(完整版)专题：一次函数与二次函数综合的

一次函数与二次函数综合题1. 一次函数与二次函数的定义和特点：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，a不等于0。

一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。

二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不等于0。

二次函数的图像是一个抛物线，具有顶点和对称轴。

2. 一次函数与二次函数的图像和图像性质：一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定。

一次函数的图像是线性的，斜率代表了直线的倾斜程度，截距代表了直线与y轴的交点。

二次函数的图像是一个抛物线，可以通过顶点和对称轴确定。

二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定，开口向上为正，开口向下为负。

3. 一次函数与二次函数的解和零点：一次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax + b = 0。

一次函数的解只有一个，可以通过解方程求得。

二次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax^2 + bx + c = 0。

二次函数的解可能有两个，可以通过求根公式或配方法求得。

4. 一次函数与二次函数的最值：一次函数没有最值，因为直线是无限延伸的。

二次函数的最值是指抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值），可以通过求顶点的坐标来确定。

5. 一次函数与二次函数的应用：一次函数的应用广泛，例如在物理学中描述匀速直线运动的位移与时间的关系，经济学中描述成本与产量的关系等。

二次函数的应用也很多，例如在物理学中描述抛体运动的轨迹，经济学中描述成本与产量的关系中存在固定成本和变动成本等。

综上所述，一次函数与二次函数在定义、图像、解、最值和应用等方面有着不同的特点和性质。

它们在数学和实际问题中都有重要的应用价值。

一次函数与二次函数的综合应用题一、引言在数学中，一次函数和二次函数是我们经常遇到的两种函数类型。

一次函数以y = ax + b的形式呈现，其中a和b是常数，而x是自变量。

二次函数则以y = ax^2 + bx + c的形式表达，其中a、b和c都是常数，而x依然是自变量。

本文将基于一次函数和二次函数，介绍它们在实际问题中的综合应用。

二、一次函数的综合应用1. 直线的运动一次函数可以应用于描述直线的运动情况。

假设有一个小车匀速地沿直线前进，设x表示时间（单位：秒），y表示小车距离起点的距离（单位：米），小车的速度为v（单位：米/秒）。

则可以建立起以下一次函数表示小车的位置：y = vx通过该函数，我们可以轻松计算在不同时间点小车的位置，并预测未来的移动情况。

2. 商品价格和销量的关系一次函数还可以应用于描述商品价格和销量之间的关系。

假设某商品的售价为p（单位：元），销量为s（单位：件），根据市场调研，得到以下一次函数表达式：s = -ap + b通过该函数，我们可以研究价格对销量的影响，并进行销售策略的调整。

三、二次函数的综合应用1. 抛体运动二次函数常用于描述抛体在空中的轨迹。

假设有一个物体以初速度v0竖直向上抛出，设x表示时间（单位：秒），y表示物体的高度（单位：米），加速度为g（单位：米/秒^2）。

则可以建立起以下二次函数表示物体的高度：y = -0.5gt^2 + v0t通过该函数，可以计算物体在不同时间点的高度，并分析物体的抛体运动规律。

2. 二次方程的解析二次函数也可以用于解决实际问题中的二次方程。

一个经典的例子是求解一个矩形地块的最大面积。

假设矩形地块的长度为x米，宽度为y米，已知周长为p米。

可以建立以下方程：2x + 2y = p根据周长的限制条件，我们可以得出以下表达式：x = (p-2y)/2，进而得到矩形地块的面积表达式：A = xy = (p-2y)y通过求解该二次函数的极值，即可得到矩形地块的最大面积。

第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。

☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。

2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。

直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。

练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。

一次函数和二次函数【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。

【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．一次函数(0)y kx b k =+≠图象性质单调性奇偶性k ＞0b ＝0增函数 奇函数b ≠0增函数 非奇非偶函数k ＜0 b ＝0减函数 奇函数b ≠0减函数 非奇非偶函数．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<g ，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y ＝ax 2(a ＞0)向上 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是减函数，在区间[0,)+∞上是增函数当x ＝0时，min 0y =y ＝ax 2(a ＜0)向下 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数当x ＝0时，max 0y =要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象a ＞0a ＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称轴是直线2b x a=-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是增函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数 抛物线有最低点，当2bx a=-时， y 有最小值，2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时， y 有最大值，2max44ac b y a-=(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )．(3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠g ，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标． 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。

一次函数与二次函数的综合练习题在数学学科中，一次函数和二次函数是我们经常接触到的两种函数类型。

它们在图像特点、方程性质以及实际问题应用等方面具有一定的差异。

为了加深对这两类函数的理解和掌握，下面将提供一些综合练习题来进行实践。

练习题1：已知函数y = 3x - 2和y = x^2 + 1，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为a，则有：3a - 2 = a^2 + 1将方程化为一般形式：a^2 - 3a + 3 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：a = (3 ± √5) / 2因此，交点的坐标为（(3 + √5) / 2，(3(3 + √5) / 2) - 2）和（(3 - √5) / 2，(3(3 - √5) / 2) - 2）。

