第7题 导数的几何意义及应用-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)

3年高考2年模拟 考点07 导数的运算及几何意义2、理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法则求简单的导数；导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填空题中也体现在大题大题的第一问中。

多数都是以送分题的形式出现。

在高考复习中要注意以下几点：1、解决在点处的切线问题要抓住两点：（1）切点即在曲线上也在曲线的切线上。

（2）切线l 的斜率2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析式的结构特点，紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。

3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线，挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上的点的之间距离或求参的范围。

1、【2020年全国1卷】.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =-D. 21y x =+2、【2020年全国3卷】.若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +123、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.7、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；8、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.10、【2020年北京卷】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．11、【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．题型一 导数的几何意义1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-2、（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b 等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．123、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为y kx b =+，则实数b =______.4、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.5、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________..7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 9、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数()2()()xf x x bx b e b =++∈R . （Ⅰ）若1b =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．题型二 函数图像的切线的综合问题1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(1ln 2,)--+∞ C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点()00,x P x e处的切线与x轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______.4、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知P 为指数函数()x f x e =图象上一点，Q 为直线1y x =-上一点，则线段PQ 长度的最小值是_______ 5、(2019苏锡常镇调研）已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-.（1）求a ；（2）讨论函数)0(2)()(>-=x x x f x g ；)0(122)()(>+-=x x xx f x h 的单调性； （3）设521=a ，)(1n n a f a =+，求证：)2(0212251≥<-<-+n an nn答案解析三年高考真题1、【2020年全国1卷】.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.2、【2020年全国3卷】.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4.【解析】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-，得2(2)x =舍，32y = 即切点2,32)Q ，则切点Q 到直线0x y +=22232411+=+，故答案为：4．6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .7、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; 8、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；【解析】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线． 10、【2020年北京卷】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==.11、【2019年高考北京理数】已知函数32()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->；当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.二年模拟试题题型一 导数的几何意义1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2、（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b 等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．12【答案】A【解析】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24 代入直线方程解得：14b =- 故选：A3、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为y kx b =+，则实数b =______. 【答案】1；【解析】因为()xy f x e x ==+，所以()1x f x e '=+，所以()01f =，()02f '=，故曲线在0x =处的切线过()0,1且斜率2k =，故切线方程为21y x =+ 所以1b = 故答案为：14、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-【解析】,((1)1)xxy y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2.5、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________. 【答案】22ln 2-【解析】函数()2ln y x m =+的导函数2y x m'=+， 设切点坐标00(,)x y ，则()0002ln 21x x m x m=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，解得：02ln 2,22ln 2x m ==-. 故答案为：22ln 2-.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .【答案】1【解析】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-，切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)， l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1. 故答案为1.8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】①【解析】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意；对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意；故答案为：①9、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数()2()()xf x x bx b e b =++∈R . （Ⅰ）若1b =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； 【解析】（Ⅰ）解：2()(2)2xf x x b x b e '⎡⎤=+++⎣⎦， 当1b =时，(0)1f =，(0)2f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12y x -=，即21y x =+； 10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）210x y -+=；（2）4927. 