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一次函数和二次函数

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一次函数和二次函数 1 / 11 绝密★启用前 2013-2014学年度一次，二次函数考卷 基本初等函数（1） 考试范围：一次二次函数；考试时间：100分钟；命题人：张磊 题号 一 二 三 总分

得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分 一、选择题

1．如果函数2()2(1)2fxxax在区间,4上是减少的，那么实数a的取值范围是（ ） A．3a B．3a C．5a D．5a

2．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ） A. f(2)C. f(2)

3．设函数()(21)fxaxb是R上的减函数，则有

A．12a B．12a C．12a≥ D．12a≤ 4．已知函数fx在R上可导，且2()'(2)3fxxfx，则1f与1f的大小关系是( ) A．11ff B．11ff

C．11ff D．不确定 5．若函数2()|(21)(2)|fxmxmxm恰有四个单调区间,则实数m的取值范围( ) A.14m B. 14m 且0m C. 104m D. 14m 6．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1的导函数 为f′（x），f′（0）＞0， f(x)与x轴恰有

一个交点，则(1)'(0)ff 的最小值为 试卷第2页，总3页

A．32 B．2 C．3 D． 52 7．对任意的实数x，不等式210mxmx恒成立，则实数m的取值范围是 （ ） A．(4,0) B．(4,0] C．[4,0] D．[4,0) 8．已知二次函数),,()(2Rcbacbxaxxf，满足：对任意实数x，都有xxf)(，且当)3,1(x时，有2)2(81)(xxf成立，又0)2(f，则b为（ ） A．1 B．21 C．2 D．0 9．已知定义在R上的函数()fx满足(2)1f，且()fx的导函数()1,fxx则不等式21()12fxxx的解集为（ ） A. 22xx B. 2xx C. 2xx D. 22xxx或 10．若()lnfxxxx，则'()fx的解集为 ( ) A. (,) B. -+（，）（，） C. (,) D. (,)- 11．已知函数cbxxxf2)(,且)1()3(ff.则（ ） A. )1()1(fcf B. )1()1(fcf C. cff)1()1( D. cff)1()1( 12．若方程2210axx在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 A.1a B. 1a C. 11a D.01a 一次函数和二次函数

3 / 11 第II卷（非选择题）

评卷人 得分 二、填空题

13．设0,1aa，函数2lg(23)()xxfxa有最大值，则不等式2log(57)0axx 的解集为 14．一次函数f(x)是减函数，且满足f[f(x)]＝4x－1，则f(x)＝__________. 15．关于x的方程x2+mx+m2-3=0的两个实根中，一个比1大，另一个比1小，则实数m的取值范围是_______________.

16．已知函数2()23fxaxx在区间(1,2)上是减函数，则a的取值范围是 ．

17．若函数2()4fxxxa的零点个数为3，则a__ __ _

18．当7,66x时，函数23sin2cosyxx的最小值是_______，最大值是________。 评卷人 得分 三、解答题

19．已知二次函数2()2fxxbxa，满足()(2)fxfx，且方程3()04afx

有两个相等的实根． （1）求函数()fx的解析式；

（2）当[,1]xtt()tR时，求函数)(xf的最小值()gt的表达式． 20．已知二次函数()fx的最小值为1，且(0)(2)3ff． （1）求()fx的解析式； （2）若()fx在区间[2,1]aa上不单调，求实数a的取值范围； （3）在区间[1,1]上，()yfx的图像恒在221yxm的图像上方，试确定实数m的取值范围．

21．(本题满分12分)

已知二次函数2()(0)fxaxbxca满足(1)()2fxfxx且(0)1f．

（Ⅰ）求()fx的解析式； （Ⅱ）当[1,1]x时，不等式：()2fxxm恒成立，求实数m的范围． 一次函数和二次函数 1 / 11 参考答案 1．A 【解析】 试题分析：因为，函数2()2(1)2fxxax在区间,4上是减少的，所以，,4

在图象对称轴的左侧，即2(1)42a，所以，3a，选A。

考点：二次函数的图像和性质 点评：简单题，二次函数问题，一般考虑其开口方向，对称轴等。 2．A 【解析】

试题分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2-t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2-t）∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），故选A．

考点：二次函数的图象

点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观 3．B 【解析】

试题分析：根据题意，由于函数()(21)fxaxb是R上的减函数，则说明x的系数为

负数，则可知2a-1<0，12a,故选B. 考点：一次函数性质 点评：主要是考查了函数的单调性的运用，属于基础题。 4．B 【解析】

试题分析：对2()'(2)3fxxfx求导可得()2'(2)3fxfx，令x=2，所以

2(2)4'(2)3,(2)1,()3,ffffxxx

该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴

是32x，所以11ff. 考点：本小题主要考查函数的求导和二次函数的单调性. 点评：解决本小题的关键是求出(2)f，还要注意到在第一次求导时(2)f是一个常数. 5．B 【解析】

