高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时跟踪检测六函数的奇偶性及周期性

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第6讲函数的奇偶性与周期性考纲要求考情分析命题趋势1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．2017·北京卷，52017·天津卷，62016·山东卷，92016·江苏卷，111．对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性;二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大．分值：5分1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f（x)的定义域内任意一个x，都有__f（－x)＝f(x）__,那么函数f（x)就叫做偶函数．一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f （x）__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f（x)是偶函数,那么f(x)＝f（|x|)．(2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（3)在公共定义域内有:奇±奇＝奇，偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T）＝f（x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x）的__最小__正周期．5．函数周期性的常用结论对f（x）定义域内任一自变量x的值：（1)若f(x＋a）＝－f（x)，则T＝2a（a>0);（2)若f(x＋a)＝错误!，则T＝2a(a〉0)；(3）若f(x＋a)＝－错误!，则T＝2a（a〉0)．6．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f（x）(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a〈b），则函数f（x)是周期函数，且周期T＝2（b－a）(不一定是最小正周期,下同）．(2)如果函数f（x)（x∈D)在定义域内有两个对称中心A（a,0），B（b，0）（a〈b)，那么函数f（x）是周期函数,且周期T＝2（b－a）．（3）如果函数f（x），x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b,0）(a≠b),那么函数f（x)是周期函数，且周期T＝4|b－a｜。

第6讲函数的奇偶性与周期性1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期．5．函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 6．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x 轴上是关于坐标原点对称的．( √ )(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) 解析 (1)正确．根据函数奇偶性的定义，f (x )，f (－x )必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．(2)错误．若函数f (x )在点x ＝0处没有定义，如f (x )＝1x，则f (0)不存在．(3)正确．函数y ＝f (x ＋a )关于直线x ＝0对称，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． (4)正确．函数y ＝f (x ＋b )关于点(0,0)中心对称，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． 2．下列函数为偶函数的是( D ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x解析 易判断A ，B 项中的函数为非奇非偶函数；对于C 项，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x －2－x)＝－f (x )为奇函数；对于D 项，f (－x )＝2－x ＋2x＝f (x )为偶函数，故选D ．3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A ．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．8D ．－8解析 由f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)，又函数为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故选A ． 5．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝！！！ －32 ###.解析 函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e3x＋1)＋ax ，故ln e －3x＋1e 3x ＋1＝2ax ，即ln e －3x ＝2ax ，则－3x ＝2ax ，∴a ＝－32.一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断．(2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】 判断下列各函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1－x1＋x ≥0，得定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )． 综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．二 函数奇偶性的应用函数奇偶性问题的解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．【例2】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( C )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析 (1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C ．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin (－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5， 又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8， ∴5＋f [lg(lg 2)]＝8，∴f [lg(lg 2)]＝3.三 函数的周期性函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【例3】 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝( B )A ．335B ．338C ．337D ．2 015解析 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋336×1＝338.四 函数性质的综合应用函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例4】 (1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析 (1)由f (a －3)＋f (9－a 2)<0，得f (a －3)<－f (9－a 2)．又奇函数满足f (－x )＝－f (x )，得f (a －3)<f (a 2－9)．∵f (x )是定义域为(－1,1)的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.(2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c ，故选C ．1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( A )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数，故选A ．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( D )A ．－6B ．6C ．4D ．－4解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.3．已知定义在R 上的偶函数f (x )，在x ≥0时，f (x )＝e x＋ln(x ＋1)，若f (a )<f (a －1)，则a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1，＋∞)解析 根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0，＋∞)上是增函数，根据偶函数图象的对称性，可知函数在(－∞，0]上是减函数，所以f (a )<f (a －1)等价于|a |<|a －1|，解得a <12，故选B ．4．若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在其定义域上为奇函数，则实数k ＝__±1__.解析 根据奇函数的定义，当函数在x ＝0有定义时，可知f (0)＝k －11＋k＝0，解得k ＝1，当函数在x ＝0没有定义时，求得1＋k ＝0，解得k ＝－1．经验证，k ＝1或－1时，函数f (x )都是奇函数，故k ＝±1．易错点 不会判断函数的周期性错因分析：对于定义域内的每一个x ，都满足条件f (a ＋x )＝±f (b ＋x )或f (x ＋a )＝±kf (x )的函数就是周期函数，简记为“x 同向走就有周期性”．【例1】 f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知x∈(0,1)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则x ∈(3,4)时，f (x )＝__________.解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )， 可知f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4)． 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵f (x )是偶函数，∴x ∈(－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵当x ∈(3,4)时，x －4∈(－1,0)，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋(x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3【跟踪训练1】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1．5)＝__2.5__.解析 由已知得f (x ＋4)＝f (x )，即周期是4，于是f (1．5)＝f (－1．5)＝f (－1．5＋4)＝f (2.5)＝2.5.课时达标 第6讲[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析 B 项，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 项错；C 项，f (－x )＝2－x＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 项错；D 项，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 项错．只有A 项，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( C ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (x )·g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数解析 令h (x )＝f (x )·g (x )，∵函数f (x )是奇函数，函数g (x )是偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数，故选C ．4．(2018·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析 因为当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)＝－f (2)＝－lg 2.5．(2018·河南南阳模拟)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( C )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )的图象如图．当x ∈[－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈[0,1)时，xf (x )>0无解；当x ∈[1,3]时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析 因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x－1，而1x－1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43 ###. 解析 因为偶函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以由f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，得f (|2x－1|)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，∴|2x －1|<53， 即－53<2x －1<53，即－13<x <43.8．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，且f (2 017)＝2 018，则f (－2 017)＝__2_016__. 解析 f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，令g (x )＝ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2 017，f (2 017)＝g (2 017)＋2 017＝2 018，g (2 017)＝1，故f (－2 017)＝g (－2 017)＋2 017＝－g (2 017)＋2 017＝－1＋2 017＝2 016.9．设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x 的取值范围是__(－∞，2)∪(3，＋∞)__.解析 函数f (x )＝x 1＋|x |为奇函数，当x >0时，f (x )＝1－11＋x，可得f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由奇函数的性质，可得f (x )在R 上单调递增，则由f (x 2－2x )>f (3x －6)，可得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3.三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，11结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解析 (1)当x <0时，－x >0， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． 解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈(0，1)，－2x 4＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.。

