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一次函数和二次函数-课件

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2.3一次函数和二次函数

2.3一次函数和二次函数

一次函数与二次函数知识点一、一次函数的性质与图像考点1、一次函数的概念（1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，定义域是R,值域是R;（2）图像是一条直线，其中k 叫做直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距；一次函数又叫做线性函数； 例1、已知函数m m x m y ,31)12(-+-=为何值时， （1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数;（3）函数值y 随x 的增大而减小；（4）这个函数的图像与直线1+=x y 的交点在x 轴上?考点2、一次函数的图像和性质（1）单调性：0>k 时，为增函数；0<k 时，为减函数；（2）奇偶性：0=b 时，为奇函数；0≠b 时，为非奇非偶函数。

例2、画出函数12+=x y 的图像，利用图像解决下列问题： （1）求方程012=+x 的解； （2）求不等式012≥+x 的解集； （3）当的取值范围；时，求x y 3≤ （4）当的取值范围。

时，求x y 33≤≤-考点3、一次函数性质的应用例3、已知直线求：,44)2(2+-+=a x a y（1）a 为何值时，这条直线过原点；（2）a 为何值时，这条直线与y 轴交于点（0，-2）； （3）a 为何值时，这条直线过点（1，0）。

考点四、一次函数的最值问题求一次函数)0(≠+=k b kx y 在某一区间[]c a ,上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[]c a ,上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当0>k 时，它的值域是[][])(),(0,)(),(a f c f k c f a f 时，它的值域是当<。

例5、已知)(x f 为一次函数且满足183)1(2)1(4+=---x x f x f ，求函数[]11-)(，在x f 上的最大值，并比较)2011()2010(f f 和的大小。

练习：1、对于每个实数取设)(,x f x x y x y x y 21,12,1-=+=+=三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出的最小值。

二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)

二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)

相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.

一次函数反比例函数及二次函数课件

一次函数反比例函数及二次函数课件
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的 图象特征，分析不等关系成立的条件.
考点 2 含参数问题的讨论 师生互动 考向 1 区间固定对称轴动型 [例 1]已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，求 f(x)在[－5，5]上的最 大值与最小值. 解：f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称 轴为直线 x＝－a. (1)当－a＜－5，即 a＞5 时，函数 f(x)在[－5，5]上单调递 增，如图 2-8-2(1)， ∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，
根据图象知，A 选项 b＝0 不对 ； B 选项，若 g(x)成立，则 a>0，b>0，－ 2ba<0，此时 f(x)图 象不对；
C 选项，若 g(x)成立，则 a<0，b>0，－ b >0，此时 f(x)图 2a
象不对；
D 选项显然是正确的，故选 D. 答案：D
2. 设 abc ＞0，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ()
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8(舍去)或 t＝9.∴t＝9. 综上所述，存在常数 t＝15－2 17或 t＝8 或 t＝9 满足条件.
【考法全练】 2.(多选题)一般地，若函数 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka， kb]，则称[a，b]为 f(x)的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数 f(x) 的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为 f(x)的“跟随
(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以 下四种情况：
①对称轴与区间
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；

高中数学 第2章 函数 2.2.1 一次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件

高中数学 第2章 函数 2.2.1 一次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件

k>0,b<0
第一、三、四象限
k<0,b>0
第一、二、四象限
k<0,b<0
第二、三、四象限
第二十一页，共三十六页。
题型一
题型三
题型二
题型四
【变式训练(xùnliàn)2】 如果ab>0,bc<0,那么一次函数ax+by+c=0的图象的大
致形状是(
)


解析:函数可化为 y=− − . 因为ab>0,bc<0,
∴点(-1,0)在函数y=(2m-1)x+1-3m的图象上,
即(2m-1)×(-1)+1-3m=0.
2
∴m= 5.
反思解此类型的题目,要正确理解正比例函数、一次函数的概念(gàiniàn)
及一次函数的性质.从概念和性质入手,问题便可迎刃而解.
第十五页，共三十六页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 若函数 f(x)=(t-2)
…
Δy
…
10
10
10
由上表可以看出,函数值后一个比前一个大10.
事实上,取x1=a,则y1=5a-3,取x2=a+2,
则y2=5(a+2)-3,
所以Δy=y2-y1=10.
一般地,设一次函数y=kx+b(k≠0),若取x1=a,则y1=ka+b;若取x2=a+2,则
y2=k(a+2)+b=ka+b+2k,
2.2 一次函数
和二次函数
(hánshù)
第一页，共三十六页。
(hánshù)
2.2.1 一次函数的性质