试题分析：函数2()|(21)(2)|fxmxmxm恰有四个单调区间,所以，结合函数图象答案第2页，总7页

的特点，0m时，2(21)20mxmxm应有不等实根，所以，2(21)4(2)0mmm，解得，14m，

故选B。 考点：二次函数的图象和性质。

点评：简单题，|()|fx的图象，是()fx的图象将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方。 6．B 【解析】 试题分析：解：∵f（x）=ax2+bx+1，∴f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b，又f′（0）＞0，∴b

＞0．又已知f（x）与x轴恰有一个交点，∴△=b2-4a=0,则可知f(1)=a+b+1=214bb ,则(1)111212'(0)44bb=ffbb,故选B.

考点：二次函数、导数 点评：本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式，熟练掌握它们的性质及使用方法是解决问题的关键． 7．B 【解析】

试题分析：当m=0时，原不等式化为-1<0，显然符合题意，当m≠0时，2040mmm，∴-4考点：本题考查了一元二次式的恒成立问题 点评：此种类型除了利用二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法外，还需要讨论二次项系数是否为0的情况 8．B． 【解析】 试题分析：由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立

∵当x∈（1，3）时，有2)2(81)(xxf成立，

∴取x=2时，21(2)(22)28f成立， ∴f（2）=2． ∴4a+2b+c=2① ∵f（－2）=0 ∴4a－2b+c=0② 由①②可得，∴4a+c=2b=1，

∴b=21，故选B． 考点：本题主要考查二次函数性质，方程组解法。 一次函数和二次函数 3 / 11 点评：典型题，对恒成立问题，可以任取自变量的值，式子均成立。本题紧紧围绕已知条件，通过0)2(f， f（2）=2得到方程组。 9．B 【解析】

试题分析：令)121()()(2xxxfxg

则原不等式为()0gx )1()()(xxfxg 因为()1fxx所以''()()10gxfxx 于是()gx单调增 1(2)(2)[*421]02gf

于是当2x时()0gx 解集为{|2}xx 考点：导数，不等式解法，构造函数的思想。 点评：本题难度较大，构造函数，利用导数的性质,借助函数的单调性是解题的关键。 10．C 【解析】

试题分析：因为()lnfxxxx，所以x>0,'()fxxx>0，即x>0，且()()xxx，其解集为(,)，故选C。

考点：本题主要考查导数计算及简单不等式解法。 点评：小综合题，思路明确，先求导数，再解不等式。 11．B 【解析】

试题分析：因为)1()3(ff，所以函数cbxxxf2)(的对称轴为x=-1,所以函数

cbxxxf2)(在（-1，+∞）单调递增，所以(1)(0)(1),=(0)ffff又c，所以

)1()1(fcf。

考点：二次函数的性质。 点评：做此题的关键是根据条件)1()3(ff退出二次函数的对称轴。 12．B 【解析】

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二次函数和一次函数的解法

二次函数和一次函数的解法

二次函数和一次函数的解法在数学中，二次函数和一次函数是基础的函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数和一次函数的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、二次函数的解法二次函数是指函数形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

解二次函数的方法有多种，下面我们将介绍两种常用的解法：因式分解法和公式法。

1. 因式分解法当二次函数为完全平方形式时，可以通过因式分解的方法来求解。

完全平方形式的二次函数为f(x) = a(x - p)² + q，其中a、p、q都是常数。

步骤如下：（1）将二次函数化简为完全平方形式；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式；（3）令乘积等于0，求解出x的值。

举例说明：求解二次函数f(x) = 2x² + 12x + 18的解。

（1）将二次函数化简为完全平方形式：f(x) = 2(x² + 6x) + 18；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式：f(x) = 2(x + 3)² + 9；（3）令乘积等于0，求解x的值：2(x + 3)² + 9 = 0，解得x = -3。

2. 公式法当二次函数无法通过因式分解得到解的时候，可以使用求根公式来求解。

步骤如下：（1）根据二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，分别确定a、b、c的值；（2）使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，求解出x的值。

举例说明：求解二次函数f(x) = x² + 2x + 1的解。

（1）确定二次函数的参数：a = 1，b = 2，c = 1；（2）使用求根公式求解x的值：x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 1)) / (2 * 1)= (-2 ± √(4 - 4)) / 2= (-2 ± √0) / 2= -1。

2.3一次函数和二次函数

2.3一次函数和二次函数

一次函数与二次函数知识点一、一次函数的性质与图像考点1、一次函数的概念（1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，定义域是R,值域是R;（2）图像是一条直线，其中k 叫做直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距；一次函数又叫做线性函数； 例1、已知函数m m x m y ,31)12(-+-=为何值时， （1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数;（3）函数值y 随x 的增大而减小；（4）这个函数的图像与直线1+=x y 的交点在x 轴上?考点2、一次函数的图像和性质（1）单调性：0>k 时，为增函数；0<k 时，为减函数；（2）奇偶性：0=b 时，为奇函数；0≠b 时，为非奇非偶函数。