【解析】（1）当2a =时，321()212f x x x x =-++，2()32f x x x '=-+，所以(0)2f '=，又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为12y x -=，即210x y -+=. （2）因为2()3f x x x a '=-+，因为函数()1f x x =在处有极小值，所以(1)202f a a '=+=⇒=-， 所以2()32f x x x '=-- 由()0f x '=，得23x =-或1x =， 当23x <-或1x >时，()0f x '>， 当213x -<<时，()0f x '<， 所以()f x 在22,3⎛⎫--⎪⎝⎭，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数， 因为249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最大值为249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 题型二 函数图像的切线的综合问题1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心， 51313a b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， f′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0）， 则M 纵坐标y 0=32001533x x -+，又f′（x 0）=2002x x -， ∴切线的方程为：()()322000015y 233x x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭又直线过定点113⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()322000011521333x x x x x ⎛⎫∴--+=--- ⎪⎝⎭，得30x ﹣03x -2=0，()()300210xx x --+=，即()()2000120x x x +--=解得：021x =-或 故可做两条切线 故选C2、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(1ln 2,)--+∞ C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞【答案】A【解析】∵211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x => ∴()()11022f x x x '=+<，()()10g x x x'=>，函数()f x 在点()()11,A x f x 处的切线方程为：()2111111114222y x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()g x 在点()()22,B x f x 处的切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 两直线重合的充要条件是1211122x x +=①，2121ln 14x a x -+=-②， 由①及120x x <<得21102x <<，故22222211111ln 1ln 122a x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令21t x =，则102t <<，且21ln 12a t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 设()21ln 12h t t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()()221112121t t t t h t t t t t+---'=--==， 当102t <<时，()0h t '<恒成立，即()h t 单调递减， ()11ln 22h t h ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，0x →时，()h t →+∞，即a 的取值范围为(1ln 2,)-++∞，故选A.3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点()00,x P x e处的切线与x轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______. 【答案】ln 6【解析】由题，e xy '=，∴切线斜率0x k e =，则切线方程为()000-=-x x y e e x x ，令0y =，解得01A x x =-，又PAB ∆的面积为3，01132x PAB S e ∆∴⨯⨯==，解得0ln 6x =. 故答案为：ln 64、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知P 为指数函数()xf x e =图象上一点，Q 为直线1y x =-上一点，则线段PQ 长度的最小值是_______【解析】设()f x 图象上斜率为1的切线的切点是00(,)P x y ，由()x f x e '=，00()1'==x f x e ，00x =，(0)1f =，即(0,1)P ．P 到直线1y x =-的距离是d ==．5、(2019苏锡常镇调研）已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．【答案】..1 【解析】设)21,(2t t P ，因为x y ='，所以切线l 的斜率t k =，且0≠t ，则直线)(121:2t x tt y PQ --=-，即12112++-=t x t y令⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22211211x y t x t y ，消y 得：02232=--+t t x tx ，设),(11y x Q ，则t t x 21-=+，即t t x 21--=，又因为点Q 在曲线C 上，所以2222112221)2(2121t t t t x y ++=--==，故)2221,2(22tt t t Q ++--因为OQ OP ⊥，所以0=⋅，即0)2221(21)2(222=++⨯+--⨯tt t t t t ，化简得44=t ，则22=t ，所以点P 的纵坐标为.16、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;【解析】(1)()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减， 当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-，由于0a >时，导函数()1xf x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增. 综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,xx ae x x ，显然12x x ≠.由于12','2xy ae y x ==，所以11222122x x ae x ae x x x -==-，1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ， 2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =-> 因此11x >，此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>， 设()()1 4()1xx F x x e =>-问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点， 又()4(2 )xx F x e-'=，令()'0F x =，解得2x =， 则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减， 而()()242,10F F e ==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤⎥⎝⎦.故24a e=. 7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-.（1）求a ；【解析】（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a'=+.因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a -+=-+， 即22ln(2)22y x a a a=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+.3年高考2年模拟21 显然1a =，适合上式. 令2()ln(2)2a a a ϕ=+-+(0)a >， 求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++， 因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.。