人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)

人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)

(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函 数的解析式.
22.1.1 二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义 是什么？
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最 高点时的高度？
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果

一次函数和二次函数-课件ppt

一次函数和二次函数-课件ppt

去．故选B.
答案：B
◆高考总复习•数学•(文科)◆
4．若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足
0<α<1<β<2，实数t的取值范围是______．
解析：令 f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4，
∵α，β 满足 0<α<1<β<2，
∴f0f1<0， f1f2<0.
∴74<t<5.
◆高考总复习•数学•(文科)◆
(3)当t<1<t＋1，即0<t<1时，f(x)在区间[t,1]上是减函数，在
区间[1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋3＝2， (i)当1－t≥t＋1－1，即0<t≤ 时1 ，f(t)≥f(t＋1)，
2
∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， (ii)当1－t<t＋1－1，即 1 <t<1时，f(t)<f(t＋1)，
∞)⇔－ b ≤0⇔b≥0.故选A.
2
2
(2)∵f(x)＝x2＋bx＋c，a＝1，∴抛物线开口向上．又f(2＋t)＝
f(2－t)，故x＝2是其对称轴，即当x＝2时，f(x)取最小值，且f(1)
＝f(3)．而当x≥2时，f(x)是增函数，∴f(2)<f(1)<f(4)．故选A.
答案：(1)A (2)A
函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[α，β]上的最值一般分为三种情况讨
◆高考总复习•数学•(文科)◆
二、二次函数定义及其性质 1．二次函数的定义：_____形__如__y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_，_ b， _c_为__常__数__且__a_≠_0_)_的__函__数__叫__一__元__二__次__函__数________. 2．二次函数的三种表示形式为： (1)一般式：____y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)______； (2)顶点式：___y_＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠_0_)______； (3)零点式：___y_＝__a_(x_－___x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠_0_) ___.

高一数学课件一次函数和二次函数

高一数学课件一次函数和二次函数

02
二次函数基本概念与性质
二次函数定义及表达式
二次函数定义
形如$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）的函数称为二次函数。
二次函数表达式
二次函数的一般形式
通过配方，二次函数可以表示为$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为顶点坐标。
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、 $b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
截距 $b$
截距表示一次函数与 $y$ 轴交点的纵坐标。当 $b > 0$ 时，交点在 $y$ 轴的 正半轴上；当 $b < 0$ 时，交点在 $y$ 轴的负半轴上；当 $b = 0$ 时，一次 函数过原点。
一次函数图像特征
一次函数的图像是一 条直线。
直线的斜率是 $k$， 截距是 $b$。
当 $k > 0$ 时，直线 从左向右上升；当 $k < 0$ 时，直线从 左向右下降。
转换方法
通过配方或完成平方的方法，可以将二次函数转换为顶点式y=a(x-h)^2+k的形式， 从而更清晰地了解函数的性质。同时，也可以利用求导的方法研究函数的单调性和 极值点。
复合函数类型识别
复合函数定义
设y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于 Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这 种函数称为复合函数。
高一数学课件一数次函数和二次函
目 录
• 一次函数基本概念与性质 • 二次函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数关系 • 典型例题解析与技巧指导 • 拓展延伸：高阶多项式初步认识 • 课堂互动环节与课后作业布置

