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2018版高考数学一轮复习第十二章推理证明、算法、复数12.2 古典概型理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第十二章推理证明、算法、复数12.2 古典概型理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第十二章推理证明、算法、复数 12。
2 古典概型理1．基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型．（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是错误!;如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝错误!。
4．古典概型的概率公式P（A）＝错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( ×)（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件．( ×)（3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( ×）（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √)（5)从1，2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2。
第2讲算法与程序框图一、知识梳理1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构及相应语句名称示意图相应语句顺序结构①输入语句：INPUT “提示内容”；变量②输出语句：PRINT “提示内容”；表达式③赋值语句：变量＝表达式条件结构IF 条件THEN语句体END IFIF 条件THEN 语句体1ELSE语句体2END IF循环结构当型循环结构WHILE 条件循环体WEND直到型循环结构DO循环体LOOP UNTIL条件常用结论1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值．2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．二、习题改编1．(必修3P25例5改编)如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填．解析：输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？.答案：x<0?2．(必修3P30例8改编)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．解析：按照程序框图依次循环运算，当k ＝5时，停止循环，当k ＝5时，S ＝sin 5π6＝12.答案：12一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．( ) (2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( ) (3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( ) (4)输入语句可以同时给多个变量赋值．( ) (5)在算法语句中，x ＝x ＋1是错误的．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)分不清程序框图是条件结构还是循环结构致错； (2)把握不好循环结构中控制循环的条件致错．1．执行如图所示的程序框图，其中t ∈Z .若输入的n ＝5，则输出的结果为( )A ．48B ．58C ．68D ．78解析：选B.输入的n ＝5，则a ＝5×5＋3＝28＝7×4；n ＝7，a ＝38＝7×5＋3；n ＝9，a ＝5×9＋3＝48＝7×6＋6；n ＝11，a ＝5×11＋3＝58＝7×8＋2.则退出循环，输出的结果为58.故选B.2．如图所示的程序框图，当输入的x 为1时，输出的结果为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.执行程序框图；i ＝0，输入的x 为1时，y ＝1＋1＝2，i ＝1，y ＝2<20，则x ＝2；y ＝4，i ＝2，y ＝4<20，则x ＝4；y ＝8，i ＝3，y ＝8<20，则x ＝8；y ＝16，i ＝4，y＝16<20，则x ＝16；y ＝32，i ＝5，y ＝32>20，退出循环体．故输出的结果为5，选C.顺序结构与条件结构(典例迁移)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3，4]B ．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]【解析】 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3，3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3，4]，即输出的s 属于[－3，4]．【答案】 A【迁移探究1】 (变条件)若本例的判断框中的条件改为“t ≥1？”，则输出的s 的范围是 ．解析：由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ≥1，4t －t 2，t <1.所以当1≤t ≤3时，s ＝3t ∈[3，9]，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时－5≤s <3.综上函数的值域为[－5，9]，即输出的s 属于[－5，9]．答案：[－5，9]【迁移探究2】 (变结论)本例框图不变，若输出s 的值为3，求输入的t 的值．解：由本例解析知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <14t －t 2，t ≥1， 则3t ＝3，所以t ＝1(舍)， 4t －t 2＝3，所以t ＝1或3.应用顺序结构和条件结构的注意点(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．[提醒] 条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．1．阅读如图所示的程序框图，若输入的x 为3，则输出的y 的值为( )A．24 B．25C．30 D．40解析：选D.a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.2．(2020·菏泽模拟)给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.当x≤2时，y＝x2＝x，解得x1＝0，x2＝1；当2<x≤5时，y＝2x－3＝x，解得x3＝3；当x>5时，y＝1x＝x，解得x＝±1(舍去)，故x可为0，1，3.故选C.循环结构(多维探究)角度一由程序框图求输出的结果或输入的值(1)(2019·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A. 1B. 2C. 3 D． 4(2)(2020·洛阳尖子生第二次联考)执行如图所示程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是( )A．5 B．6C．7 D．8【解析】(1)执行程序框图，s＝2，k＝2；s＝2，k＝3；s＝2，结束循环．输出的s 值为2，故选B.(2)由题意，可得A＝1，B＝1，k＝3，满足条件k≤n；C＝2，A＝1，B＝2，k＝4，满足条件k≤n；C＝3，A＝2，B＝3，k＝5，满足条件k≤n；C＝5，A＝3，B＝5，k＝6，满足条件k≤n；C＝8，A＝5，B＝8，k＝7，满足条件k≤n；C＝13，A＝8，B＝13，k＝8，此时应该不满足条件k≤n，退出循环，输出的C的值为13.可得8>n≥7，所以输入的正整数n的值是7.故选C.【答案】(1)B (2)C角度二完善程序框图(2019·高考全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A【解析】法一：依次检验四个选项．第一次循环：A.A＝12＋12；B.A＝2＋2；C.A＝12；D.A＝2.分析知只有A符合题意．故选A.法二：分析知，12＋12＋12与12＋12一致的结构为12＋A，故可设A＝12＋A，检验知符合题意，故选A.【答案】 A角度三辨析程序框图的功能(2020·唐山市摸底考试)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A ．求1＋13＋15＋17＋...＋121的值B ．求1＋13＋15＋17＋...＋119的值C ．求1－13＋15－17＋...－119的值D ．求1－13＋15－17＋...＋121的值【解析】 执行程序框图，S ＝1，a ＝－1，n ＝3；S ＝1－13，a ＝1，n ＝5；S ＝1－13＋15，a ＝－1，n ＝7；…；S ＝1－13＋15－17＋…－119，a ＝1，n ＝21>19满足条件，退出循环，输出S .故该程序框图的功能是求S ＝1－13＋15－17＋…－119的值，故选C.【答案】 C[提示] (1)几个常用变量：①计数变量，如i ＝i ＋1； ②累加变量，如S ＝S ＋i ；③累乘变量，如p ＝p ×i .(2)当型循环与直到循环的区别．1．(2020·武昌区调研考试)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s＝( )A．26 B．102C．410 D．512解析：选B.s＝0，n＝1，第一次运行，s＝21－0＝2，n＝1＋2＝3；第二次运行，s＝23－2＝6，n＝3＋2＝5；第三次运行，s＝25－6＝26，n＝5＋2＝7；第四次运行，s＝27－26＝102，n＝7＋2＝9>8，终止循环．输出s＝102，故选B.2．(2020·湖南省湘东六校联考)执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件为( )A．i≤4? B．i≤5?C．i≤6? D．i≤7?解析：选B.初始值，S＝1，i＝1，第一次循环，S＝3，i＝2；第二循环，S＝7，i＝3；第三次循环，S＝15，i＝4；第四次循环，S＝31，i＝5；第五次循环，S＝63，i＝6，此时退出循环，输出S＝63.结合选项知判断框中应填入的条件为“i≤5？”，故选B.3．(2020·东北三省三校一模)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1－a2＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.当输入x 的值为4时，不满足b 2>x ，但是满足x 能被b 整除，输出a ＝0＝a 1；当输入x 的值为5时，不满足b 2>x ，也不满足x 能被b 整除，故b ＝3，此时满足b 2>x ，故输出a ＝1＝a 2，则a 1－a 2＝－1.故选D.基本算法语句(师生共研)执行如图程序语句，输入a ＝2cos 2 017π3，b ＝2tan 2 017π4，则输出y 的值是( )A ．3B ．4C ．6D ．－1【解析】 根据条件语句可知程序运行后是计算y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋b ），a <b ，a 2－b ，a ≥b ，且a ＝2cos 2 017π3＝2cos π3＝1，b ＝2tan2 017π4＝2tan π4＝2； 因为a <b ，所以y ＝a (a ＋b )＝1×3＝3， 即输出y 的值是3. 【答案】 A算法语句应用的三个关注点下列程序执行后输出的结果是 ．解析：程序反映出的算法过程为i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10；i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8； i ＝8<9退出循环，执行“PRINT S ”．故S ＝990. 答案：990[基础题组练]1．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为( )A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－3或－9解析：选B.当x ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－8＝0，x ＝－3；当x >0时，2－log 3x ＝0，x ＝9.故x ＝－3或x ＝9，故选B.2．(2020·石家庄模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为1，则输出的k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.开始，k ＝0，a ＝1，所以b ＝1；第一次循环，a ＝－11＋1＝－12，此时a ≠b ；第二次循环，k ＝2，a ＝－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，此时a ≠b ；第三次循环，k ＝4，a ＝－11＋（－2）＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k 的值为4，故选D.3．(2020·陕西汉中重点中学联考)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A．5 B．26C．667 D．677解析：选D.根据程序框图，模拟程序的运行，可得a＝1，满足条件a<100，执行循环体，a＝2，满足条件a<100，执行循环体，a＝5，满足条件a<100，执行循环体，a＝26，满足条件a<100，执行循环体，a＝677，不满足条件a<100，退出循环体，输出a的值为677，故选D.4．(2020·武汉市调研测试)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为( )A．5 B．12C．27 D．58解析：选C.k＝1，s＝1，第一次循环，s＝1＋1＝2，k＝2×1＋1＝3；第二次循环，s＝2＋3＝5，k＝2×3＋1＝7；第三次循环，s＝5＋7＝12，k＝2×7＋1＝15；第四次循环，s＝12＋15＝27，k＝2×15＋1＝31>30，终止循环．输出s＝27，故选C.5．(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)如图所示的程序框图，若输出S＝30，则输入的整数m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.执行程序框图，可得S ＝0，k ＝m <m ＋2，执行循环体；S ＝m ，k ＝m ＋1<m ＋2，执行循环体； S ＝2m ＋1，k ＝m ＋2，执行循环体；S ＝3m ＋3，k ＝m ＋3>m ＋2，退出循环，输出S ＝3m ＋3，由3m ＋3＝30得m ＝9.故选C.6.(2020·宁夏石嘴山三中一模)数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下面是源于其思想的一个程序框图．若输入a ，b 的值分别为8，2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．4解析：选C.输入a ，b 分别为8，2，n ＝1，a ＝12，b ＝4，不满足退出循环的条件；n ＝2，a ＝18，b ＝8，不满足退出循环的条件； n ＝3，a ＝27，b ＝16，不满足退出循环的条件； n ＝4，a ＝812，b ＝32，不满足退出循环的条件； n ＝5，a ＝2434，b ＝64，满足退出循环的条件；故输出n ＝5，故选C. 7.(2020·重庆质量调研(一))执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝－1，n＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－3xC ．y ＝－4xD ．y ＝－8x解析：选C.初始值x ＝0，y ＝－1，n ＝1，执行循环体，x ＝0，y ＝－1，x 2＋y 2<36，n ＝2，x ＝12，y ＝－2，x 2＋y 2<36，n ＝3，x ＝32，y ＝－6，x 2＋y 2>36，退出循环，输出x ＝32，y ＝－6，此时x ，y 满足y ＝－4x ，故选C.8．(2020·原创冲刺卷三)执行如图所示的程序框图，若输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤90?