![《近世代数基础》(修订本)张禾瑞[1][1].著_...](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/fa479fb365ce050876321347.webp)
沈阳师范大学教学日历数学与应用数学专业课程名称：近世代数《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、总则1.本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。
其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。
2.本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。
要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
3.教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。
4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。
二、课程说明1．课程基本情况（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra专业必修课2．适用专业：数学与应用数学适用对象：本科3．首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。
二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。
4.考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
三、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。
学时分配四、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
抽象代数基础丘维声答案【篇一：index】t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律[文章摘要]通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。
使我们得以迅速求解其子环和理想。
[关键字]模n剩余类环循环群子环主理想[正文]模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。
一，定义：在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r，arb，当而且只当n|a-b的时候这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。
这显然是一个等价关系。
这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用a?b(n)来表示（读成a同余b模n）。
这个等价关系决定了a的一个分类。
这样得来的类叫做模n的剩余类。
二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。
我们用[a]来表示a所在的剩余类。
规定：[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。
叫做模n剩余类加群。
这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。
三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：[a][b]=[ab]；根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。
叫做模n剩余类环。
四，关于理想的定义：环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：(i) a,b?a?a-b?a；(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。
思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。
数学家张禾瑞的故事张禾瑞，数学家，数学教育家．毕生从事数学教育事业，特别为高等师范院校的代数专业培养了大批人才．《近世代数基础》、《高等代数》两部著作，成为我国在长时期内代数学科的优秀教材．优秀教材哺育后学1946年秋，35岁的年轻教授张禾瑞在北京大学开始了他的教学生涯．由于他的天赋，更由于他工作的勤奋，很快地他就向人们展现了他在教学工作方面的才能．在40年代，国内尚无人写出抽象代数方面的专著，而只有一本用文言文翻译的范德瓦尔登著《ModerneAgebra》的译本《近世代数学》．张禾瑞认为在大学里应该开设近世代数课程，因为作为一个数学专业人才，应该具备近世代数的初步知识，受到基本的代数方法的训练；但他又认为，近世代数是一门既具有丰富材料而又显得有点内容庞杂的学科，作为数学系本科生的一门基础课来说，当然不能包罗万象，面面俱到．因此，他认为照搬外国教材，完全不考虑中国国情的做法是不可取的．在1947年前后，他多次在北京大学主讲近世代数课，并且自己编写教材．当时他敏锐地注意到了国内各大学数学教育以及学生的实际状况，在遵循近世代数学科固有的体系和科学性的原则下，在大量参考世界各国近世代数范本的基础上，他对教材内容的选择、编排和处理等都作了周密的考虑．他的课得到了校内外的好评，当时的北平师范大学、中法大学和辅仁大学纷纷聘请他作兼任教授．他成了当时国内数学界的一位名教授．在教学实践的基础上，他把所编的教材加以整理，并定名为《近世代数基础》，由商务印书馆于1952年正式出版．这是我国第一本近世代数教材．由于这本教材选材适当、推理严谨、条理清晰、文字流畅，所以自出版以来，几十年内被长期沿用．仅就该书的修订本而言，在1978年出版以后的10年中，共印11次，总印数已超过32万册．1988年1月，《近世代数基础》一书获得全国高等学校优秀教材奖，国家教委为他颁发了荣誉证书．《近世代数基础》一书是张禾瑞的一本代表作，书中渗透了他本人的基本教育思想，这就是：取他国之精华，重本国之国情，遵循科学原则，不违量力精神．他提出了抽象概念要具体化，深奥理论要浅显化的教学思想．在他的书中，他力求做到这一点．例如书中对映射概念的刻划，对两个代数系统的同构概念的描述等，在文字表达上，可谓是生动具体、深入浅出的典范．张禾瑞是成功地把抽象代数介绍到国内的播种者之一．张禾瑞被正式调入北京师范大学后，第一年主讲高等代数课．50年代初，高等师范院校的教学工作尚无一定之规，例如，数学系的基础课程之一的高等代数，就处于既无教学大纲，又无本国教材的状况．当时北京师范大学数学系选用了一本翻译的苏联教材．张禾瑞在教课中，对原书的内容作了全面的改动，并且改正了书中的一个错误．所有这些使他亲身感受到这门基础课急需一本适合国情的教材！于是，他开始着手为师范院校本科生编写高等代数讲义．1954年教育部召开制订高师数学教学大纲会议，张禾瑞主持了高等代数教学大纲的制订工作．他本人对高等代数课的设想和构思被与会同志接受，会议以他的思想为基础，制订了师范院校数学系高等代数试行教学大纲．此后，他按照大纲编写《高等代数》教材，郝炳新先生是他编写此书时的得力助手．《高等代数》一书于1957年正式出版，几十年来，该书被很多高等学校数学系选用．张、郝两位先生先后于1979年、1983年两次修订出版了第二版、第三版．该书第二版共印4次，总印数达23万册，第三版自1983年至1988年间共印5次，总印数达22万册．1988年1月，《高等代数》一书获国家教育委员会高等学校优秀教材一等奖，国家教委为张、郝两位颁发了荣誉证书．主要论著1关于维特氏李环．HamburgAbhand1941，14．2近世代数基础．北京：商务印书馆，1952．（修订本，北京：人民教育出版社，1978．）3算术．北京：商务印书馆，1953．4代数与初等函数．北京：高等教育出版社，1954．5高等代数．北京：高等教育出版社，1957．（第二版，北京：人民教育出版社，1979；第三版，北京：高等教育出版社，1983．）张禾瑞。