「高考真题•母题解密』『分项汇编•逐一击破』专题10导数的几何意义 母题呈现【母题原题1】【2020年高考全国III 卷，理数】若直线，与曲线尸五和都相切，贝/的方程为（）1 1 1 1A. y=2i+lB. y=2x+ —C. y= — x+lD. ）7=31+5 【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线/在曲线y = &上的切点为（气，扁），则吒＞。

，L, , 1 _7 1函数y = s/x 的导数为多=2五,则直线，的斜率k - ，—j=^x-x 0),即 x-2ylx^y + x 0 =0,两边平方并整理得5"-4吒—1 = 0，解得x°=l, x 0 =-| （舍），则直线/的方程为x-2y + l = 0,艮p v =+ '2 2故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.【母题原题2][2019年高考全国III 卷，理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点（1, oe ）处的切线方程为y=2i+/?, 则A. a = e, b = —lB. o=e, b=lD. Q =疽，b = —l【答案】D【解析】y' = ae"+lnx + l, * = y'L=i=oe+l = 2, 口 =『| 设直线Z 的方程为y —由于直线/与圆x 2 + y 2 = |相切,将(1,1)代入y = 2x + b 得 2 + m-1,故选 D.【名师点睛】本题关键得到含有。

，万的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.【母题原题3] [2018年高考全国III卷，理数】曲线y = (av + l)矿在点(0, 1)处的切线的斜率为-2 ,则a =.【答案】-3【解析】y' = a&x + (tn:+1)e v,则jT(0)= a+l = -2 ,所以a = -3 ,故答案为：一3 •【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.【命题意图】本类题通常主要考查导数的几何意义，切线方程的不同形式的求解.【命题规律】导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.【答题模板】1.求曲线y=f (x)的切线方程若已知曲线y=f (x)过点P (xo,为)，求曲线过点P的切线方程.(1)当点F Cx0, yo)是切点时，切线方程为y-yo刁7(xo)(x-xo).(2)当点、P (x0, y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P'(Xl，/(X1))；第二步：写出过点P，(xi，/ (xi))的切线方程y-f (%i)=f (%i)(x-xi)；第三步：将点P的坐标(的，％)代入切线方程求出X1；第四步：将为的值代入方程y-f (xi)=/ (%i)(x-xi)可得过点P (而，为)的切线方程.2.根据切线的性质求倾斜角或参数值由已知曲线上一点P (而，为)处的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率奴然后利用导数的几何意义得到(的)=tanO,其中倾斜角。

考点09 导数的几何意义以及应用【高考再现】热点一导数的几何意义1.<2018年高考<课标文））曲线在点(1,1>处的切线方程为________2.<2018年高考<广东理））曲线在点处的切线方程为_______________【答案】【解读】,所以切线方程为,即.热点二导数的几何意义的应用3.<2018年高考<重庆理））设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ> 求的值。

(Ⅱ> 求函数的极值.【解读】(1>因,故因为曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即4.<2018年高考<山东文））已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数>,曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ>求k的值。

(Ⅱ>求的单调区间。

(Ⅲ>设,其中为的导函数.证明:对任意.5.<2018年高考<湖北文））设函数,为正整数,为常数, 曲线在处的切线方程为.(1>求的值。

(2>求函数的最大值。

(3>证明:.【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等。

另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.6．<2018年高考<北京文））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。

(2>当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是7.<2018年高考<北京理））已知函数(>,.(1>若曲线与曲线在它们的交点(1,>处具有公共切线,求的值。

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AC 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33，f′(x)>0⇒x <−√33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√33<x <√33，所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞)上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33 为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A正确 ;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ． 【答案】y =x e y =−xe 【分析】本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题． 【解答】解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1x 1(x −x 1).若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ， 此的切线方程为 y =xe ．当 x <0 时，点 (x 2,ln(−x 2))(x 2<0) 上的切线为 y −ln (−x 2)=1x 2(x −x 2) ．若该切线经过原点，则 ln(−x 2)−1=0 ，解得 x =−e ， 此时切线方程为 y =−xe ． 【命题意图】考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。

2021年高考1卷解析几何大题解析
首先，2021年高考数学1卷的解析几何大题通常会考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

这类题目通常会给出一些几何图形，然后让学生通过分析这些图形的几何性质，找出它们之间的关系，并进行计算。

以一个常见的解析几何题目为例，题目可能会给出两个圆或者两个椭圆，然后让学生求出它们的交点或者判断它们的位置关系。

在解决这类问题时，学生需要先分析两个图形的几何性质，比如圆心距、半径等，然后通过这些性质来计算出它们之间的关系。

此外，在解析几何中，学生还需要掌握一些常用的公式和定理，比如两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、圆的方程等。

这些公式和定理是解决解析几何问题的关键。

最后，要解决解析几何问题，学生还需要具备一定的数学思维能力。

在解题过程中，学生需要不断思考、探索和尝试，通过多种方法的比较和优化，最终找到最简单、最有效的解决方法。

综上所述，要解决解析几何问题，学生需要掌握基础知识和常用公式，同时还需要具备一定的数学思维能力和运算能力。

通过不断练习和总结，学生可以逐渐提高自己的解析几何水平。

IT高考真题•母题解密」•逐一击破』I［分项汇编专题10导数的几何意义 母题呈现【母题原题1】【2020年高考全国III 卷，理数】若直线Z 与曲线 >=右和x 2+y 2=|都相切，贝叽的方程为（）A. y=2x+lB. y=2x+ ?C. y=-^-x+l 【答案】D 1 1D. y=——x+ — 2 2 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线/在曲线y = G 上的切点为（气，扁），则气〉0，L ，1 ，- 1函数y = 4x 的导数为则直线/的斜率* = %而设直线I 的方程为y 一=五h （X — X 。