解析：选B.因为sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝44(sin 21°＋sin 289°)＋sin 245°＝44(sin 21°＋cos 21°)＋sin 245°＝44.5，所以判断框内应填“x ≤89？”．9．(2020·长春市质量监测(一))我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升)．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝15(单位：升)，则输入的k 的值为( )A ．45B ．60C ．75D ．100解析：选B.依题意知，n ＝1，S ＝k ，满足条件n <4，执行循环体，n ＝2，S ＝k －k 2＝k2；满足条件n <4，执行循环体，n ＝3，S ＝k 2－k23＝k 3；满足条件n <4，执行循环体，n ＝4，S ＝k3－k34＝k 4，此时不满足条件n <4，退出循环，输出的S ＝k 4.由题意可得k4＝15，解得k ＝60，故选B.10．(2020·河北省九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1，2，4，输出的M ＝158，那么判断框中应填入的条件为( )A ．n <k?B ．n ≥k?C ．n <k ＋1?D ．n ≥k ＋1?解析：选A.由于输入的a ＝1，b ＝2，k ＝4，所以当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，此时a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，此时a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，与输出的M值一致，故循环需终止．此时n ＝4，而输入的k ＝4，故结合选项知，判断框中应填入“n <k ？”．故选A.11．(2020·江西省五校协作体试题)阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 ．解析：开始，x ＝1，y ＝1，第一次循环，z ＝x ＋y ＝2，x ＝1，y ＝2；第二次循环，z ＝x ＋y ＝3，x ＝2，y ＝3；第三次循环，z ＝x ＋y ＝5，x ＝3，y ＝5；第四次循环，z ＝x ＋y ＝8，x ＝5，y ＝8；第五次循环，z ＝x ＋y ＝13，x ＝8，y ＝13；第六次循环，z ＝x ＋y ＝21，不满足条件z <20，退出循环．输出y x ＝138，故输出的结果为138. 答案：13812．阅读下面的程序，当分别输入实数x ＝3和x ＝0时，其输出的结果是 ． INPUT x IF x >1 THEN y ＝x －2 ELSE y ＝2*x END IF PRINT y END解析：由程序可知，它解决的是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，2x ，x ≤1的函数值问题，显然，当x ＝3时，y ＝3－2；当x ＝0时，y ＝0.故输出的结果是3－2和0.答案：3－2和0[综合题组练]1．(2020·石家庄市质量检测(二))20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是偶数，则下一步变成n2.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32解析：选C.若n ＝5，执行程序框图，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.若n ＝32，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.当n ＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n ＝5或32，故选C.2.(2020·河南开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思是：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的语句是( )A ．i <7，s ＝s －1i，i ＝2iB ．i ≤7，s ＝s －1i，i ＝2iC ．i <7，s ＝s2，i ＝i ＋1D ．i ≤7，s ＝s2，i ＝i ＋1解析：选D.由题意可知第一天后剩下12，第二天后剩下122，…，由此得出第7天后剩下127，则①应为i ≤7，②应为s ＝s2，③应为i ＝i ＋1，故选D.3．关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是 ．解析：由程序框图的第一个判断条件为f (x )>0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1，1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0，1]．答案：[0，1]4．执行如图所示的程序框图，若输入向量a＝c＝(－2，2)，b＝(1，0)，则输出S的值是．解析：程序对应的运算：a＝c＝(－2，2)，则a·c＝8，S＝0＋8＝8，i＝1，c＝c＋b＝(－1，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(－1，2)，则a·c＝6，S＝8＋6＝14，i＝2，c＝c＋b ＝(0，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(0，2)，则a·c＝4，S＝14＋4＝18，i＝3，c＝c＋b＝(1，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(1，2)，则a·c＝2，S＝18＋2＝20，i＝4，c＝c＋b＝(2，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(2，2)，则a·c＝0，此时跳出循环体．故输出S的值为20.答案：20。
第二节算法与程序框图A组基础题组1.执行如图所示的程序框图,若输入的n∈{1,2,3},则输出的s属于( )A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,3,9}2.某程序框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位),则输出的S值为( )A.-1B.1C.-iD.i3.(2017北京,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )A.2B.C.D.4.(2017北京顺义二模,2)执行如图所示的程序框图,则输出的s值为( )A. B. C. D.5.(2017北京房山一模,3)秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入n,x 的值分别为4,2,则输出v的值为( )A.5B.12C.25D.50B组提升题组6.(2015北京,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8)7.(2017北京海淀零模,3)执行如图所示的程序框图,则输出的S值为( )A.1B.3C.7D.158.(2017北京西城二模,9)执行如图所示的程序框图,输出的S值为.9.(2017北京丰台二模,10)执行如图所示的程序框图,若输入x的值为6,则输出x的值为.答案精解精析A组基础题组1.A 当n=1时,s=log33=1;当n=2时,s=log39=2;当n=3时,s=log33=1,所以输出的s属于{1,2},故选A.2.D 条件n>9,则n=10时跳出循环,故n的最大值为9,S=z9=i9=i8·i=i.3.C 由程序框图可知k=1,s=2;k=2,s=;k=3,s=.此时k<3不成立,故输出s=.故选C.4.C k=1,s=1,1<4,进入循环;k=2,s=,2<4,进入循环;k=3,s=,3<4,进入循环;k=4,s=,4=4,输出s=,故选C.5.C n=4,x=2,v=1,i=3,3>0,循环;v=2×1+3=5,i=2,2>0,循环;v=2×5+2=12,i=1,1>0,循环;v=2×12+1=25,i=0,0=0,输出v=25.故选C.B组提升题组6.B 第一次进入循环体:s=0,t=2,x=0,y=2,k=1<3;第二次进入循环体:s=-2,t=2,x=-2,y=2,k=2<3;第三次进入循环体:s=-4,t=0,x=-4,y=0,k=3,满足k≥3,循环结束,此时输出(x,y)为(-4,0),故选B.7.D 由程序框图可知S=0+20+21+22+23=15,故选D.8.答案7解析开始:S=1,i=1;第一次循环:S=1+21=3,i=1+1=2;第二次循环:S=3+22=7,i=2+1=3,此时跳出循环,输出S=7.9.答案0解析第1次循环:y=4,x=4,不满足x≤1;第2次循环:y=2,x=2,不满足x≤1;第3次循环:y=0,x=0,满足x≤1,故输出x=0.。
第十二章 算法初步、推理与证明、复数12.1 算法与程序框图考纲要求1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的____和____的步骤．2．程序框图又称________，是一种用______、________及文字说明来表示算法的图形．3．顺序结构是由______________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构． 其结构形式为：4．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为：5．循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为________．循环结构又分为______________和________________．其结构形式为：当型循环结构直到型循环结构1．下列关于算法的说法正确的个数是( )．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．42. 如果执行下边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )．A ．9B ．3C ． 3D ．193．(2012广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )．A ．105B ．16C ．15D ．14．给出如下程序框图，其功能是( )．A ．求a －b 的值B ．求b －a 的值C ．求|a －b |的值D ．以上都不对5．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为__________．一、算法的基本结构【例1】执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )．A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040 方法提炼1．解决程序框图问题要注意几个常用变量．(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1；(2)累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i ；(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．请做演练巩固提升1二、循环结构设计【例2－1】 执行下图所示的程序框图，输入l ＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是__________．【例2－2】 如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )．A.1321B.2113C.813D.138方法提炼1．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题．用循环结构表达算法，在画出算法的程序框图之前就应该分析清楚循环结构的三要素：①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件．2．运行程序框图和完善程序框图是高考的热点．解答这一类问题，首先，要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要运行程序框图，理解程序框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答，对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化程序框图问题的实际背景．请做演练巩固提升2,3加强框图中对逻辑顺序的理解【典例】 (2012天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )．A ．8B ．18C ．26D ．80解析：n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2；n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3；n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4；4≥4，输出S ＝26.答案：C答题指导：1.本题条件较多，读不懂程序框图的逻辑顺序，盲目作答而导致错误．因此，在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量．2．读程序框图时，要注意循环结构的终止条件．1．对于如图所示的程序框图，输入a ＝ln 0.8，b ＝12e ，c ＝2－e ，经过程序运算后，输出a ，b 的值分别是( )．A ．2－e ，ln 0.8B ．ln 0.8,2－eC ．12e ，2－eD ．12e ，ln 0.82．(2012合肥模拟)执行下面的程序框图，则输出的n ＝( )．A ．6B ．5C ．8D ．73．(2012福建高考)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( )．A ．－3B ．－10C ．0D ．－24．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．5．(2012山东潍坊模拟)运行如图所示的程序框图，当输入m ＝－4时，输出的结果为n .若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥n .则目标函数：z ＝2x ＋y 的最大值为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．明确 有限2．流程图 程序框 流程线3．若干个依次执行的步骤5．循环体 当型循环结构 直到型循环结构基础自测1．C 解析：①是不正确的，②③④正确．2．C 解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3＞0.结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.3．C 解析：i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15.4．C 解析：求|a －b |的值．5．2 解析：∵12＜1， ∴当x ＝12时，y ＝124＝2. 考点探究突破【例1】 B 解析：当输入的N 是6时，由于k ＝1，p ＝1， 因此p ＝p ·k ＝1，此时k ＝1＜6；第一次循环，k ＝1＋1＝2，p ＝1×2＝2，k ＝2＜6；第二次循环，k ＝2＋1＝3，p ＝2×3＝6，k ＝3＜6；第三次循环，k ＝3＋1＝4，p ＝6×4＝24，k ＝4＜6；第四次循环，k ＝4＋1＝5，p ＝24×5＝120，k ＝5＜6；第五次循环，k ＝5＋1＝6，p ＝120×6＝720，k ＝6＜6不成立． 因此输出p ＝720.【例2－1】 68 解析：由程序框图可知，y 的变化情况为y ＝70×2＋21×3＋15×5＝278，进入循环，显然278＞105，因此y ＝278－105＝173；此时173＞105，故y ＝173－105＝68.经判断68＞105不成立，输出此时y 的值68.【例2－2】 D 解析：由程序框图可得，第一次循环：x ＝1，y ＝2；第二次循环：x ＝2，y ＝3；第三次循环：x ＝3，y ＝5；第四次循环：x ＝5，y ＝8；第五次循环：x ＝8，y ＝13；z ＝21＞20，此时退出循环，输出y x ＝138. 演练巩固提升1．C 解析：该程序框图的设计目的是将a ，b ，c 按照由大到小的顺序排列，即输出的a ，b ，c 满足a ≥b ≥c ，而ln 0.8＜0，12e＞1，0＜2－e ＜1，即12e ＞2－e ＞ln 0.8，故输出的a ＝12e ，b ＝2－e.2．D 解析：此程序框图的功能是计算a 1＝12，q ＝12的等比数列的前n －1项和S ＞3132时，n 的最小值． ∵S ＝a 1(1－q n －1)1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＞3132， ∴n ＞6，∴n ＝7.3．A 解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1；(2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0；(3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3；(4)k ＝4，直接输出s ＝－3.4．15 解析：由题意可得T 为求1＋2＋3＋…＋k 的值． 由于1＋2＋3＋…＋14＝105,1＋2＋3＋…＋15＝120， 所以输出k 的值为15.5．5 解析：由程序框图可知，当输入m ＝－4时，输出的结果为n ＝1， ∴变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1.此不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知目标函数z ＝2x ＋y 在点A (2,1)处取得最大值2×2＋1＝5.。
