 x 2＋ y 2＝ x ，求 u ＝ 3x 2＋ 1y 2 的最值．2配方法 换元法例 1 (1)函数f(x)＝ x 2＋ x － 2，其定义域分别为：① R ， ②[ －2，＋ ∞ )，③ [2,4] ，那么对应的值域依次是① ________， ② ________， ③ ________.(2) 求以下函数的最值①②yx 2 2x 21y2x x2例 2 : 求以下函数的最值〔1〕y 2x 4 1 x( 2) y x 1 x 2练习：求以下函数的最值：(1)y ＝ 2x ＋ 1－ 2x ；(2) y ＝x ＋ 4＋ 9－ x 2；分别常数法、有界性法例：求以下函数的最值：(1)y＝x－ 22x＋ 1；(2)y＝x－ 1；x＋ 12练习：求以下函数的值域(1)y＝5x－ 11x2 4x， x∈ [ － 3，－ 1]；( 2) y2＋ 21x不等式法、单调性法练习：求以下函数的值域例：求以下函数的值域(1) y4( x0)〔1〕 y log 1 4 x2 x2 x(2) y(1 )x 2(2) y x25x242〔〕log3x log x 31 3 y导数法例1： a为实数， f ( x) ( x 24)( x a).〔1〕假设 f / ( 1) 0, 求 f (x)在[ 2,2]上的最值；〔2〕假设 f (x)在 ( , 2]和[2, )上都是递加的，求a的取值范围数形结合法例：求以下函数的最值(1) y(x 3)216( x 5)242 sin x(2) y3cos x条件最值设 x，y≥0,2 x＋ y＝6，求 Z＝4x2＋3xy＋ y2－6x－3y 的最值．。