第十三章推理与证明 第一课时

于 21 。
②设等差数列{an}的前n项和为Sn ,则S4, S8 S4, S12 S8
成等差数列．类比以上结论有：设等比数列 {bn}
的前n项积为 Tn ，则 Tn
列．
，
， T8 , T12
T4 T8
成等比数
基础知识回顾与梳理
③观察下列式子，你能得出的结论是
．
2 2 4, 2 2 4
3 3 41,33 41
解题反思
3、在运用类比推理时，首先要找出两类对象 之间可以确切表述的相似性（或一致性）； 然后，再用一类对象的性质去推测另一类对 象的性质，从而得出一个猜想；最后检验这 个猜想，在教学中不要满足于对对象相似性 的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言 确切地表示出来。只有这样，才能把“类比” 和“比喻”区别开来。
V V V V V 三棱锥PABC 三棱锥OABC 三棱锥OPBC 三棱锥OAPC 三棱锥OAPB
1 Sh 1 Sr 1 Sr 1 Sr 1 Sr 3 3333
所以 h 4r
【变式】:在ABC中，AB AC, AD BC 于 D
求证
1 AD2
1 AB2
1 AC
2
，那么在四面体
2
22
2
4 4 51, 44 51
3
33
3
5 5 61,55 61
4
44
4
6 671,6671
5
55
5
n 1 n 1 n 1(n 1) (n N*)
n
n
基础知识回顾与梳理
4．在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC的内切圆面积为 S1 ，
外接圆面积为
S
2
，则
S1 S2

1．1 归纳推理1．理解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．2．了解欧拉公式的概念．1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为________．归纳推理是由______到______，由______到______的推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，得到的结论不一定正确，其正确性还有待于严格的证明或举例说明其结论的不正确性．2．欧拉公式：一个凸多面体中，多面体的面数(F)、棱数(E)、顶点数(V)，它们之间的关系为________．【做一做1－1】由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，a n}的子集个数为( )．A．n B．n＋1 C．2n D．2n－1【做一做1－2】在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中“________”处．答案：1．归纳推理部分整体个别一般2．V－E＋F＝2【做一做1－1】C 由前三个集合子集的个数分别为21,22,23，可归纳得出{a1，a2，a3，…，a n}的子集个数为2n.【做一做1－2】140 851．如何判断由归纳推理得到的结论的正确与否？剖析：归纳推理是根据已经知道的一类事物中个别事物具有的属性推断出所有这类事物所具有的共性，有时结论正确，有时结论不正确．在归纳结论时，要对大量的个体进行观察，其正确性还需要通过严格的证明，不正确的结论只需举出一个特例说明即可．2．归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠，学习中要通过实例去分析、归纳问题的一般性命题，加强应用．特别注意，由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜测，并不一定可靠，其可靠性需要通过证明．(1)归纳推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径，通过归纳推理可以发现许多未知的内容．(2)对于数列的通项公式和前n项和的求法，常用归纳猜想，然后再用数学归纳法进行证明．(3)数论问题也常常是由个别事例的发现、归纳、猜想得出一般性的结论．例如，哥德巴赫猜想：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和．题型一观察找规律【例题1】将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆放：根据以上规律判定，从2008到2010的箭头方向是( )．反思：注意寻找规律，找到图形随数字变化的规律，然后进行预测猜想．题型二根据数列的前几项归纳通项【例题2】如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连接这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示)，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连接剩余的3个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示)，同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连接剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……如此下去，记第n次操作后剩余图形的总面积为a n.…①②(1)求a1，a2；(2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和S n.分析：写出前几项，归纳出第n项，从而发现规律，进行求和．反思：本题由图形发现规律，发现每次挖去的三角形个数构成等比数列，从而问题转化为求数列的前n项和，利用错位相减法求出．题型三探索不等式成立的条件【例题3】猜想不等式1＋12＋13＋…＋1n＞n＋1满足什么条件时成立？分析：不等式的左边不能合并，但当n取较小的自然数时，可以合并，n可从1开始取值进行探讨．反思：有些结论是在某些条件下成立，不一定恒成立，需探究其成立的条件．答案：【例题1】A 本题中的数字及箭头方向都有一定的规律．箭头每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化.2 008恰好是4的倍数，应该与0的起始位置相同．【例题2】 解：(1)a 1＝34，a 2＝916.(2)设第n 次操作挖去b n 个三角形，则{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列，即b n ＝3n －1，所以挖去的所有三角形上所贴标签的数字的和S n ＝1×1＋2×3＋…＋n ×3n －1，则3S n ＝1×3＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n .两式相减，得－2S n ＝(1＋3＋…＋3n －1)－n ×3n ＝3n －12－n ×3n ，故S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－14×3n ＋14. 【例题3】 解：当n ＝1时，左边＝1，右边＝1＋1＝2，不等式不成立．当n ＝2时，左边＝1＋12＝2＋22，右边＝1＋2＝3＝122.∵2＋2＜12，∴左边＜右边，不等式不成立．当n ＝3时，左边＝1＋12＋13＝6＋32＋236，右边＝3＋1＝2，左边＞6＋3×1.4＋2×1.76＝6.83＞2＝右边．∴不等式成立．猜想当n ∈N ＋且n ≥3时不等式成立．1数列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x 等于( )． A ．38B ．39C ．40D ．41答案：C 前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，可得x ＝31＋9＝40.2已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n≥1)，则当n≥1时，a n 等于( )． A ．2nB.)1(21n n C ．2n －1D ．2n －1答案：C a 0＝1，a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2a 1＝2，a 3＝a 0＋a 1＋a 2＝2a 2＝4，a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＝8，……猜想当n ≥1时，a n ＝2n －1.3如下图所示的三角形数阵中，满足：(1)第1行的数为1；(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n(n≥2)行中第2个数是__________．(用n 表示)1 2 2 3 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 … … … … … …答案：222+-n n 如题图，2＝1＋1,4＝(1＋2)＋1,7＝(1＋2＋3)＋1，11＝(1＋2＋3＋4)＋1.归纳猜想，第n 行第2个数为[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝222+-n n .4在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列… 第1行 123 … 第2行 24 6 … 第3行 3 69……………那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．答案：n 2＋n 观察数表可知，第n 行的第1个数为n ，且第n 行的数列的公差为n ，所以位于第n 行第n ＋1列的数为n ＋n 2.5已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝22+n na a (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜测a 5及数列{a n }的通项公式．答案：分析：先通过题目中给出的递推关系式，求出a 2，a 3，a 4并猜想a 5，发现它们之间的共同性质，再猜想出一个明确的通项公式．解：(1)3222112=+=a a a ，42212323223==+⨯=a ，522212124=+⨯=a . (2)由(1)猜测，31625==a ，a n 的通项公式为12+=n a n .。