练习题2：对于函数y = -2x + 3和y = 2x^2 - 1，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为b，则有：-2b + 3 = 2b^2 - 1将方程化为一般形式：2b^2 + 2b - 4 = 0将方程化简得：b^2 + b - 2 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：b = -2 或 b = 1因此，交点的坐标为（-2，-2）和（1，1）。

练习题3：已知函数y = 4x + 7和y = -x^2 + 3x，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为c，则有：4c + 7 = -c^2 + 3c将方程化为一般形式：c^2 - c + 7 = 0但这个方程没有实数解，说明两个函数在平面上没有交点。

练习题4：已知函数y = 5x和y = x^2 - 4，求二者的交点坐标。

解析：设两个函数相交时的x值为d，则有：5d = d^2 - 4将方程化为一般形式：d^2 - 5d - 4 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：d = 5 或 d = -1因此，交点的坐标为（5，25）和（-1，-5）。

练习题5：已知函数y = -3x和y = 2x^2 + 2，求二者的交点坐标。

一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。

一次函数与二次函数综合【课前热身】1．抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________．322--=x x y 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，ABCD 设边长为米，则AB x 菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关系式为 ．（不y 2x 要求写出自变量的取值范围）x 4．当路程一定时，速度与时间之间的函数关系是（ ）s v t A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数5．函数与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）2y kx =-k y x =6.（甘肃）如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像，由图像解答下列问题：⑴ 此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm ；经过 小时燃烧完毕；⑵ 这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的解析式是 ．7. 如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于∆ABC h =4EF BC //点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于x ∆DEF y 的函数的图像大致为（ ）x 8.（贵阳） 某商场购进一种单价为元的篮球，如果以单价元售出，那么每月可售出4050 个．根据销售经验，售价每提高元，销售量相应减少个．500110⑴ 假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种x 篮球每月的销售量是___________个．（用含的代数式表示）x ⑵ 当篮球的售价应定为 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 元.A D （第3题）菜园墙【考点链接】1．点A 在函数的图像上.则有 .()o y x ,0c bx ax y ++=22. 求函数与轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；b kx y +=x 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值3. 求一次函数的图像与二次函数的图像的交()0≠+=k n kx y l ()02≠++=a c bx ax y 点，解方程组 .4．二次函数通过配方可得，c bx ax y ++=2224(24b ac b y a x a a -=++⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当0a > 时，有最 （“大”或“小”）值是 ；x =y ⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当0a < 时，有最 （“大”或“小”）值是 ．x =y 5. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .【典例精析】例1（烟台）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．⑴ 写出y 与x 的关系式；⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例2 如右图，抛物线经过点，与y 轴交于点B.n x x y ++-=52)0,1(A （1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.例3、近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y （米）与售价x （元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70．(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式；(2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．① 试用含x 的代数式表示ｗ；② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？例4 （南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量1y 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，x 2y x 如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）⑴ 分别求出利润与关于投资量的函数关系式；1y 2y x ⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？【中考演练】1． 反比例函数的图像经过A （－，5）点、B （，－3），则＝ ，＝x k y23a k a ．2．（06旅顺）如图是一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数y 2＝＝的图象， 观察图象写出y 1>y 2时，x 的取值范m x围是_________．3．根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x 的值为，则输出32的结果是_______.4.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝（k<0）k x 的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ） A ．（a ，b ） B ．（b ，a ） C ．（-b ，-a ） D ．（-a ，-b ）5. 二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 6.下列图中阴影部分的面积与算式的结果相同的是（ ）12221(|43|-++-7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标为( )A.(2,-1)B.(2,2)C.(2,1)D.(3,1)三、解答题8. 已知点的坐标为，点的坐标为．A (13)，B (31)，⑴ 写出一个图象经过两点的函数表达式；A B ，⑵指出该函数的两个性质．xx B F A C D E x G 9. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的xk 一个动点，（1）求反比例函数解析式.（2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.10.（枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B′，折痕为CE ，已知tan∠OB′C＝34．（1）求B′点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．11. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，截取AE ＝BF ＝DG ＝x.已知AB ＝6，CD ＝3，AD ＝4；求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.12. (06沈阳) 某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在A y x 正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元；A y kx 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在B y x二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；2B y ax bx =+当投资4万元，可获利润3.2万元.(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.13. 如图，已知矩形OABC 的长OA ，宽OC ＝1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC.（1）填空：∠PCB＝ 度，P 点坐标为 ；（2）若P 、A 两点在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上，求b 、c 的值，并说明点C 在此抛43物线上；﹡（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数与一次函数结合常见考题(含答案)1，（2010•密云县）附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．,2，（2011•雅安）如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）3.（2009•吉林）如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．4.（2009•达州）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．5.（2009•河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？。

二次函数和一次函数的应用解法二次函数和一次函数在数学中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题。

本文将分别介绍二次函数和一次函数的基本概念，并通过示例说明它们的应用解法。

一、二次函数的应用解法二次函数是一个一元二次方程，其表达式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数在现实世界中的应用广泛，例如物体运动的抛物线轨迹、距离和时间的关系等。

1. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，可以用来确定函数的最值、对称轴等信息。

要求解二次函数的顶点坐标，可以使用以下公式：x = -b / (2a)y = f(x) = ax^2 + bx + c例子：考虑函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过求解顶点坐标来分析该函数的性质。

首先，根据公式计算出x = -4 / (2*2) = -1，将该值代入函数得到y =2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。

因此，函数f(x)的顶点坐标为(-1, -1)。

2. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数取0的值的解。

可以使用因式分解或配方法来求解二次函数的零点。

例子：考虑函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们可以通过求解零点来找到函数的根。

首先，将函数进行因式分解得到f(x) = (x-2)(x-3)。

由此可知函数的零点为x=2和x=3。

二、一次函数的应用解法一次函数是一个一次方程，其表达式形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。

一次函数在现实世界中的应用非常普遍，例如直线运动的速度、收入与支出的关系等。

1. 求解一次函数的斜率一次函数的斜率描述了函数在平面上的倾斜程度。

可以使用以下公式来求解一次函数的斜率：斜率k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)其中，(x1, f(x1))和(x2, f(x2))为函数上两个不同点的坐标。

一、函数奇偶性的定义是什么？二、奇偶函数有什么图象特征？三、如何利用定义判断函数奇偶性？一、一次函数1. 一次函数的概念：形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数．（一次函数又叫做线性函数）它的定义域为R ，值域为R ．①斜率：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率． ②截距：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．注：截距不是距离，截距可以是正的，可以是负的，也可以是0．2. 一次函数的性质：（1）函数值的改变量21y y y ∆=-与自变量的该变量21x x x ∆=-的比值等于常数k ，即2121y y y k x x x -∆==∆-，k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度． （2）当0k >时，一次函数是增函数；当0k <时，一次函数是减函数． （3）当0b =时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0b ≠时，它既不是奇函数，也不是偶函数．（4）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)bk-，与y 轴的交点为(0,)b ． （5）直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+，①1l //2l 12k k ⇔=且12b b ≠．②1l 与2l 重合12k k ⇔=且12b b =．二、二次函数一次函数和二次函数知识讲解知识回顾1. 二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数．它的定义域为R ．当0a >时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭；当0a <时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭2. 二次函数的4种解析式：（1）一般式2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴2b x a -=，顶点24(,)24b ac b a a--（2）顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴x h =，顶点(,)h k（3）交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠，抛物线与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x （4）对称点式12()()y a x x x x b =--+，抛物线图象上有两对称点12(,),(,)x b x b注：①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式．②在求二次函数的解析式时，应根据已知条件，合理设式．已知三点坐标，若有对称点（两点的纵坐标相同），则设对称点式；若没有，则设一般式． 已知对称轴或顶点坐标，应设顶点式．3. 二次函数的性质：（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴2b x a-=，与y 轴交于(0,)c ;（2）当0a >时，开口向上，当2b x a -=时，2min 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ （3）当0a <时，开口向下，当2b x a -=时，2max 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数⇔0b = 4. 函数图象的平移：左加右减，上加下减（1）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向左平移个单位()y f x a =+； （2）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向右平移个单位()y f x a =-； （3）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向上平移b 个单位()+y f x b =； （4）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向下平移b 个单位()y f x b =-；注：左右平移只是针对单个x 而言． 5. 配方法：（1）提，提系数将平方项的系数化为1；（2）配，加上一次项系数的一半的平方，再减去一次项系数的一半的平方； （3）整理．注：“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键．6. 韦达定理：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a-+== 7. 中点坐标公式：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则0120122,2x x x y y y =+=+8. 交点距离公式：若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x ，则12AB x x a∆=-=（其中24b ac ∆=-） 三、待定系数法1. 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再跟据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2. 待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决． 题型一、一次函数的平移【例1】 在平面直角坐标系中，把直线21y x =-向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =+D ．23y x =-【例2】 直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 ．题型二 用待定系数法求函数解析式【例3】 若直线y kx b =+与直线22y x =+关于x 轴对称，则k b ，的值分别是（ ） A ．﹣2，﹣2 B ．﹣2，2 C ．2，﹣2 D ．2，2【例4】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【例5】 已知一条抛物线的形状和2y x =相同且对称轴为12x =-，抛物线与y 轴交于一点()01-，，求函数解析式．题型三、一次函数与方程及不等式综合【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】 一次函数y mx n =+（0m ≠），当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式．【练一练】已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值．【例8】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．BAO yx【例9】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．题型四、二次函数的图像与性质【例10】（1）已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限Ｂ．第一、二、四象限 Ｃ．第二、三、四象限Ｄ．第一、三、四象限（2）若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下中图，则a 的值为（ ）A. 2-B. 2C. 1D.2（3）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限．yxOyxOyxO【练一练】（1）函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是（ ）1xyO 1xyO1Cxy O1xy O（2）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是 DC B A xyO xyO xyO O yx题型五、二次函数在某区间上的值域与最值【例11】求函数()221f x x ax =+-在区间[]0,3上的最小值．【例12】设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞， Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 题型六、二次函数与一元二次方程【例13】已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1，一个大于1，求p 的取值范围．【练一练】设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．【例14】已知方程20x ax b ++=的两根均大于2，求a b ，的关系式．【练一练】方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数m 的取值范围．题型七、二次函数与不等式恒成立问题 【例15】设23y x ax a =++-（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．【练一练】函数()23f x x ax =++．（1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 得取值范围； （2）当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．【练1】 一次函数经过沿y 轴向下平移3个单位，在向右平移2个单位，所得的直线的解析式为()23y x =-，则原来的一次函数解析式为 ．【练2】 直线1l 是正比例函数的图象，将1l 沿y 轴向上平移2个单位得到的直线2l 经过点()11P ，，那么（ ）A ．1l 过第一．三象限B ．2l 过第二．三．四象限C ．对于1l ，y 随x 的增大而减小D ．对于2l ，y 随x 的增大而增大【练3】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【练4】 已知二次函数()()222143y x m x m m =-++-+-，m 为非负整数，它的图像与x 轴交于A B ，两点，其中点A 在原点左边，点B 在原点右边． （1）求函数的解析式；（2）若一次函数y kx b =+的图像经过A 与二次函数图像交于C 又10ABC =V S ，求一次函数的解析式．【练5】 若方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=的根都为正数，求m 的取值范围．【练6】 设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程()f x x =的两根12,,x x 满足1210x x a<<<． （Ⅰ）当1(0,)x x ∈时，求证：1()x f x x <<（Ⅱ）设函数()f x 的图象关于0x x =对称，求证：102x x <随堂练习xOy 32【题1】 已知二次函数过点()01-，，且顶点为()12-，，求函数解析式．【题2】 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．（1）抛物线的顶点在x 轴上；（2）抛物线的顶点在y 轴上； （3）抛物线经过点(1,2)--； （4）抛物线经过原点；（5）当1x =-时，y 有最小值； （6）y 的最小值为1-．【题3】 已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；② 方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个1Oyx课后作业【题4】 若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围．【题5】 已知()[]2221f x x x x t t =-+∈+，，，若()f x 的最小值为()g t ，写出()g t 的表达式．。