），即X - 2序+ x o =O,, 1两边平方并整理得5蚌-4气-1 = 0,解得毛=1, x 0=--（舍），则直线/的方程为x-2y + l = 0,即y =-x-\■—.'22故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.【母题原题2][2019年高考全国III 卷，理数】已知曲线y = ae x+xlnx 在点（1, oe ）处的切线方程为y=2x+b, 则A. Q = e, b = —lB. o=e, b=l由于直线/与圆x 2 + y 2= L 相切, 5C. a = e-1, b = 1D.]=巳一1 , b = —i【答案】D【解析】矿=ae"+lnx + l, * = _/L=i= ae + 1 = 2 , 口 =甘1将(1,1)代入y = 25 得2 + 5 = 1，= -l,故选D.【名师点睛】本题关键得到含有。

，万的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系. 【母题原题3] [2018年高考全国III卷，理数】曲线y =(办+ l)e，在点(0, 1)处的切线的斜率为-2 ,则a =.【答案】-3【解析】y' = ae x +(av+l)e¥,则(0)= a +1 = -2 ,所以a = -3,故答案为：-3 -【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.【命题规律】导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.【答题模板】1.求曲线y=f (x)的切线方程若已知曲线y=f (x)过点P 3, yo)，求曲线过点P的切线方程.(1)当点F (xo，yo)是切点时，切线方程为y-yo刁7(xo)(x-xo).(2)当点、P (x0, y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P' (xi, /(XI))；第二步：写出过点P，(xi，f (xi))的切线方程y-f (xi) =f (xi)(x-xi)；第三步：将点P的坐标(xo,刘)代入切线方程求出XI；第四步：将xi的值代入方程y-f (xi) =/ (xi) (x-xi)可得过点P (xo，jo)的切线方程.2.根据切线的性质求倾斜角或参数值由已知曲线上一点P (的，为)处的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率奴然后利用导数的几何意义得到(xo) =tanO,其中倾斜角。

（2021年新高考Ⅰ卷）已知函数)ln 1()(x x x f -=（1）讨论函数)(x f 的单调性（2）设b a ,为两个不相等的整数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：e b a <+<112解析：（1）)(x f 定义域为),0(+∞，x x f ln )('-=，当)1,0(∈x 时，0)('>x f ，当),1(+∞∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 在]1,0(上递增，),1[+∞上递减（2）令11x a =，21x b =，则b a b a a b -=-ln ln ⇒bb a a ln 1ln 1+=+⇒)ln 1()ln 1(2211x x x x -=-，即)()(21x f x f =，所证不等式即e x x <+<212，由（1）知2110x x <<<先证221>+x x ，即证122x x ->，又12,112>->x x 且)(x f 在),1[+∞上递减，所以只需证)2()(12x f x f -<，又)()(21x f x f =，所以只需证)2()(11x f x f -<令)10)(2()()(<<--=x x f x f x F ，则)2ln(ln )2()()('''x x x f x f x F ---=-+=0)22ln()2(ln 2=-+->--=x x x x ，所以)(x F 在)1,0(上递增，所以0)1()(1=<F x F 即)2()(11x f x f -<，所以221>+x x 再证e x x <+21，只需证12x e x -<，又12>x ，11>-x e ，而)(x f 在),1[+∞上递减，所以只需证)()(12x e f x f ->，又)()(21x f x f =，所以只需证)()(11x e f x f ->令)10)(()()(<<--=x x e f x f x G ，则)ln(ln )()()('''x e x x e f x f x G ---=-+=)](ln[x e x --=，易知)('x G 在)1,0(上递减，0)1ln()1('<--=e G ，01009ln 10(2'>-=e e G 所以)('x G 在)1,0(上存在唯一零点0x ，当),0(0x x ∈时，0)('>x G ，当)1,(0x x ∈时，0)('<x G ，所以)(x G 在),0(0x 上递增，在)1,(0x 上递减，而0)1()1()1(>--=e f f G +→0x 时，0)(→x G ，所以0)(1>x G ，即)()(11x e f x f ->，所以e x x <+21综上可知e x x <+<212，即e ba <+<112证法2：221>+x x 的证明同证法1，下证ex x <+21令112>=t x x ，代入)ln 1()ln 1(2211x x x x -=-得1ln 1ln 1---=t t t t x ，所以要证e x x <+21只需证e x t <+1)1(，只需证1ln )1ln(1<++x t ，即证11ln 1)1ln(<---++t t t t t ，即证01ln )1ln(<--+t t t t ，即证1ln )1ln(-<+t t t t （同构）令)0()1ln()(>+=x x x x g ，则)0()1ln(1)(2'>+-+=x x x x x x g ，令)0)(1ln(1)(>+-+=x x x x x h ，则0)1()(2'<+-=x x x h ，所以)(x h 在),0(+∞上递减，所以0)0()(=<h x h ，即0)('<x g ，所以)(x g 在),0(+∞上递减，又01>->t t ，所以)1()(-<t g t g ，即1ln )1ln(-<+t t t t ，所以e x x <+21证法3：221>+x x 的证明同证法1，由（1）知2110x x <<<，所以111)ln 1(x x x >-，)1(ln )ln 1(222222-≤=-x e x x e x x x 又)ln 1()ln 1(2211x x x x -=-，所以<1x )1(22-x e x ，得e x x <+21。