第十二章⎪⎪⎪推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.突破点(一) 合情推理[基本知识] 类型 定义特点 归纳 推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、 由个别到一般类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊[基本能力]1．判断题(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 2(2)由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．答案：类比(3)观察下列不等式： ①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112< 3.则第5个不等式为____________________________________________________．答案：12＋16＋112＋120＋130< 5[全析考法]归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一)与数字有关的推理[例1](1)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)(2)(·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析](1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案](1)A(2)n2解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]类型(二) 与式子有关的推理 [例2] (1)(·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． 类型(三) 与图形有关的推理[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．[解]如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．下面证明该结论的正确性， 设内切球半径为R ，则V A -BEFD ＝13(S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A -EFC ＝13(S △AEC＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论．[方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．[全练题点]1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3.[考点一·类型(一)]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij ，例如a 42＝15，若a ij ＝2 017，则i －j ＝( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…A ．26B ．27C ．28D ．29解析：选A 前k 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k ＝k (1＋k )2个，所以第k 行的最后一个数为2·k (1＋k )2－1＝k 2＋k －1，第k ＋1行的第一个数为k (k ＋1)＋1，当k ＋1＝45时，k (k＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 9812＝18，所以2 017是第45行的第19个数，即i ＝45，j ＝19，所以i －j ＝45－19＝26.故选A.4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 各等式可化为55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2；77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A.5.[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二)演绎推理[基本知识](1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[基本能力]1．判断题(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)√(2)×2．填空题(1)下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有________个．解析：易知①③④正确．答案：3(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．答案：②[全析考法]演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[全练题点]1．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m .证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提) 所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和33．(·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 合情推理1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A ．n (n ＋1) B.n (n －1)2C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.答案：337．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.12345…3579…81216…2028…2 013 2 014 2 015 2 0164 027 4 029 4 0318 0568 06016 116……该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.答案：2 017×22 0148.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)对点练(二)演绎推理1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.4．(·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙[大题综合练——迁移贯通]1．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为13574 81212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD .∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法本节主要包括3个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明； 3.数学归纳法.突破点(一)直接证明[基本知识]内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式“因为…，所以…”或“由…，得…”“要证…，只需证…，即证…”[基本能力]1．判断题(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)6－22与5－7的大小关系是________．解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．答案：6－22>5－7(2)已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的大小关系是________．解析：x2＝12(a＋b＋2ab)，y2＝a＋b＝12(a＋b＋a＋b)>12(a＋b＋2ab)＝x2，又∵x>0，y>0，∴y>x.答案：y>x(3)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴a>b，a－b>0，∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2ab)＝2ab－2b>2b2－2b＝0，∴n2>m2，又∵m>0，n>0，∴n>m.答案：n>m[全析考法]综合法(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0.综上可知，f (x )x －1>0. [方法技巧] 综合法证题的思路分析法[例2] 已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.[证明] 由已知1b －1a >1及a >0，可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1.这是已知条件，所以原不等式得证．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[全练题点]1.[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2.[考点一](·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .①又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3.[考点一]已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥13.4.[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二)间接证明[基本知识]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设綈q第三步由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真3．常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有对任意x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n－1)个p或q 綈p且綈q至多有n个至少有(n＋1)个p且q 綈p或綈q 都是不都是不都是都是[基本能力]1．判断题(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．()(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．答案：3a≤3b(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．①结论相反的判断即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义；④原结论．答案：①②③(3)写出下列命题的否定．①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；否定为____________________________________________________________；②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；否定为________________________________________________________；③所有的正方形都是矩形；否定为________________________________________________________________；④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；否定为_______________________________________________________________．答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2③至少存在一个正方形不是矩形④不存在实数x，使x2＋1＝0[全析考法]证明否定性命题[例1]设{a n}(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．[解](1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①。