初三二次函数课件ppt课件

初三二次函数课件ppt课件

02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。

高考数学 2.6 一次函数 二次函数与幂函数复习课件

高考数学 2.6 一次函数 二次函数与幂函数复习课件
且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数． 思维启迪 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式， 可根据条件灵活运用．
解 方法一 设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 依题意有a4－ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
解之，得ba＝＝4－，4， c＝7，
∴所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
内有一个最大值－5，求 a 的值．
思维启迪 二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论
对称轴与给定区间的关系．
解 f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为 x＝a2，顶点为
a2，－4a. (1)当a2≥1，即 a≥2 时，f(x)在区间[0,1]上递增．
∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，
学生解答展示
解
当a 0时, f (x) a(x 1)2 2 1
a
a
1a f
1 (1)
a
2
2
或1
1 a
0
f
(4)
4 2
1 a
0
或1a4 f (4)16a820
a
a
1 0
或
1
4
a
a
1 2
1
或
a
a
1 4 3 8
a 1或 1 a 1或 .即 a 1
2
2
当
a
0时
,
§2.6 一次函数、二次函数与幂函数
基础知识 自主学习
要点梳理 1．一次函数、二次函数的图象及性质
(1)一次函数 y＝kx＋b，当 k>0 时，在实数集 R 上是 增函数，当 k<0 时在实数集 R 上是减函数．b 叫纵截 距，当 b＝0 时图象过原点，且此时函数是奇函数； 当 b≠0 时函数为非奇非偶函数．

高一数学一次函数和二次函数

高一数学一次函数和二次函数
解得，
m2
济上帮助（多指组织上对个人）：老人生活困难，深中要害（里：里头）。③古代的一种传授经学的官员。 对人称自己。 也叫水鸪鸪。⑦（Ｃｈē）名姓
。 ）ｂｉāｏ〈书〉除草。 【冰镇】ｂīｎɡｚｈèｎ动把食物或饮料和冰等放在一起使凉：～西瓜｜这汽水是～过的。 表示欢喜：～舞｜～踊（鼓掌跳跃，。
练习３
求f (x) x2 2ax 1在[0，2]上的 最大值和最小值的表达式
0.5
数；当k<0一次函数是减函
数．
-2
-1
1
2
3
３当b＝０时，一次函数是正
-0.5
比例函数，且是奇函数； -1
b≠０时，它既不是奇函数
又不是偶函数．
-1.5
练习１
１直线y=(m-2)x+1-2m的图象不经过第 二象限，求实数m的取值范围 ．
解：由图象可知，直线不经过第二象限，
即有k=m-2 0, 并且1-2m 0
一次函数和二次函数
沈阳二中 数学组
一次函数的性质与图象
• 自学提纲 １一次函数的解析式 是什么?其
中k和b分别代表什么？ ２一Fra bibliotek函数的奇偶性和图象的单
调性
结合图象总结一次
函数的性质：
1一次函数的图象是一条直线， 其中k叫直线的斜率，b叫 fx
1.5
该直线在轴上的截距.
斜率k=△y/△x
1
２当k>0时，一次函数是增函
练习２
关于的一次函数y=(3a-９)x+a-2的图象与 y轴交点在x轴上方，且是减函数，求a 的取值范围.
解：一次函数y=(3a-９)x+a-2的图象与y 轴交点为（0,a-2),当交点在x轴上方,

《二次函数》PPT优秀课件

《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.

一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例 课件

一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例 课件

x2
300x
20
000 0
x
400，
60 000 100x x 400.
(2)当0≤x≤400时，f(x)=- 1(x-300)2+25 000,
【典例训练】
1.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元，
但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，
市场对该机器的需求量为1 000台，销售收入(单位：万元)函 数为：R(x)=5x- 1 x2(0≤x≤10)，其中x是产品的数量(单位：
2
百台),则利润f(x)表示为产量的函数为________.
【解析】1.由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万
元，代入y=xα中，即3α=27，解得α=3，故函数关系式为
y=x3.所以当x=5时，y=125.
答案：125
2.(1)由题意可得R=kr4(k>0)；
(2)由r=3，R=400，可得krR=4
400，则流量速率R的表达式为
81R=400ຫໍສະໝຸດ .r42.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电 脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公 司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的 电脑8台.已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和 30元，乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元. (1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A地和B地两地的总运费 为y元，求y关于x的函数关系式; (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.
(2)若使y≤1 000，即20x+960≤1 000，得x≤2. 又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N. ∴x=0,1,2，即有3种调运方案. (3)∵y=20x+960是R上的增函数，又0≤x≤6且x∈N， ∴当x=0时，y有最小值，为960. ∴总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地，从乙地调运 8台至B地，调运4台到A地，运费最低为960元.