专题06 导数的几何意义考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义Ⅱ选择题、填空题★★★2.导数的运算1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数Ⅲ选择题、解答题本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.2022年高考全景展示1.【2022年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2．【2022年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。

详解：，则，所以，故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。

3．【2022年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.4.【2022年理数天津卷】已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．5．【2022年理北京卷】设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【答案】(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，+∞）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］e x=（ax–1）(x–2)e x．若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．所以f (x)<0在x=2处取得极小值．若a ≤，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤x –1<0，所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（，+∞）．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.2021年高考全景展示1.【2021山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=， 因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-， 即 222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--， 令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x '=-≥所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m = 所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =， 所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P的切线的不同． 2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2.【2021北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减. 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值. 2021年高考全景展示1. 【2021高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y = （D ）3y x = 【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2. 【2021年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PAB A B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2021高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2021年高考北京理数】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值；（2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增.故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．。

2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：在答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。

回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.(5分) 设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A。

{2} B。

{2,3} C。

{3,4} D。

{2,3,4}2.(5分) 已知z=2-i，则|z-3i|=（）A。

6-2i B。

4-2i C。

6+2i D。

4+2i3.(5分) 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2 B。

4 C。

4√2 D。

2√24.(5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin(x)单调递增的区间是（）A。

(0,π/2) B。

(π/2,π) C。

(π,3π/2) D。

(3π/2,2π)5.(5分) 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A。

13 B。

12 C。

9 D。

66.(5分) 若tanθ=-2，则cos2θ=（）A。

-3/5 B。

-4/5 C。

-24/25 D。

-7/257.(5分) 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）XXX<a B。

ea<b C。

0<a<eb D。

0<b<ea8.(5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“两次取到的数字和为偶数”，乙表示事件“两次取到的数字都是奇数”，则P(甲∪乙)=（）A。

2/3 B。

5/9 C。

7/9 D。

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。

2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{2,3\}$。

C。

$\varnothing$。

D。

$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。

$6-2i$。

B。

$4-2i$。

C。

$6+2i$。

D。

$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2.B。

2$\sqrt{2}$。

C。

4.D。

4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。

$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。

B。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。

C。

$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。

D。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。

习题课(二) 导数的几何意义及其应用一、选择题 1．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2解析：选A 因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， 所以y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线的斜率为2，所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.3．已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a 的值为( )A ．1B ．0 C.1eD ．－1解析：选A ∵f (x )＝x ln x ＋a ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a ，∴切线方程为y ＝x －1＋a ， ∴0＝0－1＋a ，解得a ＝1，故选A.4．若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B ．3π4C.π4D ．π6解析：选B 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x＋e －x－3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k <0，所以α的最小值是3π4，故选B.5．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)．根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．6.意大利画家列奥纳多·达·芬奇(1452.4—1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬，呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：f (x )＝a cosh x a，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x ＝e x ＋e －x 2，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e x －e－x2.若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1、双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为( )A ．cosh(x －y )＝cosh x cosh y －sinh x sinh yB ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数C ．(cosh x )′＝sinh xD ．若△PAB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝0解析：选ACD cosh x cosh y －sinh x sinh y ＝e x＋e －x2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e －y2＝ex －y＋e －x ＋y2＝cosh(x －y )，A 正确；y ＝sinh x cosh x ＝e 2x －e－2x4，记h (x )＝e 2x －e－2x4，则h (－x )＝e －2x－e 2x4＝－h (x )，h (x )为奇函数，即y ＝sinh x cosh x 是奇函数，B 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫e x＋e －x2′＝e x－e－x2，即(cosh x )′＝sinh x ，C 正确；对于D ，因为AB ⊥x 轴，因此若△PAB 是以A为直角顶点的直角三角形，则k PA ＝0，由k PA ＝e m －e－m2＝0，解得m ＝0，D 正确．二、填空题7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，得b ＝0.又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.答案：18．若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a. 设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝e ，ln x 0＋a ＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e ，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1时等号成立． 答案：[2，＋∞)9．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，则曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率为1，又曲线y ＝1x(x >0)上点P处的切线与曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线的斜率为－1.设P (a ，b )，则曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y ＝1x上，所以b ＝1，故P (1,1)．答案：(1,1) 三、解答题 10．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．解：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2.因为直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即b ＝1，a 2－b ＝－12，解得a ＝1，b ＝1.11．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax (x >0)，设两曲线的交点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0，解得a ＝e 2，x 0＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， 所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.12．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R ，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ， 又f ′(1)＝2a ，则3＋2a ＋b ＝2a ， 解得b ＝－3.令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ， 又f ′(2)＝－b ， 所以12＋4a ＋b ＝－b ， 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.。