第2讲 算法与程序框图[基础题组练]1．(2020·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，输出K 的值为( )A ．99B ．98C ．100D ．101解析：选A.执行程序框图，得K ＝1，S ＝0；S ＝0＋lg1＋11＝lg 2，K ＝2；S ＝lg 2＋lg 2＋12＝lg 3，K ＝3；S ＝lg 3＋lg 3＋13＝lg 4，K ＝4；S ＝lg 4＋lg 4＋14＝lg 5，K ＝5；…；S ＝lg 98＋lg98＋198＝lg 99，K ＝99；S ＝lg 99＋lg 99＋199＝lg 100＝2，退出循环．所以输出K ＝99，故选A.2．(2020·某某江门调研)执行如图所示的程序框图，若判断框内为“i ≤3”，则输出S ＝( )A ．2B ．6C ．10D ．34解析：选D.因为“i ≤3”，所以执行程序框图，第一次执行循环体后，j ＝2，S ＝2，i＝2≤3；第二次执行循环体后，j ＝4，S ＝10，i ＝3≤3；第三次执行循环体后，j ＝8，S ＝34，i ＝4>3，退出循环．所以输出S ＝34.故选D.3．(2020·某某某某质检)执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝2524，则判断框内填入的条件不可以是( )A ．k ≤7B ．k <7C ．k ≤8D ．k <8解析：选C.模拟执行程序框图，可得S ＝0，k ＝0；k ＝2，S ＝12；k ＝4，S ＝12＋14；k ＝6，S ＝12＋14＋16；k ＝8，S ＝12＋14＋16＋18＝2524.由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为2524.结合选项可得判断框内填入的条件不可以是“k ≤8”．故选C.4．(2020·某某调研)执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，输入的x 值是( )A ．±1B ．1或 3C ．－3或1D ．－1或 3解析：选C.因为输出的值为1，所以根据程序框图可知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2＝1，得x ＝1或x ＝－3，故选C.5．(2020·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n 的值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C.法一：执行程序框图，n ＝1，S ＝0；S ＝0＋11×3＝13，n ＝3；S ＝13＋13×5＝25，n ＝5；S ＝25＋15×7＝37，n ＝7；S ＝37＋17×9＝49，n ＝9，此时满足S ≥49，退出循环．输出n ＝9，故选C.法二：由程序框图知，该程序框图的作用是由11×3＋13×5＋…＋1n ×（n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2≥49，解得n ≥7，所以输出的n 的值为7＋2＝9，故选C.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ，z 的值分别为1，2，3，则输出的S 等于( )A.32 B ．163C.158D ．154解析：选C.k ＝6，S ＝21＋2＝4，y ＝1，x ＝4；k ＝5，S ＝24＋1＝32，y ＝4，x ＝32；k ＝4，S ＝232＋4＝163，y ＝32，x ＝163；k ＝3，S ＝2163＋32＝158，y ＝163，x ＝158；k ＝2，终止循环，输出的S ＝158.选C.7．(2020·某某某某四校联考)已知函数f (x )＝cos πx3，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．670B ．1 3412C ．671D ．672解析：选C.执行程序框图，y ＝f (1)＝cos π3＝12，S ＝0＋12＝12，n ＝1＋1＝2；y ＝f (2)＝cos 2π3＝－12，S ＝12，n ＝2＋1＝3；y ＝f (3)＝cos π＝－1，S ＝12，n ＝3＋1＝4；y ＝f (4)＝cos 4π3＝－12，S ＝12，n ＝4＋1＝5；y ＝f (5)＝cos 5π3＝12，S ＝12＋12＝1，n ＝6；y ＝f (6)＝cos 2π＝1，S ＝1＋1＝2，n ＝7，…，直到n ＝2 016时，退出循环．因为函数y ＝cosn π3是以6为周期的周期函数，2 015＝6×335＋5，f (2 016)＝cos 336π＝cos (2π×138)＝1，所以输出的S ＝336×2－1＝671.故选C.8．(2020·某某巴蜀中学一模)执行如图所示的程序框图，若输入的a 为24，c 为5，输出的数为3，则输入的b 有可能为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B.结合程序框图，若输出的数为3，则经过循环之后的b ＝a ＋3＝27，由27÷5＝5……2，并结合循环结构的特点可得，输入的b 除以5的余数为2，结合选项可得，b 有可能为12，故选B.9．(2020·某某彬州第一次质监)如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定X围内考试次数的一个程序框图，执行程序框图，输出的结果是( )A．7 B．8C．9 D．10解析：选B.该程序框图的作用是求14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为8，故选B.10．(2020·某某三湘名校联盟第一次联考)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2 268用算筹表示为执行如图所示的程序框图，若输入的x＝1，y＝2，则输出的S用算筹表示为( )解析：选C.x ＝1，y ＝3，i ＝2；x ＝2，y ＝8，i ＝3；x ＝14，y ＝126，i ＝4.退出循环，输出S ＝1 764，用算筹表示为，故选C.11．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入( )A.a －221∈Z B ．a －215∈Z C.a －27∈ZD ．a －23∈Z解析：选A.根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a ：a ＝3k ＋2，a ＝5n ＋3，a ＝7m ＋2，k ，n ，m ∈Z ，根据程序框图可知，数a 已经满足a ＝5n ＋3，n ∈Z ，所以还要满足a ＝3k ＋2，k ∈Z 和a ＝7m ＋2，m ∈Z 并且还要用一个条件给出，即a －2既能被3整除又能被7整除，所以a －2能被21整除，故在“”处应填入a －221∈Z ，选A.12．程序框图如图，若输入的S ＝1，k ＝1，则输出的S 为________．解析：第一次循环，k ＝2，S ＝4；第二次循环，k ＝3，S ＝11；第三次循环，k ＝4，S ＝26；第四次循环，k ＝5，S ＝57.此时，终止循环，输出的S ＝57.答案：5713．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝________．解析：开始：a ＝14，b ＝18，第一次循环：a ＝14，b ＝4；第二次循环：a ＝10，b ＝4； 第三次循环：a ＝6，b ＝4；第四次循环：a ＝2，b ＝4； 第五次循环：a ＝2，b ＝2.此时，a ＝b ，退出循环，输出a ＝2. 答案：214．公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人．完全数是一种特殊的自然数，若一个数所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和，恰好等于它本身，则称该数为完全数．如6的真因子有1，2，3，且1＋2＋3＝6，故6是完全数．现为判断一个非零自然数是否是完全数，编拟如下的程序框图，则空白框内应填________．解析：程序框图的循环结构部分的功能是累计非零自然数x 的真因子之和，如果t ＝xi是整数，那么就将i 这个数累加到变量S 中，所以空白框内应填S ＝S ＋i .答案：S ＝S ＋i15．若[x ]表示不超过x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为________．解析：根据题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤19940＝[4.975]＝4，所以该程序框图运行后输出的结果是40个0，40个1，40个2，40个3，40个4的和，所以输出的结果为S ＝40＋40×2＋40×3＋40×4＝400.答案：400[综合题组练]1．执行如图的程序框图，若输入的n 为2 018，则输出的是( )A ．前 1 008 个正偶数的和B ．前 1 009 个正偶数的和C ．前 2 016 个正整数的和D ．前 2 018 个正整数的和解析：选B.模拟程序的运行过程知，该程序运行后计算并输出S ＝2＋4＋6＋…＋2 018 的值．故选B.2．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675，125，则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75解析：选B.初始值：a ＝675，b ＝125， 第一次循环：c ＝50，a ＝125，b ＝50； 第二次循环：c ＝25，a ＝50，b ＝25； 第三次循环：c ＝0，a ＝25，b ＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a 的值为25，故选B.3．我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝1.5(单位：升)，则输入k 的值为( )A ．4.5B ．6C ．7.5D ．9解析：选B.由程序框图知S ＝k －k 2－k 2×3－k3×4＝1.5，解得k ＝6，故选B.4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框中可以填入( )A．k<n B．k>nC．k≥n D．k≤n解析：选B.执行程序框图，输入的a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入的a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又n＝2，所以判断框中可以填“k>n”，故选B.5．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A．0，0 B．1，1C．0，1 D．1，0解析：选D.当输入x＝7时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x成立，故a＝1，输出a的值为1.当输入x＝9时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.6．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1，如图所示的程序框图是求f(x0)的值，在“”中应填的语句是( )A．n＝i B．n＝i＋1C．n＝2 018－i D．n＝2 017－i解析：选C.由秦九韶算法得f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1＝(…((2 018x ＋2 017)x＋2 016)x＋…＋2)x＋1，所以程序框图的执行框内应填写的语句是n＝2 018－i，故选C.。
12.2 基本算法语句、算法案例考纲要求了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．输入语句不同的程序语言都有自己的输入指令和方法，在Scilab中的输入语句之一是“input”，不仅可输入数值，也可输入单个或多个字符．2．输出语句(1)“print”语句程序中的print的参数______表示在屏幕上输出．(2)“disp”语句disp也是Scilab的输出语句，运行后在界面窗口上显示______中间的文字．3．赋值语句(1)赋值语句的一般格式：____________.(2)在研究问题的过程中可以取不同数值的量称为______，把一个值a赋给变量b的过程称为______，“____”为赋值符号．注意事项：赋值号“＝”左边只能是变量名，右边是表达式，左右边不能交换；每一个赋值语句只能出现一次“＝”，只能给一个变量赋值．赋值号“＝”的理解：把右边的数值赋给左边的变量或计算右边表达式的值并把计算结果赋给左边的变量．4．条件语句5.(1)for循环格式为for循环变量＝初值：步长：终值循环体；end(2)while语句格式为while表达式循环体；end6．更相减损术第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是______．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步：以__________减去__________，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到______________为止，则相等的数就是所求的__________．7．秦九韶算法把一个n 次多项式函数f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写成如下形式：f (x )＝____________________________________.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即________，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2＝v 1x ＋a n －2， v 3＝v 2x ＋a n －3， ……v n ＝v n －1x ＋a 0.1．已知变量a ，b 已被赋值，要交换a ，b 的值，采用的算法是( )． A ．a ＝b ，b ＝a B ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝b C ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝a D ．c ＝a ，a ＝b ，b ＝c 2．运行下面的程序时，while 循环语句的执行次数是( )． n ＝0；while n<20 n ＝n ＋1； n ＝；end，；A ． 3B ．4C ．15D ．193．运行下面的程序，若输入5，则输出的值是( )． a ＝＝；a ＝－a ＋15；，；A ．－10B ．10C ．20D ．－204．下列关于利用更相减损之术求156和72的最大公约数的说法中正确的是( )． A ．第一步必须是约简B ．第一步可以约简，也可以不约简C ．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12 D ．以上都不对5．2012年某地森林面积为1 000 km 2，且每年增长5%，到哪一年该地森林面积超过2 000 km 2？请设计一个程序，并画出程序框图．一、输入、输出和赋值语句【例1】 设计一个可以输入圆柱的底面半径r 和高h ，再计算出圆柱的体积和表面积的算法，画出程序框图，并写出程序．(π取3.14)方法提炼1．输入、 输出、赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句．一个输出语句可以输出多个表达式的值．在赋值语句中，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换．2．一个赋值语句只给一个变量赋值，但一个语句行可以写多个赋值语句． 3．不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、分解因式、解方程等)．4．编写程序的关键在于搞清问题的算法，特别是算法的结构，然后确定采取哪一种算法语句．5．编写程序时，要注意常见运算符号的书写方式如a ^b (a b)；a*b (a ×b )；a /b (a b)；sqrt(x )(x )；a \b (a 除以b 的整数商，如5\2)；a mod b (a 除以b 的余数，如5mod2=1)等，还要明确它们的运算规则：先乘除、后加减；乘幂优于乘除；函数优于乘幂；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先，多层括号则从内到外依次进行运算[注意表达式中的括号一律用小括号“()”]．请做演练巩固提升2 二、条件语句【例2】 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x >0，2x ＋1，x ＝0，－2x 2＋4x ，x <0，试输入x 的值计算y 的值，画出程序框图，并写出程序．方法提炼1．条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如求分段函数的函数值往往用条件语句编写程序．2．条件语句可以嵌套，即条件语句的then 或else 后面还可以跟条件语句． 请做演练巩固提升1,4 三、循环语句【例3】已知如下图所示程序框图．(1)指出该框图的算法功能； (2)试写出该框图对应的程序． 方法提炼在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题时，应考虑利用循环语句来实现．请做演练巩固提升3 四、秦九韶算法【例4】用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x 5＋3x 3－2x 2＋1当x ＝2时的函数值． 方法提炼用秦九韶算法计算多项式的值时，先将所给的多项式进行改写，再由内到外逐次计算．若多项式中有系数为0的项，则应把它补上．请做演练巩固提升5不理解算法语句的功能及格式易致误【典例】 (2012湖南衡阳模拟)下面程序运行后输出的结果为( )．a ＝0；j ＝1；while j<＝5 a ＝＋； j ＝j ＋1；end aA ．0B ．1C ．2D ．4 解析：当j ＝1时，余数a ＝1；当j ＝2时，余数a ＝3；当j ＝3时，余数a ＝1； 当j ＝4时，余数a ＝0；当j ＝5时，余数a ＝0； 当j ＝6时，不满足条件，此时退出循环． 答案：A答题指导：1.在解答本题时，易错选D 而导致错误，错误原因是：对循环过程不理解，误认为j ＝1时，余数a ＝0，即j ＝1时，没有执行第一次循环．其错误过程如下：当j ＝1时，余数a ＝0；当j ＝2时，余数a ＝2；当j ＝3时，余数a ＝0；当j ＝4时，余数a ＝4；当j ＝5时，余数a ＝4.2．