《命题与证明》第一课时命题学习任务单（导学案）◆学习目标1. 体会推理论证的必要性.2. 理解命题的概念，并能判断命题的真假.3. 能够正确区分命题的条件和结论，会将命题改写成“如果……那么……”的形式.4. 理解互逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题.5. 理解反例的意义，并能正确构建反例说明一个命题是假命题.◆课前习任务预习新课：13.2 命题与证明P75-77◆课上学习任务【学习任务一】1. 下面的语句有没有作出判断，是不是命题？如果是命题请判断它的真假.（1）时间都去哪儿了？（2）两点之间线段最短.（3）以点O为圆心，3cm长为半径画圆.（4）欢迎来到安庆外国语学校！（5）若a > b，则ac > bc.【学习任务二】2. 请观察下面的命题，它们在结构形式上有什么共同特征？（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；（3）若a > 0，b > 0，则ab > 0 ；（4）若ab > 0，则a > 0，b > 0；3. 试一试：请把下列命题写成“如果 p，那么 q”的形式，并指出命题的“条件”和“结论”.（1）互为相反数的两个数的和为零.（2）同底等高的两个三角形面积相等.4. 请观察下面的两组命题，说出每个命题的条件和结论，对比每组中两个命题的条件和结论，你发现了什么？（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；（2）若a > 0，b > 0，则ab > 0；若ab > 0，则a > 0，b > 0 ；5. 请同学们再次比较下面两组互逆命题，判断原命题与逆命题的真假.（1）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2 ；如果∠1=∠2 ，那么∠1与∠2是对顶角.（2）若 a > 0，b > 0，则 ab > 0 ；若 ab > 0，则 a > 0，b > 0.6. 请同学们分小组讨论、交流，如何说明下面的命题是假命题：如果∠1=∠2 ，那么∠1与∠2是对顶角.7. 思考：（1）语句“如果a = b，那么a2=b2吗？”是命题吗？（2）怎么将其改造成一个命题？请指出命题的条件和结论.（3）请写出这个命题的逆命题，并指出命题的条件和结论.（4）判断原命题与逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例.课后学习任务必做题：1. 课本P84习题13.2 第1、2、3题.选做题：2. 思考并收集满足下面条件的互逆命题各一组：（1）原命题正确，逆命题也正确；（2）原命题正确，逆命题错误；（3）原命题错误，逆命题正确；（4）原命题错误，逆命题也错误.。

第十三章全等三角形单元分析本章是在在了解了三角形的有关概念和学习了三角形的基本性质的基础上予以展开的。

首先是感受现实生活中，有血多能够重合的图形，这些图形的形状和大小都相同，进而认识全等三角形，共同探索三角形全等的条件，并用这些结果解决一些实际问题，以提高我们用数学解决实际问题的意识和能力。

另外，全等三角形是证明线段相等或角相等的重要工具，因此“全等三角形”是本章的重要内容，学生掌握了判定三角形全等的方法，就为后面的学习做好了准备。

用两X纸叠在一起剪出的两X窗花等，请大家举出这类图形的例子。

说明：通过一些生活中常见的图片，使学生感受到我们的生活中存在着大量相等的事物，引起学生的思考，激发学生的学习兴趣。

让学生在举出实际例子以及对所举例子的辨析中获得对全等图形尽可能多的精确的感知。

（二）新课问题1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？（l）形状相同的两个图形叫全等形。

（2）大小相等的两个图形叫全等形。

（3）能够完全重合的两个图形叫全等形。

总结概念：全等形（ congruentfigures ）：能够完全重合的两个图形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

做一做：师文学生思考、判断、生尝试总结，师再总结。

师演示，生跟着做。

请你用两X半透明的薄纸分别描出下中的两个三角形．然后把它们叠放在一起，观察这两个图形是否完全重合．（提高学生的动手能力和观察能力）结论：△ ABC 和△ DEF 完全重合，因此它们是全等的．全等的符号：≌，读作：全等于△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌DEF，读作：“三角形 ABC 全等于三角形 DEF ”思考在图—1中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF。

在图—2中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC。

在图—3中，把△ABC旋转180°，得到△AED。

各图中的两个三角形全等吗？可以做两个三角形，根据题目中的要求，师介绍全等的符号师生共同操作体会平移、旋转、翻转，通过操作，得出结论。