【高中数学】盘点2021年高考数学导数应用解法与技巧
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

下面是数学网整理的导数应用解法与技巧，请考生学习。

在高中阶段，衍生品的学习主要体现在以下几个方面：
1、导数的常规问题：
（1）表征函数（比初等方法更精确和微妙）；
(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);
（3）应用问题（初等方法通常要求高技能，而导数方法很简单）和其他关于子多项式的导数问题属于更难的类型。

2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图像的混合问题是一个重要的类型和性质
高考
在教学中，应注意综合能力培养的一个方向。

01、导数概念的理解。

02.用导数判断可微函数极值并求一些实际问题的最大值和最小值的方法。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

03.为了正确获得导数，必须达到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

（2）对于复合函数，必须澄清中间的复合关系，找出每个分解函数中应该导出的变量。

导数应用解法与技巧的内容就是这些，数学网预祝考生可以取得优异的成绩。

秒杀高考题型之导数及导数的几何意义【秒杀题型一】：求函数的导函数或某一点处的导数。

『秒杀策略』：基本初等函数的导数公式:①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=;③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =-⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =;⑦若()log ,a f x x =则'1()ln f x x a=; ⑧若()ln ,f x x =则'1()f x x =。

导数运算法则:①[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±;②[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f ⋅+⋅=⋅; ③[]'''2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

复合函数的导数:由()y f u =和()u g x =复合而成的函数：(())y f g x =,其导数为:'''x u x y y u =⋅。

快速求导法则：[][])()()(''x f x f e x f ex x +=； [][])()()(''x f x f e x f e x x -=--。

1.(高考题改编)设0()sin f x x =,1()f x ＝'0()f x ,'21()()f x f x =…,'1()()n n f x f x +=n N ∈,则)(2020x f =( )A.sin xB.sin x -C.cos xD.cos x -秒杀结论：偶函数的导数是奇函数；奇函数的导数是偶函数。

2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题07 导数及其应用理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题07 导数及其应用理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题07 导数及其应用理的全部内容。

导数及其应用【考向解读】高考将以导数的几何意义为背景,重点考查运算及数形结合能力,导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多,形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2017年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【命题热点突破一】导数的几何意义例1、【2016高考新课标2理数】若直线y kx by x=+=+的切线，也是曲线ln(1)=+是曲线ln2y x的切线,则b=．【答案】1ln2-【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法"，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【变式探究】函数f(x)＝e x sin x的图像在点（0,f(0))处的切线的倾斜角为( )A.错误! B 。

错误! C 。

错误! D 。

错误! 【答案】C【解析】因为f′（x)＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f′(0）＝1,即曲线y ＝f(x ）在点（0，f （0)）处的切线的斜率为1，所以在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为π4。

2021年高考数学真题分类汇编 3.1 导数与积分理考点一导数的概念及其几何意义1.(xx课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.3答案D2.(xx大纲全国,7,5分)曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案C3.(xx江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是.答案(-ln 2,2)考点二积分的运算及应用4.(xx陕西,3,5分)定积分(2x+e x)dx的值为( )A.e+2B.e+1C.eD.e-1答案C5.(xx山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2B.4C.2D.4答案D6.(xx湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.3答案C7.(xx江西,8,5分)若f(x)=x2+2( )A.-1B.-C.D.1答案B8.(xx湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=答案A9.(xx辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是.答案 +27777 6C81 沁 30456 76F8 相40726 9F16 鼖39748 9B44 魄29648 73D0 珐29201 7211 爑 25267 62B3 抳u33497 82D9 苙30541 774D 睍-。