二次函数与一次函数的综合应用一、综合题1．我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为W 万元.(毛利润=销售额−生产费用)（1）请直接写出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式;(写出自变量x 的取值范围)（2）求W 与x 之间的函数关系式;(写出自变量x 的取值范围)；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大?最大毛利润是多少?（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润?2．如图，已知顶点为 (0,3)C - 的抛物线 2(0)y ax b a =+≠ 与 x 轴交于 A ， B 两点，直线y x m =+ 过顶点 C 和点 B ．（1）求 m 的值；（2）求函数 2(0)y ax b a =+≠ 的解析式；（3）抛物线上是否存在点 M ，使得 15MCB ∠=︒ ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知二次函数 2222y x mx m m =-+--+ （ m 是常数）.（1）若该函数图象与 x 轴有两个不同的公共点，求 m 的取值范围；（2）求证：不论 m 为何值，该函数图象的顶点都在函数 2y x =-+ 的图象上；（3）()11,P x y ， ()22,Q x y 是该二次函数图象上的点，当 121x x << 时，都有 211y y << ，则 m 的取值范围是 .4．有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润 1y （万元）与投资成本x （万元）满足如图①所示的二次函数 21y ax = ；种植柏树的利润 2y （万元）与投资成本x （万元）满足如图②所示的正比例函数 2y =kx ．（1）分别求出利润 1y （万元）和利润 2y （万元）关于投资成本x （万元）的函数关系式； （2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？5．如图，抛物线 21y ax c =+ 的顶点为 M ，且抛物线与直线 21y kx =+ 相交于 A B ， 两点，且点 A在 x 轴上，点 B 的坐标为 (23)，，连接 AM BM ， .（1）a = ， c = ， k = （直接写出结果）； （2）当 12y y < 时，则 x 的取值范围为 （直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P ，使得 ABP ∆ 的面积最大？若存在，求出 ABP ∆的最大面积及点 P 坐标.6．已知抛物线y=12 x 2﹣4x+7与y= 12x 交于A 、B 两点（A 在B 点左侧）. （1）求A 、B 两点坐标；（2）求抛物线顶点C 的坐标，并求△ABC 面积.7．如图1，抛物线y ＝ax 2＋ax －2a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左边），与y 轴交于点C ，△ABC的面积为32（1）直接写出A 、B 两点坐标以及抛物线的解析式（2）点P （2，h ）在抛物线上，点D 在第三象限的抛物线上，△APD ＝2△BAP ，求点D 的坐标（3）如图2，直线EF ：y ＝mx ＋n （m ＞0）交抛物线于E 、F 两点，直线PF 、PE 分别与y 轴的正、负半轴交于N 、M 两点，OM·ON ＝4，求证：直线EF 必过定点，并求出这个定点的坐标8．如图，在平面直角坐标系中，直线 4y x =-+ 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线()213y x m n =--+ 的顶点P 在直线 4y x =-+ 上，抛物线与y 轴交于点C （点P 、C 不与点B 重合），以BC 为边作矩形BCDE ，且CD ＝2，点P 、D 在y 轴的同侧（1）写出n ＝ ；点C 的纵坐标是 （都用含m 的代数式表示） （2）当P 在第一象限且在矩形BCDE 的边DE 上时，求抛物线对应的函数表达式 （3）设矩形BCDE 的周长为d （d ＞0），求d 与m 之间的函数表达式9．如图，在 Rt ABC 中， 90BCA ∠=︒ ， CD AB ⊥ 于点 D ， 1CD AD -= ，为了研究图中线段之间的关系，设 CD x = ， BD y = ，（1）可通过证明ACD CBD ~ ，得到 y 关于 x 的函数表达式 y = ，其中自变量 x 的取值范围是 ；（2）根据图中给出的（1）中函数图象上的点，画出该函数的图象；（3）借助函数图象，回答下列问题：①BD 的最小值是 ；②已知当 AB CD k += 时，Rt ABC 的形状与大小唯一确定，借助函数图象给出 k 的一个估计值（精确到0.1）或者借助计算给出 k的精确值．10．如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A ，B两点，抛物线y=x2+bx+c过A 、B 两点，且交x 轴的正半轴于点C 。