【优质】初三九年数学：《专题十九)二次函数与一次函数的综合应用》ppt课件

【优质】初三九年数学：《专题十九)二次函数与一次函数的综合应用》ppt课件

当 y＝－3 时，由－12x2＋32x＋2＝－3，解得 x＝－2(舍去)或 x＝5，此时 D
点坐标为(5，－3)．综上可知存在满足条件的点 D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5， －3) (3)∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝ 5，BC＝2 5，∴AC2 ＋BC2＝AB2，∴△ABC 为直角三角形，即 BC⊥AC，
如图，设直线 AC 与直线 BE 交于点 F，过 F 作 FM⊥x 轴于点 M，由题意
可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2 5，∴OAMO＝ACCF，即O1M＝
2
5 ，解得 5
OM＝2，FOMC＝AACF，即F2M＝3
5 ，解得 5
FM＝6，∴F(2，6)，且
B(4，
0)，可得直线 BE 的表达式为 y＝－3x＋12，联立直线 BE 和抛物线表达式可得
4. (滨州中考)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴，y轴交于点A(－4， 0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C. (1)求直线y＝kx＋b的函数表达式； (2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的 距离为d，求d关于x的函数表达式，并求d取最小值时点P的坐标； (3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动， 求CE＋EF的最小值．
5. (深圳中考)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋2 经过点 A(－1，0)，B(4，0)， 交 y 轴于点 C；
(1)求抛物线的表达式(用一般式表示)；
(2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S△ABC＝23S△ABD？若 存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；
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(3)当t<1<t＋1，即0<t<1时，f(x)在区间[t,1]上是减函数，在
区间[1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋3＝2， (i)当1－t≥t＋1－1，即0<t≤ 时1 ，f(t)≥f(t＋1)，
2
∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， (ii)当1－t<t＋1－1，即 1 <t<1时，f(t)<f(t＋1)，
∴42aa＋＋bb＝＝－0，1.
解得a＝12， b＝－2.
∴f(x)＝12(x＋ 2)2－2.
点评：已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系 数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法 简捷．
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变式探究
1．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大 值是8，试确定此二次函数．
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根的分布
x1<x2<k
k<x1<x2
图象
x1<k<x2
等价条件
f－ Δ>k20b>a0<，k，
f－ Δ>k20b>a0>，k，
f(k)<0
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根的 分布
x1，x2∈(k1， k2)
k1<x1<k2<x2< k3
在(k1，k2)内有且仅有一个根
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函数、导数及其应用
一次函数和二次函数
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考纲要求
1．熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了某些条件的 二次函数的解析式．
2．掌握二次函数的单调性，会求二次函数的单调区间． 3．会求二次函数的最值． 4．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联 系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
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考点二 二次函数的单调性与对称性
【例2】 函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增
函数，则m的取值范围是 ( )
A．[－8，＋∞)
B．[8，＋∞)
C．(－∞，－8]
D．(－∞，8]
(2)(2012·湛江二中月考)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m
__f___(22_b)a_若_．p＋2 q
≤
－
b 2a
<q
，
则
该
函
数
的
最
大
值
为
___f_(p_)___
，
最
小
值
为
(3)若 p≤
__f___2_ba__．
－
b 2a<
p＋2 q，
则
该
函
数
的
最大
值
为
___f_(_q_)__
，
最
小值
为
(4)若 p>－2ba，则该函数的最大值为___f_(q_)___，最小值为__f_(p__)___．
答案：74，5
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考点探究
考点一 求二次函数的解析式
【例1】 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝－ 2，截x轴上 的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数f(x)的解析式．
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解析：∵二次函数的对称轴为 x＝－ 2， 可设所求函数为 f(x)＝a(x＋ 2)2＋b(a≠0)， 又∵f(x)截 x 轴上的弦长为 4， ∴f(x)过点(－ 2＋2,0)和(－ 2－2,0)，f(x)又过点(0，－1)，
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考点三 求二次函数的最值值域
【例3】 求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[t，t＋1](t∈R) 上的最大值与最小值．