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课堂达标（六) 函数的奇偶性与周期性［A基础巩固练]1．（2018·北京市东城区二模）下列函数中为奇函数的是( ）A．y＝x＋cos x B．y＝x＋sin xC．y＝错误!D．y＝e－｜x｜[解析]A和C为非奇非偶函数，y＝e－｜x｜为偶函数，令f（x）＝x＋sin x，定义域为R，f(－x）＝－x＋sin(－x）＝－x－sin x＝－f(x),故y＝x ＋sin x为奇函数，故选B。

[答案]B2．已知f（x），g(x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g （x）＝x3＋x2＋1,则f（1)＋g(1）＝（)A．－3 B．－1C．1 D．3［解析]因为f(x）是偶函数,g(x）是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f（－1）－g(－1)＝(－1）3＋（－1)2＋1＝1。

故选C。

［答案]C3．（2018·绵阳诊断)已知偶函数f（x)在区间[0，＋∞）上单调递增,则满足f（2x－1)＜f错误!的x的取值范围是( )A。

错误! B.错误!C。

错误! D。

错误!［解析］∵f(x)是偶函数，∴f（x)＝f(｜x｜)，∴f（|2x－1｜）＜f错误!，再根据f(x)的单调性，得｜2x－1|＜错误!，解得错误!＜x＜错误!，故选A。

第二章
函数、导数(dǎo shù)及其应用
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第三节 函数(hánshù)的奇偶性与周期性
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第二页，共四十七页。
课标要求
考情分析
1.结合具体函数，了解函数奇 1.函数的奇偶性与周期性是 偶性的含义．
高考重要考点，常与函数的单 2．会运用函数图象理解和研
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知识点二 函数的周期性
1．周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的 任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为 这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个
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(4)∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数， ∴a－1＋2a＝0，∴a＝13. 又 f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13. (5)∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，∴f32＝f2－12＝ f－12＝－4×－122＋2＝－1＋2＝1.
－(2－x1－1＋2x－1 1)，所以 2a＝1，解得 a＝12.
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解法 2：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(2－11－1＋a)＝13×(21－1 1＋a)，解 得 a＝12，经检验，当 a＝12时，函数 f(x)为偶函数．
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命题方向 2 利用奇偶性求函数值或解析式 【例 2】 (2019·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f(x)＝