《中考压轴题》专题13：函数之一次函数、反比例函数和二次函数问题一、选择题1.函数y=ax 2+1与a y x =（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是【】A ．B ．C ．D ．2.二次函数2y ax b =+（b ＞0）与反比例函数a y x=在同一坐标系中的图象可能是【】A. B. C. D.3.函数a y x=与y=ax 2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是【】A. B. C. D.4.已知反比例函数k y x =的图像如图所示，则二次函数22y 2kx 4x k =-+的图像大致为【】A. B. C. D.5.已知反比例函数k y x =的图像如图所示，则二次函数22y 2kx 4x k =-+的图像大致为【】A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有【】A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个7.函数k y x=与y=﹣kx 2+k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是【】A. B. C.D.8.已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是【】A. B. C. D.9.一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x=≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。

则下列结论中，正确的是【】A ．b 2a k =+B ．a b k =+C ．a b 0>>D ．a k 0>>10.若正比例函数y=mx （m ≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是【】11.如图，已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2.下列判断：①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有【】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.二次函数的图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是【】A ．B ．C ．D ．13.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则函数a y x=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是【】A ．B ．C ．D ．二解答题1.如图①，双曲线kyx（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求DNNB的值．2.已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A （﹣3，0），B （0，﹣3）两点，二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A ．（1）求一次函数y=kx+b 的解析式；（2）若二次函数y=x 2+mx+n 图象的顶点在直线AB 上，求m ，n 的值；（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣4，求m ，n 的值．4.在平面直角坐标系中,抛物线()2y x k 1x k =+--与直线y kx 1=+交于A,B 两点，点A 在点B 的左侧.（1）如图1，当k 1=时，直接写出．．．．A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线()()2y x k 1x k k >0=+--与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）.在直线y kx 1=+上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由.5.给定直线l ：y=kx ，抛物线C ：y=ax 2+bx+1．（1）当b=1时，l 与C 相交于A ，B 两点，其中A 为C 的顶点，B 与A 关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l 向上平移k 2+1个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P 是此抛物线上任一点，过P 作PQ ∥y 轴且与直线y=2交于Q 点，O 为原点．求证：OP=PQ ．6.已知：直线y=ax+b 与抛物线2y ax bx c =-+的一个交点为A （0，2），同时这条直线与x 轴相交于点B ，且相交所成的角β为45°．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线2y ax bx c =-+的解析式；（3）判断抛物线2y ax bx c =-+与x 轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M ，N （点M 在点N 左边），将此抛物线关于y 轴作轴反射得到M 的对应点为E ，轴反射后的像与原像相交于点F ，连接NF ，EF 得△DEF ，在原像上是否存在点P ，使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为．8.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．9.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量p 件与销售的天数x 的关系如下表：x （天）123...50p （件）118116114 (20)销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x≤50时1125q 40x=+．（1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式．（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？10.如图，已知直线AB ：y kx 2k 4=++与抛物线21y x 2=交于A 、B 两点，（1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标；（2）当1k 2=-时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离.11.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价-进价） 销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）101113销售量y（kg）（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？12.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，点B （2，43-）和点C （﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F （0，34-）在y 轴上，过点（0，34）作直线l 与x 轴平行．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式．（2）设点D （x ，y ）是线段BC 上的一个动点（点D 不与B ，C 重合），过点D 作x 轴的垂线，与抛物线交于点G ．设线段GD 的长度为h ，求h 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD 的长度h 最大，最大长度h 的值是多少？（3）若点P （m ，n ）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF 并延长，交抛物线于另一点Q ，过点Q 作QS ⊥l ，垂足为点S ，过点P 作PN ⊥l ，垂足为点N ，试判断△FNS 的形状，并说明理由；（4）若点A （﹣2，t ）在线段BC 上，点M 为抛物线上的一个动点，连接AF ，当点M 在何位置时，MF+MA 的值最小，请直接写出此时点M 的坐标与MF+MA 的最小值．13.如图，直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线()2y a x 2k =-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ．（1）求a ，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．14.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-），以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.（1）求直线BC 的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ⋅的值，并证明你的结论；（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t)秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.15.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数ny x=（n 为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s ﹣1（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax 2+bx+1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），且满足﹣2＜x 1＜2，|x 1﹣x 2|=2，令t=b 2﹣2b+15748，试求出t 的取值范围．16.已知抛物线()25k 2y x k 2x 4+=-++和直线()()2y k 1x k 1=+++．（1）求证：无论k 取何实数值，抛物线总与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x 轴交于点A 、B ，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1•x 2•x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图），且CA•GE=CG•AB ，求抛物线的解析式．17.