解决算法语句的有关问题时，还有以下几点易造成失误，备考时要高度关注： (1)对基本算法语句的功能及格式要求不熟悉．(2)条件语句中的嵌套结构混乱，不能用分段函数的形式直观描述． (3)对循环结构的循环过程把握不准．1．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1 x ，x 2＋2x x 的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a ，b ，c 中的最大数．其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )．a ＝1；b ＝3；a ＝a ＋b ；b ＝a －b ；，a ，；A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,03．读下面的甲、乙两个程序：i ＝1；S ＝0；while i<＝1 000S ＝S ＋i ；i ＝i ＋1；endi ＝1 000；S ＝0；for i ＝1 000：－1：1 S ＝S ＋i ；end甲 乙对甲、乙两个程序和输出的结果判断正确的是( )． A ．程序不同，结果不同 B ．程序不同，结果相同 C ．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同4．执行下列程序，变量y的值为( )．x＝20；if x>＝30y＝；elsey＝；endA．100 B．80 C．90 D．405．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x7＋x6－3x3＋2x当x＝2时的函数值，需要做加法和乘法的次数分别为( )．A．7,4 B．4,7 C．6,7 D．4,4参考答案基础梳理自测知识梳理2．(1)%io(2) (2)双引号3．(1)变量名＝表达式(2)变量赋值＝6．偶数较大的数较小的数所得的数相等最大公约数7．(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0v1＝a n x＋a n－1基础自测1．D2．A 解析：解读程序时，可采用一一列举的形式：(1)n＝0＋1＝1；n＝1×1＝1；(2)n＝1＋1＝2；n＝2×2＝4；(3)n＝4＋1＝5；n＝5×5＝25.共执行了3次．3．B 解析：该程序采用列举的方式：a＝－5＋15＝10，可知输出的值是10.4．B 解析：约简是为了使运算更加简捷，并不一定要约简，故A错；C中第二步应为84－72＝12.5．解：需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初值设为1 000，计数变量从0开始取值．程序框图：程序如下：考点探究突破【例1】解：算法如下：第一步，输入半径r和高h.第二步，计算底面积S＝πr2.第三步，计算体积V＝hS.第四步，计算侧面积C＝2πrh.第五步，计算表面积B＝2S＋C.第六步，输出V和B.程序框图如下图．程序如下：【例2】解：程序框图如图所示．程序如下：【例3】解：(1)算法功能为求满足1×3×5×…×n ＞10 000的最小正奇数n . (2)与该框图对应的程序为【例4】解：∵f (x )＝x 5＋3x 3－2x 2＋1＝((((x ＋0)x ＋3)x －2)x ＋0)x ＋1， 按照由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝2时的函数值如下： v 0＝1，v 1＝1×2＋0＝2， v 2＝2×2＋3＝7， v 3＝7×2－2＝12， v 4＝12×2＋0＝24， v 5＝24×2＋1＝49， 故f (2)＝49. 演练巩固提升1．A 解析：③不需要用条件语句来描述． 2．B3．B 解析：程序甲实现的功能是1＋2＋3＋…＋1 000； 程序乙实现的功能是1 000＋999＋…＋3＋2＋1. 4．B 解析：本程序实际是对应函数模型 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，x ≥30，4x ，x <30，故x ＝20时，y ＝80. 5．C。
年高考数学第一轮复习第十二篇推理与证明、算法、复数细致讲解练理新人教A版[最新考纲]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．辨析感悟1．对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)(5)(xx·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)2．对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)[感悟·提升]三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)．学生用书第200页考点一 归纳推理【例1】 (xx·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数N (n,6)＝2n 2－n……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 解析 由N (n,3)＝12n 2＋12n ，N (n,4)＝22n 2＋02n ，N (n,5)＝32n 2＋－12n ， N (n,6)＝42n 2＋－22n ， 推测N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎪⎫k －22n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－k 2n ，k ≥3. 从而N (n,24)＝11n 2－10n ，N (10,24)＝1 000. 答案 1 000规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 【训练1】 (1)(xx·佛山质检)观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜ 3. 则第5个不等式为________． (2)(xx·陕西卷)观察下列等式 (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析 (2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (1)12＋16＋112＋120＋130＜5 (2)(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)考点二 类比推理【例2】 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”． 审题路线 三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中12类比为三维图形中的13⇒得出结论．答案 V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________. 解析 由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3. 答案 8πr 3考点三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0， (小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n ＋1n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)， (小前提) 又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)学生用书第201页规律方法 应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．【训练3】 “因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 14x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 14x 是增函数(结论)”，以上推理的错误是( )．A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误解析 当a ＞1时，函数y ＝log a x 是增函数；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 是减函数．故大前提错误导致结论错误． 答案 A1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．创新突破12——新定义下的归纳推理【典例】 (xx·湖南卷)对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.❶例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0.❷(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于______；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．突破1：读懂信息❶，对于集合X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }来说，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100是一个新的数列，该数列的xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.突破2：通过例子❷：“子集{a 2，a 3}的特征数列为0,1,1,0，0，…，0”来理解“特征数列”的特征；第2项，第3项为1，其余项为0.突破3：根据p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1可写出子集P 的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，…，1,0，归纳出子集P ；同理，子集Q 的特征数列为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0，归纳出子集Q . 突破4：由P 与Q 的前几项的规律，找出子集P 与子集Q 的公共元素即可．解析 (1)根据题意可知子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前3项和为2.(2)根据题意可写出子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，…，1,0，则P ＝{a 1，a 3，…，a 2n －1，…，a 99}(1≤n ≤50)，子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则Q ＝{a 1，a 4，…，a 3k －2，…，a 100}(1≤k ≤34)，则P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}，共有17项．答案 (1)2 (2)17[反思感悟] 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力． 【自主体验】若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n 总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sinx 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 解析 已知1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ， (大前提)因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3，(结论)即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案 332对应学生用书P379基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )．A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确． 答案 C2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )． A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案 D3．(xx·江西卷)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )． A ．28 B ．76 C ．123 D ．199解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 C4．(xx·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a ＞0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )．①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )． A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y－a－x －y)，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(ax ＋y－a－x －y)，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．综上所述，选B.答案 B5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝ab ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 ①②正确；③④⑤⑥错误． 答案 B 二、填空题6．(xx·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：________.解析 各等式的左边是第n 个自然数到第3n －2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________． 答案 数列{n T n }为等比数列，且通项为nT n ＝b 1(q )n －18．(xx·揭阳一模)给出下列等式：2＝2cos π4，2＋2＝2cos π8，2＋2＋2＝2cosπ16，请从中归纳出第n 个等式：2＋…＋2＋2＝________. 答案 2cos π2n ＋1三、解答题9．给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 812 …其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列． 10．f (x )＝13x＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋131＋3＝331＋3＋131＋3＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3 3.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x33＋3x＝33.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(xx·江西卷)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )．A．76 B．80 C．86 D．92解析由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378解析观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C 二、填空题3．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析 (1)四边形DEFG 是一个直角梯形，观察图形可知：S ＝(2＋22)×2×12＝3，N ＝1，L ＝6.(2)由(1)知，S 四边形DEFG ＝a ＋6b ＋c ＝3.S △ABC ＝4b ＋c ＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S ＝4，N ＝1，L ＝8.