例2、画出函数12+=x y 的图像，利用图像解决下列问题： （1）求方程012=+x 的解； （2）求不等式012≥+x 的解集； （3）当的取值范围；时，求x y 3≤ （4）当的取值范围。

时，求x y 33≤≤-考点3、一次函数性质的应用例3、已知直线求：,44)2(2+-+=a x a y（1）a 为何值时，这条直线过原点；（2）a 为何值时，这条直线与y 轴交于点（0，-2）； （3）a 为何值时，这条直线过点（1，0）。

考点四、一次函数的最值问题求一次函数)0(≠+=k b kx y 在某一区间[]c a ,上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[]c a ,上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当0>k 时，它的值域是[][])(),(0,)(),(a f c f k c f a f 时，它的值域是当<。

例5、已知)(x f 为一次函数且满足183)1(2)1(4+=---x x f x f ，求函数[]11-)(，在x f 上的最大值，并比较)2011()2010(f f 和的大小。

练习：1、对于每个实数取设)(,x f x x y x y x y 21,12,1-=+=+=三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出的最小值。

一次函数与二次函数的基本性质总结

一次函数与二次函数的基本性质总结

一次函数与二次函数的基本性质总结一次函数与二次函数在数学中是非常重要的函数类型，它们在各个领域的应用非常广泛。

以下是一次函数和二次函数的基本性质总结。

一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

2. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像的倾斜程度，斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降，斜率为零表示函数水平。

3. 截距：一次函数的截距表示了函数图像与y轴的交点位置，当x 为0时，函数的值为截距b。

4. 图像：一次函数的图像为一条直线，且直线方向与斜率相关。

5. 平行和垂直：一次函数的图像平行于x轴时，斜率为0；平行于y轴时，没有斜率；斜率相等的一次函数平行。

二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c 为常数，其中a≠0。

2. 平移和翻折：二次函数可以通过平移和翻折来改变其图像的位置和形状。

平移可以由a、b和c的值来控制；翻折可以通过改变a的正负来实现。

3. 顶点坐标：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和x轴垂直的线，其方程为x = -b/2a。

5. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

6. 最值：二次函数的最值即抛物线的最高点或最低点，当a>0时存在最小值，当a<0时存在最大值。

综上所述，一次函数和二次函数有着不同的性质和表现形式。

一次函数是一条直线，其关键在于斜率和截距的确定；二次函数是一个抛物线，其关键在于顶点、对称轴、开口方向和最值的确定。

这些性质和特点是我们研究和应用一次函数和二次函数的基础，对于理解和解决具体问题非常有帮助。

在实际应用中，我们可以利用这些性质来分析和解决与一次函数和二次函数相关的问题，如物理运动、经济模型等等。

一次函数与二次函数的性质比较

一次函数与二次函数的性质比较

一次函数与二次函数的性质比较一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数形式，它们在图像形状、特征以及应用领域上有着显著的不同。

本文将就一次函数和二次函数的性质方面进行比较，并通过实例来说明它们在实际问题中的应用。

一、图像形状比较一次函数的图像是一条直线，它的数学表达式为y = ax + b，其中a和b为常数，a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

在直角坐标系中，一次函数的图像呈现为一条直线，斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，截距决定了直线与y轴的交点。

一次函数的图像特点是直线，不会有凹凸或者拐点。

二次函数的图像是一个抛物线，它的数学表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不为零。

在直角坐标系中，二次函数的图像呈现为一个开口朝上或者朝下的抛物线，a决定了抛物线的开口方向和开口的大小，b表示抛物线的平移，c表示抛物线与y轴的交点。

二次函数的图像特点是曲线，有一个最高点或者最低点，称为顶点，也可能与x轴交于两点。

二、特征比较一次函数和二次函数在一些特征上也有着明显的差异。

1. 斜率与曲率：一次函数的斜率是恒定的，而二次函数的斜率是变化的。

一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度，也表示了函数在x轴方向上的单位变化量。

二次函数的斜率则反映了抛物线的斜率变化率，即曲线在不同点的陡峭程度。

2. 零点与顶点：一次函数的零点是表示函数与x轴的交点，即函数值为0的点。

一次函数只有一个零点，除非函数是常数函数。

二次函数的零点可能有两个，一个抛物线与x轴的交点称为根，二次函数的根可以是实数根或者复数根。

二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，是函数的最值点。

3. 面积与符号：一次函数的面积是一个个矩形，由于直线与x轴的交点与x坐标轴构成矩形的底边，而直线值的高度为常数，所以矩形的面积是利用长乘以宽来计算的。

二次函数的面积则是一个个梯形的面积，梯形的面积计算公式为：(上底 + 下底) ×高 ÷ 2。