如图①，直线l ：y=mx+n （m ＞0，n ＜0）与x ，y 轴分别相交于A ，B 两点，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，过点A ，B ，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线．（1）若l ：y=﹣2x+2，则P 表示的函数解析式为；若P ：y=﹣x 2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P 的对称轴（用含m ，n 的代数式表示）；（3）如图②，若l ：y=﹣2x+4，P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上．当以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l ：y=mx ﹣4m ，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ．若OM=，直接写出l ，P 表示的函数解析式．18.如图，直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线21y x bx c 3=++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．19.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中-3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L 与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20.如图，已知直线l的解析式为1y x12=-，抛物线y=ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D51,4⎛⎫⎪⎝⎭三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．21.今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年（x为正整数）投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为1y x56=-+．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表：时间x（单位：年，x为正整数）12345…单位面积租金z（单位：元/平方米）5052545658…（1）求出z与x的函数关系式；（2）设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？22.如图，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD 重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．25.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线1y x12=-+相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx 3=++与x 轴交于点A （﹣4，0），B （﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D ．①如图（1），若四边形ODAE 是以OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE 的面积为6时，请判断平行四边形ODAE 是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线1y x 32=+与抛物线交于点Q 、C 两点，过点D 作直线DF ⊥x 轴于点H ，交QC 于点F ．请问是否存在这样的点D ，使点D 到直线CQ 的距离与点C 到直线DF ：2？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，已知一次函数11y x b 2=+的图象l 与二次函数22y x mx b =-++的图象'C 都经过点B （0,1）和点C ，且图象'C 过点A （52-，0）.（1）求二次函数的最大值；（2）设使21y y >成立的x 取值的所有整数和为s ，若s 是关于x 的方程131x 0a 1x 3⎛⎫++= ⎪--⎝⎭的根，求a 的值；（3）若点F 、G 在图象'C 上，长度为5的线段DE 在线段BC 上移动，EF 与DG 始终平行于y 轴，当四边形DEFG 的面积最大时，在x 轴上求点P ，使PD+PE 最小，求出点P 的坐标.28．如图，已知直线y 3x 3=-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过点A 和点C ，对称轴为直线l ：x 1=-，该抛物线与x 轴的另一个交点为B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 在直线l 上，求出使△PAC 的周长最小的点P 的坐标；（3）点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由．29．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；=2S△BPD；（2）当m为何值时，S四边形OBDC（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．30．已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，已知抛物线23y ax x c 2=-+与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线1y x 22=-交于B 、C 两点，其中点C 是直线1y x 22=-与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC 为直角三角形；（3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．32．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M 0>，对于任意的函数值y ，都满足M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数()1y x 0x=>和()y x 14x 2=+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数()y x 1a x b b a =-+≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数()2y x 1x m m 0=-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足3t 14≤≤33．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A(-1，0)，B(5，0）两点，直线3y x 34=-+与y 轴交于点C ，，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若PE =5EF ，求m 的值；（3）若点E /是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E /落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.34．某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y （万个）与销售价格x （元/个）的变化如下表：价格x （元/个）…30405060…销售量y （万个）…5432…同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y 与x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x （元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z （万个）与销售价格x （元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x （元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？35．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.36．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位∶万元/吨）与销售数量x（x≥2）（单位∶吨）之间的函数关系式如图，B类杨梅深加工总费用s（单位:万元）与加工数量t（单位∶吨）之间的函数关系是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x这间的函数关系式;（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收人－经营总成本）.①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润，问∶用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次该公司准备投人132万元资金，请设计－种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．37．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.38.已知函数23y kx 2x 2=-+（k 是常数）（1）若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；（2）若点()M 1,k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数23y kx 2x 2=-+都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设抛物线23y kx 2x 2=-+与x 轴交于()()12x ,0,B x A ,0两点，且12x x <，2212x x 1+=，在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。

二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为)0(2≠++=a c bx ax y 利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标，到底需要几个点的坐标就能求出解析式呢就看c b a ,,不知道几个，3个系数都不知道就需要3个点的坐标，2个系数不知道就需要2个点的坐标，1个系数都不知道就需要1个点的坐标。