则S ＝a ＋8b ＋c ＝4.联立解得a ＝1，b ＝12.c ＝－1.∴S ＝N ＋12L －1，∴若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝71＋12×18－1＝79.答案 (1)3,1,6 (2)79 三、解答题4．(xx·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sinα)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 学生用书第202页 [最新考纲]1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1．直接证明 (1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的结论)． ③思维过程：由因导果． (2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件(其中Q 表示要证明的结论)． ③思维过程：执果索因． 2．间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．辨 析 感 悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×) (2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(√)(4)证明不等式2＋7＜3＋6最合适的方法是分析法．(√) [感悟·提升]两点提醒 一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.考点一 综合法的应用【例1】 (xx·新课标全国Ⅱ卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 学生用书第203页规律方法 理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明． 【训练1】 (1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 证明 (1)∵a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋a ＋b ab＝1＋ba＋1＋a b ＋a ＋bab≥2＋2b a ·a b ＋a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2＋2＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．(2)∵a ，b ，c 全不相等，且都大于0. ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等， ∴b a ＋a b＞2，c a ＋a c＞2，c b ＋b c＞2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c＞6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c－1＞3，即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 考点二 分析法的应用【例2】 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.审题路线 从结论出发⇒观察不等式两边的符号⇒移项(把不等式两边都变为正项)⇒平方⇒移项整理⇒平方⇒移项整理可得显然成立的结论．证明 (1)要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a ＞0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．【训练2】 已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2) 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．考点三 反证法的应用【例3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.学生用书第204页规律方法 (2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．【训练3】 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设三个方程都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－4－4a ＋3＜0，a －12－4a 2＜0，2a 2－4×－2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0，∴－32＜a ＜－1.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立．1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． 4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．答题模板13——反证法在证明题中的应用【典例】 (14分)(xx·北京卷)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． [规范解答] (1)解 因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． (2分)所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1， 即t ＝± 3.所以|AC |＝2 3. (5分) (2)证明 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. (7分) 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. (9分)因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k.(11分)因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． (13分) 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．(14分)[反思感悟] (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去． 答题模板 用反证法证明数学命题的答题模板： 第一步：分清命题“p →q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间学生用书第205页 设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 证明 (1)假设l 1与l 2不相交， 则l 1与l 2平行或重合，有k 1＝k 2， 代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2， 即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1.从而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1，所以l 1与l 2的交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．对应学生用书P381基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(xx·安阳模拟)若a ＜b ＜0，则下列不等式中成立的是( )． A.1a ＜1b B ．a ＋1b ＞b ＋1aC ．b ＋1a ＞a ＋1b D.b a ＜b ＋1a ＋1解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，验证C 正确． 答案 C2．用反证法证明命题：“已知a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )． A ．a ，b 都不能被5整除 B ．a ，b 都能被5整除 C ．a ，b 中有一个不能被5整除 D ．a ，b 中有一个能被5整除解析 由反证法的定义得，反设即否定结论． 答案 A3．(xx·上海模拟)“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 当a ＝14时，x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x ＝12时取等号；反之，显然不成立． 答案 A4．(xx·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋cA ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0 解析 由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2⇐(a ＋c )2－ac ＜3a 2 ⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0 ⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0. 答案 C5．(xx·天津模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小为( )．A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．不确定 解析 q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2 abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .答案 B 二、填空题6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是________．解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立． 答案 37．已知a ，b ，m 均为正数，且a ＞b ，则b a 与b ＋ma ＋m的大小关系是________．解析 b a －b ＋m a ＋m ＝ab ＋bm －ab －am a a ＋m ＝m b －aa a ＋m，∵a ，b ，m ＞0，且a ＞b ，∴b －a ＜0，∴b a ＜b ＋ma ＋m.答案 b a ＜b ＋ma ＋m8．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞2；②a 2＋b 2＞2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件的是________(填上序号)． 答案 ① 三、解答题9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立．上式两边同时取常用对数， 得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ，∴lga ＋b 2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10．(xx·鹤岗模拟)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(xx·漳州一模)设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )．A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )．A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 解析 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .答案 A 二、填空题3．(xx·株洲模拟)已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9a b＋b a ≥10＋29＝16，当且仅当a ＝4，b ＝12时，等号成立，∴a ＋b 的最小值为16.∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16. 答案 (0,16]三、解答题4．(xx·江苏卷)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明 由题意得，S n ＝na ＋n n －12d .(1)由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d ·n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0， ①19A ＋5B ＋cd 1＝0， ②37A ＋7B ＋cd 1＝0， ③由①②③可得A ＝0，B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0. 又因为cd 1＝0，所以c ＝0.学生用书第205页 第3讲 数学归纳法及其应用[最新考纲]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知 识 梳 理1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 2．数学归纳法的框图表示辨 析 感 悟1．数学归纳法原理(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．(×) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(×) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(×) 2．数学归纳法的应用(4)(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于3.(√)(5)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝k ＋2时等式成立．(√)(6)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．(×) [感悟·提升]。