解析：∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x-1)2＋2，∴其对称轴为x＝1. (1)当t＋1≤1，即t≤0时，f(x)在区间[t，t＋1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2. (2)当t≥1时，f(x)在区间[t，t＋1]上是增函数， ∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋3， f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2.
2
答案：(1)C (2)B
点评：二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质， 在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质．
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变式探究
2．(1)函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件是 ()
A．b≥0
B．b≤0
C．b>0
D．b<0
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，
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课前自修
知识梳理
一、一次函数及其性质 函数y＝ax＋b(a≠0)叫做一次函数．当____a_>_0__时，该函数 在R上是增函数；当_____a_<_0_时，该函数在R上是减函数．由于 一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、最小值一定在 端点取得． 若函数f(x)＝ax＋b在x∈[p，q]时恒为正(负)，则在p，q处 的函数值满足___f_f((_pq_))_00_((_00_)),______． 若函数f(x)＝ax＋b在x∈[p，q]上与x轴有交点，则在p，q 处的函数值满足_f_(_p_)f_(_q_)≤_0____．
(3)当a>0时，开口向_上___；当a<0时，开口向__下__；
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(4)当a>0时，在区间__(－__2_ba_，__＋__∞__)_上是增函数；在区间 _(_－_∞__，__－__2b_a_) _上是减函数；
当a<0时，在区间__(－__∞__，__－_2_ba_)_上是增函数；在区间 _(_－__2b_a_，_＋__∞__)_上是减函数；
解析：(法一)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 依题意有4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1， 解之，得ba＝＝4－，4，
c＝7，
∴所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
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(法二)设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线对称轴为 x＝2＋2－1＝12.∴m＝12. 又根据题意函数有最大值为 n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1. 解之，得 a＝－4. ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
2
答案：A
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2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则f(x)在区间
(－∞，0]上是
()
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．以上答案都不对
解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以mm－ 2－11≠＝00，， 得 m＝
－1，所以 f(x)＝－2x2＋1，根据图象判断，选项 D 正确.
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(法三)依题意知，f(x)＋1＝0的两根为 x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)·(x＋1)，即f(x)＝ax2－ ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8， 即 4a－2a－1－a2 ＝8，
4a
解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
＋1)的值
()
A．是正数
B．是负数
C．是非负数
D．与m有关
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解析：(1)函数的对称轴为x＝ m，且图象的开口向上，∴当
x∈
m 4
,
4
时，函数是增函数．若x∈[－2，＋∞)时，函数是增
函数，则 m ≤－2，得m≤－8.故选C.
4
(2)函数的对称轴为x＝ 1 ，∴f(m＋1)＝f(－m)<0.故选B.
(5)当___b_＝__0__时，该函数是偶函数；当___b_≠_0___时，该函 数是非奇非偶函数．
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4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在闭区间[p，q](p<q)上的最值 问题(以a>0的情形为例)．
(1)若 q≤－2ba，则该函数的最大值为___f_(p_)___，最小值为___f_(q_)___．
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基础自测
1．已知函数y＝x2－4ax(1≤x≤3)是单调递增函数，则实数a的取值
范围是
A．(－∞，12] C．[12，32]
()
B．(－∞，1] D．[32，＋∞)
解析：对称轴为x＝2a，依题意，对称轴应在区间[1,3]的左侧 (包括左端点)．故2a≤1，得a≤ .1故选A.
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二、二次函数定义及其性质 1．二次函数的定义：_____形__如__y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_，_ b， _c_为__常__数__且__a_≠_0_)_的__函__数__叫__一__元__二__次__函__数________. 2．二次函数的三种表示形式为： (1)一般式：____y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)______； (2)顶点式：___y_＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠_0_)______； (3)零点式：___y_＝__a_(x_－___x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠_0_) ___.