把坐标带入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式；例：已知二次函数),,(2均为常数c b a c bx ax y ++=的图象经过三点A （2,0），B （0，-6），C （1，-2），求这个二次函数的解析式；解：把A （2,0），B （0，-6），C （1，-2）代入c bx ax y ++=2，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==++65126024c b a c b a c c b a 所以二次函数的解析式为：652-+-=x x y②顶点式法：设二次函数为)0()(2≠+-=a k h x a y￥利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们一个条件就是对称轴和顶点坐标，因为在所设的函数中，对称轴就是x=h ，所以顶点坐标是（h,k ）。

只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h 和k 两个未知数（a,h,k ）的值，需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A （），求这个二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数为5)1(2+-=x a y ，又因为函数经过点A （0,7），把A （0,7）代入函数得 2,75)10(2=∴=+-a a所以二次函数的解析式为：742,5)1(222+-=+-=x x y x y 即③交点式法：设二次函数为)0)()((21≠--=a x x x x a y利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们某二次函数与x 轴的两个交点的坐标，所以只需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例、已知某二次函数的图象与x 轴相交于两点A （3,0）和B （5,0），且该二次函数经过点C （6,6），求该二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数的解析式为)5)(3(--=x x a y。

二次函数与一次函数的关系与计算二次函数和一次函数是高中数学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数与一次函数的基本概念、关系以及计算方法。

一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的方程呈现二次多项式的形式。

二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

二次函数的图像一般是抛物线形状，开口方向由系数a的正负确定。

二次函数的性质包括：1. 对称性：二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称。

这意味着如果函数值f(x)在某点x处为y，那么在以(-b/2a,-y)为对称中心的点处，函数值也为y。

2. 零点与根的关系：如果一个实数x使得f(x) = 0，则称x为二次函数的一个零点或根。

二次函数的零点可以通过求解方程ax^2 + bx + c =0来得到。

3. 极值点：当二次函数的开口朝上时，函数的最小值称为极值点；当二次函数的开口朝下时，函数的最大值称为极值点。

极值点的纵坐标可以通过计算函数的顶点坐标得到，顶点的横坐标为 -b/2a。

二、一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数之间存在一定的关系。

如果将二次函数 f(x) =ax^2 + bx + c 中的a、b、c值分别取成0，那么得到的就是一次函数 f(x) = bx + c。

也就是说，一次函数是二次函数在a为0的特殊情况下的简化形式。

另外，二次函数的图像是一个抛物线，而一次函数的图像则是一条直线。

所以，可以说一次函数是二次函数的一种特殊情况。

三、二次函数与一次函数的计算在计算中，我们需要了解一些关于二次函数和一次函数的计算方法。

1. 计算二次函数的零点：要计算二次函数的零点，我们可以将二次函数的方程设置为0，然后使用求根公式或配方法进行计算。

我们可以使用以下求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)根据这个公式，可以求得二次函数的根。

2023年中考数学专题——二次函数与一次函数的综合一、综合题1．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+4x+c 经过原点O （0，0）和点A （3，3），P 为抛物线上的一个动点，过点P作x 轴的垂线，垂足为B （m ，0），并与直线OA 交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OA 上方时，求线段PC 的最大值.2．如图，抛物线 212y x bx c =-++ 与 x 轴交于点 A 和点 ()10B ， ，交 y 轴于点C ，连接 AC ， BC ，已知 2OA OC = ，且 ABC 的面积为 212.（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 //PQ y 轴，交直线 AC 于点 Q .抛物线上是否存在点 P ，使以 P ， Q ， O ， C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 ()10A -， ， ()30B ， ，与y 轴交于点C ，直线 BC 的解析式为 3y kx =+ ．（1）求直线 BC 的解析式和抛物线的解析式；（2）点 ()P m n ， 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式和S 的最大值，并指出m 的取值范围．4．如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，3)．（1）若抛物线的对称轴是直线x=-2．①求抛物线的解析式；②点P 在对称轴上，若△PBC 的面积是6，求点P 的坐标；（2）当b≤0，﹣2≤x≤0时，函数y 的最大值满足2≤y≤10，求b 的取值范围．5．如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A(－1，0)和B(3，0)两点，交y 轴于点E ．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若直线y=x+1与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点F ，连接DE ，求 ∆ DEF 的面积．6．如图，已知抛物线 212y x bx =+ 与直线 2y x = 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴和y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；（3）以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式.7．如图，直线l ： 33y x =-+ 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线 ()2240y ax ax a a =-++< 经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．8．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 22y ax x c =-+ 与 x 轴交于点 (1,0)A ，点(3,0)B - ，与 y 轴相交于点 C .（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）已知点 C 关于抛物线对称轴的对称点为点 N ，连接 BC ， BN ，点 H 在 x 轴上，当HCB NBC ∠=∠ 时，求满足条件的点 H 的坐标.9．如图，抛物线y=-x 2+bx+c(b>0)，交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，已知A 的横坐标为-1。

二次函数和一次函数的综合应用二次函数和一次函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题的解决中具有广泛的应用。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一次函数的一般形式为y=mx+n。