§12.4算法与程序框图考纲展示►1.了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．3．理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．考点1 顺序结构和条件结构1.算法的定义算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2．程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用________、流程线及文字说明来表示算法的图形．(2)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、________________、判断框．答案：(1)程序框(2)处理框(执行框)3．三种基本逻辑结构(2) (2)[典题1] (1)[2015·福建卷]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128 [答案] C[解析] 由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8. (2)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] 当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，由线性规划的图解法知，目标函数S ＝2x ＋y 的最大值为2；当x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时，S 的值为1.所以输出的S 的最大值为2.[题点发散1] 若将本例(1)中“x ≥2？”改为“x <2？”，则y 为何值？ 解：由程序框图可知，y ＝21＝2.[题点发散2] 在本例(1)中，能否输入一个数x ，使输出的y 值与x 值相等？ 解：当x ≥2时，2x＝x ，显然无解； 当x <2时，9－x ＝x ， 解得x ＝92>2，与x <2矛盾．综上可知，不存在这样的x 使输出的y 值与x 值相等．[题点发散3] 在本例(1)中，若将“输入x 的值为1”改为“输入x ∈[－1,3]”，求y 的取值范围．解：由程序框图可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，9－x ，x <2.又x ∈[－1,3]，所以当x ∈[－1,2)时，y ＝9－x ， 此时y ∈(7,10]．当x ∈[2,3]时，y ＝2x∈[4,8]．故y的取值范围为[4,10]．[点石成金] 1.顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．2．解决此类问题，只需分清运算步骤、赋值量及其范围，进行逐步运算即可．3．条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．4．对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支.定义一种运算“*”：a*b＝s，其运算原理是如图所示的程序框图，阅读程序框图，则式子A＝答案：1 560解析：A＝考点2 循环结构[考情聚焦] 循环结构是高考命题的一个热点问题，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要有以下几个命题角度：角度一由程序框图求输出结果[典题2] (1)[2016·四川卷] 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18 C．20 D．35[答案] B[解析] 执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.(2)[2015·新课标全国卷Ⅱ]下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )A．0 B．2 C．4 D．14[答案] B[解析] a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.[点石成金] 利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二要准确表示累计变量；第三要注意从哪一步开始循环．弄清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键．角度二完善程序框图[典题3](1)如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1[答案] C[解析] 对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60.(2)如图，给出的是计算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句是( )A．i>100？，n＝n＋1 B．i>100？，n＝n＋2 C．i>50？，n＝n＋2 D．i≤50？，n＝n＋2[答案] C[解析] 经第一次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧ S ＝12，n ＝4，i ＝2，经第二次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧ S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，经第三次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4.据观察S 中最后一项的分母与i 的关系是分母＝2(i －1)， 令2(i －1)＝100，解得i ＝51，即需要i ＝51时输出．故图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是i >50？，n ＝n ＋2. [点石成金] 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 角度三与统计的交汇问题[典题4] 某地区为了了解70～80岁老人的平均日睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查．如下表所示是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.[答案] 6.42[解析] 由程序框图知，S为5组数据中的组中值(G i)与对应频率(F i)之积的和，则S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＋G5F5＝4.5×0.12＋5.5×0.20＋6.5×0.40＋7.5×0.20＋8.5×0.08＝6.42.[点石成金] 解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构的程序框图的真正含义．对于本题，要认清程序框图运算的意义，即求5组数据中的组中值(G i)与对应频率(F i)之积的和．考点3 基本算法语句基本算法语句(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式及框图①UNTIL语句②WHILE语句答案：(1)变量表达式表达式(2)①语句体②语句体1[典题5] (1)按照如图所示程序运行，则输出K的值是________．[答案] 3[解析] (1)第一次循环，X＝7，K＝1；第二次循环，X＝15，K＝2；第三次循环，X＝31，K＝3.终止循环，输出K的值是3.(2)执行下边的程序，输出的结果是________．S ＝1i ＝3WHILE S <＝200 S ＝S *ii ＝i ＋2WEND PRINT i END[答案] 11[解析] 根据循环结构，可得第一次：S ＝1×3＝3，i ＝3＋2＝5，由3<200，则循环； 第二次：S ＝3×5＝15，i ＝5＋2＝7，由15<200，则循环； 第三次：S ＝15×7＝105，i ＝7＋2＝9，由105<200，则循环；第四次：S ＝105×9＝945，i ＝9＋2＝11，由945＞200，则循环结束，故此时i ＝11. [点石成金] 解决算法问题的三个步骤已知程序如下：该程序运行后，y的值是( )A．3 B．6C．9 D．27答案：B解析：∵x＝3，∴y＝2×3＝6.[方法技巧] 在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．[易错防范] 1.循环结构三注意(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构．(2)注意选择准确的表示累计的变量．(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．2．赋值语句中的易错点(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，如3＝m是错误的．(2)赋值号左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y，因为后者表示用Y 的值替代变量x 的原先的值．(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x 答案：C解析：运行程序，第1次循环得x ＝0，y ＝1，n ＝2； 第2次循环得x ＝12，y ＝2，n ＝3；第3次循环得x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2>36，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x .故选C.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A．7 B．12C．17 D．34答案：C解析：k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输出s＝17.故选C.3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4 C．5 D．6答案：B解析：第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.结束循环，输出n的值为4，故选B.4．[2016·北京卷]执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：输入a ＝1，则b ＝1，第一次循环，a ＝－11＋1＝－12，k ＝1；第二次循环，a ＝－11－12＝－2，k ＝2；第三次循环，a ＝－11－2＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k ＝2.故选B.5．[2015·新课标全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C解析：运行第一次：S＝1－12＝12＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.输出n＝7.故选C.课外拓展阅读循环结构的条件判断不准确致误分析[典例1]如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S ＝720，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是( )A ．k ≥6?B ．k ≥7?C ．k ≥8?D ．k ≥9?[易错分析] 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合分析．容易出错的地方是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k ＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S 的输出结果为720.[解析] 第一次运行结果为S ＝10，k ＝9；第二次运行结果为S ＝10×9＝90，k ＝8；第三次运行结果为S ＝720，k ＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k ≥8？.故选C.[温馨提醒] 考生应注意本例中“否”对应着输出框，所以只有不满足判断框内的条件时，循环才能结束．另外，计数变量k 在本例中不仅体现了循环的次数，而且还参与了累乘变量的变化过程，如果计数变量k 的变化与累乘变量的变化的先后顺序改变，那么k 的初始值和判断框中的条件也要发生变化．[答案] C[典例2] [2016·浙江金华十校联考]如图是输出的值为1＋13＋15＋…＋199的一个程序框图，框内应填入的条件是( )A ．i ≤99? B．i <99? C ．i ≥99? D．i >99?[易错分析] (1)题意读错，误认为1＋12＋13＋14＋…＋199.(2)区分不开A 与B 的结果，错选为B.(3)弄不清程序的功能，不能应用其他知识点求解．(4)不能准确把握判断框中的条件，对条件结构中的流向和循环结构中循环次数的确定不准确．[解析] S ＝0，i ＝1；S ＝1，i ＝3；S ＝1＋13，i ＝5；…；S ＝1＋13＋…＋199，i ＝101，输出结果，故填入i ≤99？.[答案] A[温馨提醒] (1)此程序框图的功能是求数列的和：1＋13＋15＋17＋…＋199；i 有两个作用：计数变量和被加的数，可以试运行几次归纳出答案．(2)在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量是用什么字母表示的，再把这两个变量的变化规律弄明白，就能理解这个程序框图的功能了，问题也就清楚了．。
第十二章算法初步、推理与证明、复数12.1 算法与程序框图考纲要求1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的____和____的步骤．2．程序框图又称________，是一种用______、________及文字说明来表示算法的图形．流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“____”，一个或多个“____”．它可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤；流程图一般要按照从____到____，从____到____的顺序来画，并且自顶向下逐步细化；流程图还可以用于描述工业生产的过程，这样的流程图通常称为__________，在工序流程图内，每一个基本单元代表一道工序，流程线则表示两相邻工序之间的衔接关系．3．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线或方向箭头构成，连线通常按照从上到下，从左到右的方向表示要素的____关系或____关系；流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构．结构图一般表现为“树”形结构，常见的结构图有__________，__________.4．顺序结构是由______________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为：5．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为：6．循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为________．循环结构又分为______________和________________．其结构形式为：当型循环结构直到型循环结构1．下列关于算法的说法正确的个数是( )．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．42．如果执行右边的程序框图，输入x ＝－12，那么其输出的结果是( )．A ．9B ．3C ． 3D ．193．(2012广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )．A ．105B ．16C ．15D ．14．给出如下程序框图，其功能是( )．A ．求a －b 的值B ．求b －a 的值C ．求|a －b |的值D ．以上都不对5．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为__________．一、算法的基本结构【例1】执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )．A．120 B．720 C．1 440 D．5 040方法提炼1．解决程序框图问题要注意几个常用变量．(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1；(2)累加变量：用来计算数据之和，如s＝s＋i；(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．请做演练巩固提升1二、循环结构设计【例2－1】执行下图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是__________．【例2－2】如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )．A.1321 B.2113 C.813 D.138 方法提炼 1．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题．用循环结构表达算法，在画出算法的程序框图之前就应该分析清楚循环结构的三要素：①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件．2．运行程序框图和完善程序框图是高考的热点．解答这一类问题，首先，要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要运行程序框图，理解程序框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答，对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化程序框图问题的实际背景．请做演练巩固提升2,3 三、流程图和结构图【例3－1】某公司局域网设置如下：由服务器连接经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员，与外部连接也是通过服务器，试画出该公司局域网设置结构图．【例3－2】一个新技术公司研制了一个名片管理系统，其功能结构图如图所示．请根据结构图，说明该系统所具有的功能．