在本文中，将探讨二次函数和一次函数的综合应用，并通过实际问题的例子，说明它们在现实生活中的应用价值。

1. 抛物线的模型应用二次函数可以用来建立抛物线的模型，抛物线在现实生活中的应用非常广泛。

例如，在物理学中，当考虑抛体在空中自由落体运动时，可以使用二次函数来描述物体的运动轨迹。

另外，抛物线也可用于炮弹的射程计算、杆塔的线拉力计算等工程问题。

2. 二次方程的求解二次函数与二次方程密切相关，二次方程是二次函数的零点问题。

二次方程的求解是解决许多实际问题的基础。

例如，在物理学中，当考虑自由落体运动时，可以通过求解二次方程来计算物体的时间、速度等参数。

在经济学中，二次方程可以用来解决成本、收益、利润等问题。

在工程领域中，二次方程可以应用于建筑、设计、模拟等方面。

3. 直线与曲线的交点问题一次函数和二次函数之间的交点问题是实际生活中常见的问题。

例如，在经济学中，我们可以通过求解一次函数和二次函数的交点，来分析生产成本与产量之间的关系，或者评估销售利润和销售数量之间的关系。

在几何学中，我们可以通过求解二次函数与一次函数的交点，来解决线段和抛物线的交点问题。

4. 最优化问题二次函数和一次函数也常用于解决最优化问题。

例如，在经济学中，我们可以通过建立成本函数和收益函数来优化生产和经营决策。

通过研究二次函数的顶点来确定最大值或最小值。

在物理学中，最优化问题也广泛应用于动力学、力学等领域。

综上所述，二次函数和一次函数的综合应用非常重要，并在许多领域中发挥着重要的作用。

通过建立模型、求解方程、分析交点和解决最优化问题，我们可以利用二次函数和一次函数来解决现实生活中的实际问题。

这些方法不仅在学术研究中有重要意义，也对我们的日常生活产生了积极的影响。

二次函数与一次函数在数学中，函数是一种映射关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的唯一元素。

一次函数和二次函数是常见的函数类型，在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将重点讨论二次函数与一次函数的性质、图像特征以及它们在现实生活中的应用。

一、一次函数一次函数又被称为线性函数，是最简单的函数类型之一。

一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 分别是常数，而 x 是自变量。

一次函数的图像是一条斜率为 a 的直线，直线的截距是 b。

1. 性质：- 一次函数的图像是直线，且不经过原点（除非 b = 0）。

- 一次函数的斜率确定了直线的倾斜程度，斜率为正表示函数图像向上倾斜，斜率为负表示函数图像向下倾斜，斜率为零表示函数图像平行于 x 轴。

- 当 a = 0 时，函数为常数函数，图像是一条水平直线，斜率为零。

2. 图像特征：一次函数的图像是一条直线，其特征可以通过斜率和截距来确定。

斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与 y 轴的交点位置。

3. 应用：一次函数在实际问题中有广泛的应用。

例如，物体的匀速直线运动可以用一次函数来描述，其中自变量是时间，函数值是物体的位置。

此外，一次函数还可用于经济学中的成本函数、收益函数等方面的建模。

二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，而 x 是自变量。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由 a 的正负决定。

1. 性质：- 二次函数的图像是抛物线，开口方向决定于 a 的正负。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

- 二次函数图像的顶点坐标是 (-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中 f(x) 是二次函数的表达式。

- 当 a = 0 时，函数不再是二次函数，而是一次函数。

2. 图像特征：二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向和顶点位置是函数的主要特征。

三 函数3.1 一次函数例1.已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上；（3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.例2.已知21y y y +=，y 1与 x 成正比例，y 2与x 成反比例，并且当x=2时,y=6;当 x=3时,y=5,求y 与x 的函数关系式。

课堂练习：1.点P 在第二象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ） A.(-4,3) B.(-3,-4) C.(-3,4) D.(3,-4)2.已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）3.如图,点A 的坐标为(-1，0),点B 在直线y=x 上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标为 ( )A.（0，0）B.（22，22-） C.（-21，-21） D.（-22，-22） 4.已知整数x 满足-5≤x ≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（ ）A.1B.2C.24D.-95.将点P(5，3)向左平移4个单位,再向下平移1个单位后,落在函数y=kx-2的图象上,则k 的值为（ ） A.k=2 B.k=4 C.k=15 D.k=366.如图(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，则△BCD 的面积是（ ）A.3B.4C.5D.67.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ）A.乙比甲先到终点B.乙测试的速度随时间增加而增大C.比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D.比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快8.如图,已知点F 的坐标为（3,0），点A 、B 分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点,点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x,PF 的长为d,且d 与x 之间满足关系:)50(535≤≤-=x x d ，则结论： （1）AF=2;(2)BF=4;(3)OA=5;(4)OB=3,正确结论的序号是（ ）A.(1)(2)(3)B. (1)(3)C.(1)(2)(4)D.(3)(4)9.一电工沿着如图所示的梯子NL 往上爬，当他爬到中点M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M 的坐标为（x ，y ）（x>0）,则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）10.如果直线方程ax+by+c=0中，a ＜0，b ＜0且bc ＜0，则此直线经过第________象限.11.如图，一个正比例函数的图象和一个一次函数的图象交于点 A （-1,2），且△ABO 的面积为 5，求这两个函数的解析式。