方法提炼画工序流程图时要仔细考虑各道工序的先后顺序及相互关系、制约程度，最后要考虑哪些工序可以平行进行，哪些工序可以交叉进行．结构图与画流程图一样，首先确定组成结构图的基本要素，然后通过连线来标明各要素之间的关系．请做演练巩固提升6加强框图中对逻辑顺序的理解【典例】 (2012天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )．A ．8B ．18C ．26D ．80解析：n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2； n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3； n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4； 4≥4，输出S ＝26. 答案：C 答题指导：1.本题条件较多，读不懂程序框图的逻辑顺序，盲目作答而导致错误．因此，在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量．2．读程序框图时，要注意循环结构的终止条件．1．对于如图所示的程序框图，输入a ＝ln 0.8，b ＝12e ，c ＝2－e，经过程序运算后，输出a ，b 的值分别是( )．A．2－e，ln 0.8 B．ln 0.8,2－eC．12e，2－e D．12e，ln 0.82．(2012合肥模拟)执行下面的程序框图，则输出的n＝( )．A．6 B．5 C．8 D．73．(2012福建高考)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于( )．A ．－3B ．－10C ．0D ．－2 4．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．5．(2012山东潍坊模拟)运行如图所示的程序框图，当输入m ＝－4时，输出的结果为n .若变量x ， y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥n .则目标函数：z ＝2x ＋y 的最大值为__________．6．某工程的工序流程图如图所示，则该工程总工时数为__________天．参考答案基础梳理自测知识梳理1．明确 有限2．流程图 程序框 流程线 起点 终点 左 右 上 下 工序流程图 3．从属 逻辑 知识结构图 组织结构图 4．若干个依次执行的步骤6．循环体 当型循环结构 直到型循环结构 基础自测1．C 解析：①是不正确的，②③④正确．2．C 解析：依题意得，执行完第1次循环后，x ＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x ＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x ＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x ＝0＋3＝3＞0.结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.3．C 解析：i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15. 4．C 解析：求|a －b |的值．5．2 解析：∵12＜1，∴当x ＝12时，y ＝124＝2.考点探究突破【例1】 B 解析：当输入的N 是6时，由于k ＝1，p ＝1， 因此p ＝p ·k ＝1，此时k ＝1＜6；第一次循环，k ＝1＋1＝2，p ＝1×2＝2，k ＝2＜6； 第二次循环，k ＝2＋1＝3，p ＝2×3＝6，k ＝3＜6； 第三次循环，k ＝3＋1＝4，p ＝6×4＝24，k ＝4＜6； 第四次循环，k ＝4＋1＝5，p ＝24×5＝120，k ＝5＜6；第五次循环，k ＝5＋1＝6，p ＝120×6＝720，k ＝6＜6不成立． 因此输出p ＝720.【例2－1】 68 解析：由程序框图可知，y 的变化情况为y ＝70×2＋21×3＋15×5＝278，进入循环，显然278＞105，因此y ＝278－105＝173；此时173＞105，故y ＝173－105＝68. 经判断68＞105不成立，输出此时y 的值68.【例2－2】 D 解析：由程序框图可得，第一次循环：x ＝1，y ＝2；第二次循环：x ＝2，y ＝3；第三次循环：x ＝3，y ＝5；第四次循环：x ＝5，y ＝8；第五次循环：x ＝8，y ＝13；z ＝21＞20，此时退出循环，输出y x ＝138.【例3－1】 解：结构图如下：【例3－2】 解：系统具有以下功能：(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息． (2)用户登录．(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改和查询． (4)出错信息处理． 演练巩固提升1．C 解析：该程序框图的设计目的是将a ，b ，c 按照由大到小的顺序排列，即输出的a ，b ，c 满足a ≥b ≥c ，而ln 0.8＜0，12e ＞1，0＜2－e＜1，即12e ＞2－e＞ln 0.8，故输出的a ＝12e ，b ＝2－e .2．D 解析：此程序框图的功能是计算a 1＝12，q ＝12的等比数列的前n －1项和S ＞3132时，n 的最小值．∵S ＝a 1(1－q n －1)1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＞3132，∴n ＞6，∴n ＝7.3．A 解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3.4．15 解析：由题意可得T 为求1＋2＋3＋…＋k 的值． 由于1＋2＋3＋…＋14＝105,1＋2＋3＋…＋15＝120， 所以输出k 的值为15.5．5 解析：由程序框图可知，当输入m ＝－4时，输出的结果为n ＝1，∴变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1.此不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知目标函数z ＝2x ＋y 在点A (2,1)处取得最大值2×2＋1＝5.6．17。
第2讲 算法与程序框图[基础题组练]1．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为( )A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－3或－9解析：选B.当x ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－8＝0，x ＝－3；当x >0时，2－log 3x ＝0，x ＝9.故x ＝－3或x ＝9，故选B.2．(2020·某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为1，则输出的k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.开始，k ＝0，a ＝1，所以b ＝1；第一次循环，a ＝－11＋1＝－12，此时a ≠b ；第二次循环，k ＝2，a ＝－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，此时a ≠b ；第三次循环，k ＝4，a ＝－11＋（－2）＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k 的值为4，故选D.3．(2020·某某某某重点中学联考)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．5B ．26C ．667D ．677解析：选D.根据程序框图，模拟程序的运行，可得a ＝1，满足条件a <100，执行循环体，a ＝2，满足条件a <100，执行循环体， a ＝5，满足条件a <100，执行循环体， a ＝26，满足条件a <100，执行循环体，a ＝677，不满足条件a <100，退出循环体，输出a 的值为677，故选D.4．(2020·某某市调研测试)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A ．5B ．12C ．27D ．58解析：选C.k ＝1，s ＝1，第一次循环，s ＝1＋1＝2，k ＝2×1＋1＝3； 第二次循环，s ＝2＋3＝5，k ＝2×3＋1＝7； 第三次循环，s ＝5＋7＝12，k ＝2×7＋1＝15；第四次循环，s＝12＋15＝27，k＝2×15＋1＝31>30，终止循环．输出s＝27，故选C.5．(2020·某某某某二模)如图所示的程序框图，若输出S＝30，则输入的整数m的值为( )A．7 B．8C．9 D．10解析：选C.执行程序框图，可得S＝0，k＝m<m＋2，执行循环体；S＝m，k＝m＋1<m＋2，执行循环体；S＝2m＋1，k＝m＋2，执行循环体；S＝3m＋3，k＝m＋3>m＋2，退出循环，输出S＝3m＋3，由3m＋3＝30得m＝9.故选C.6.(2020·某某某某三中一模)数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下面是源于其思想的一个程序框图．若输入a，b的值分别为8，2，则输出的n＝( )A．2 B．3C．5 D．4解析：选C.输入a，b分别为8，2，n＝1，a＝12，b＝4，不满足退出循环的条件；n＝2，a＝18，b＝8，不满足退出循环的条件；n＝3，a＝27，b＝16，不满足退出循环的条件；n ＝4，a ＝812，b ＝32，不满足退出循环的条件； n ＝5，a ＝2434，b ＝64，满足退出循环的条件；故输出n ＝5，故选C. 7.(2020·某某质量调研(一))执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝－1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－3xC ．y ＝－4xD ．y ＝－8x解析：选C.初始值x ＝0，y ＝－1，n ＝1，执行循环体，x ＝0，y ＝－1，x 2＋y 2<36，n ＝2，x ＝12，y ＝－2，x 2＋y 2<36，n ＝3，x ＝32，y ＝－6，x 2＋y 2>36，退出循环，输出x ＝32，y ＝－6，此时x ，y 满足y ＝－4x ，故选C.8．(2020·原创冲刺卷三)执行如图所示的程序框图，若输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤90?解析：选B.因为sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝44(sin 21°＋sin 289°)＋sin 245°＝44(sin 21°＋cos 21°)＋sin 245°＝44.5，所以判断框内应填“x ≤89？”．9．(2020·某某市质量监测(一))我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升)．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝15(单位：升)，则输入的k 的值为( )A ．45B ．60C ．75D ．100解析：选B.依题意知，n ＝1，S ＝k ，满足条件n <4，执行循环体，n ＝2，S ＝k －k 2＝k2；满足条件n <4，执行循环体，n ＝3，S ＝k 2－k23＝k 3；满足条件n <4，执行循环体，n ＝4，S ＝k3－k34＝k 4，此时不满足条件n <4，退出循环，输出的S ＝k 4.由题意可得k4＝15，解得k ＝60，故选B.10．(2020·某某省九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1，2，4，输出的M ＝158，那么判断框中应填入的条件为( )A ．n <k?B ．n ≥k?C ．n <k ＋1?D ．n ≥k ＋1?解析：选A.由于输入的a ＝1，b ＝2，k ＝4，所以当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，此时a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，此时a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，与输出的M值一致，故循环需终止．此时n ＝4，而输入的k ＝4，故结合选项知，判断框中应填入“n <k ？”．故选A.11．(2020·某某省五校协作体试题)阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的结果为．解析：开始，x ＝1，y ＝1，第一次循环，z ＝x ＋y ＝2，x ＝1，y ＝2；第二次循环，z ＝x ＋y ＝3，x ＝2，y ＝3；第三次循环，z ＝x ＋y ＝5，x ＝3，y ＝5；第四次循环，z ＝x ＋y ＝8，x ＝5，y ＝8；第五次循环，z ＝x ＋y ＝13，x ＝8，y ＝13；第六次循环，z ＝x ＋y ＝21，不满足条件z <20，退出循环．输出y x ＝138，故输出的结果为138. 答案：13812．阅读下面的程序，当分别输入实数x ＝3和x ＝0时，其输出的结果是． INPUT x IF x >1 THENy ＝x －2ELSEy ＝2*xEND IF PRINT y END解析：由程序可知，它解决的是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，2x ，x ≤1的函数值问题，显然，当x ＝3时，y ＝3－2；当x ＝0时，y ＝0.故输出的结果是3－2和0.答案：3－2和0[综合题组练]1．(2020·某某市质量检测(二))20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是偶数，则下一步变成n2.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32解析：选C.若n ＝5，执行程序框图，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.若n ＝32，执行程序框图，n ＝16，i ＝2；n ＝8，i ＝3；n ＝4，i ＝4；n ＝2，i ＝5；n ＝1，i ＝6，结束循环，输出的i ＝6.当n ＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n ＝5或32，故选C.2.(2020·某某某某一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思是：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的语句是( )A ．i <7，s ＝s －1i，i ＝2iB ．i ≤7，s ＝s －1i，i ＝2iC ．i <7，s ＝s2，i ＝i ＋1D ．i ≤7，s ＝s2，i ＝i ＋1解析：选D.由题意可知第一天后剩下12，第二天后剩下122，…，由此得出第7天后剩下127，则①应为i ≤7，②应为s ＝s2，③应为i ＝i ＋1，故选D.3．关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是．解析：由程序框图的第一个判断条件为f (x )>0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1，1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0，1]．答案：[0，1]4．执行如图所示的程序框图，若输入向量a＝c＝(－2，2)，b＝(1，0)，则输出S的值是．解析：程序对应的运算：a＝c＝(－2，2)，则a·c＝8，S＝0＋8＝8，i＝1，c＝c＋b＝(－1，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(－1，2)，则a·c＝6，S＝8＋6＝14，i＝2，c＝c＋b ＝(0，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(0，2)，则a·c＝4，S＝14＋4＝18，i＝3，c＝c＋b＝(1，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(1，2)，则a·c＝2，S＝18＋2＝20，i＝4，c＝c＋b＝(2，2)；a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(2，2)，则a·c＝0，此时跳出循环体．故输出S的值为20.答案：20。
