2019-2020学年陕西省咸阳实验中学高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 如果A ={x|x >−1}，那么( )A. 0⊊AB. {0}∈AC. ⌀∈AD. {0}⊆A2. 集合{y ∈N|y =−x 2+6,x ∈N}的真子集的个数是( )A. 9B. 8C. 7D. 63. 下列在法则f 的作用下，从集合A 到集合B 的对应中是映射的是( )A.B.C.D.4. 下列四个函数中，与y =x 表示同一函数的是( )A. y =(√x)2B. y = √x 33C. y = √x 2D. y = x2x5. 已知函数f(x)={x 2,x >0−x 2,x <0则f(x)是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)是增加的，则m 的值为( )A. −1B. 2C. −1或2D. 37. 若函数f(x)=√2−x +√1x+1，则函数g(x)=f(2x)x−1的定义域是( )A. [−12,1]B. [−12,2]C. (−12,2] D. (−12,1)8. 给定下列函数：①f(x)=1x ②f(x)=−|x|③f(x)=−2x −1④f(x)=(x −1)2，满足“对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)”的条件是( )A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④9. 已知g(x)=1−2x ，f[g(x)]=1−x 2x 2(x ≠0)，则f(12)等于( )A. 15B. 1C. 3D. 3010. A ={x|x 2+x −6=0}，B ={x|mx +1=0}且A ∪B =A ，则m 的取值范围( )A. {13,−12}B. {0,−13,−12}C. {0,13,−12}D. {13,12}11. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，它在(−∞,0]上单调递减，那么一定有( )A. f(34)<f(a 2−a +1) B. f(34)≤f(a 2−a +1) C. f(34)>f(a 2−a +1)D. f(34)≥f(a 2−a +1)12. 定义运算a ∗b ={a(a ≤b)b(a >b)，例如1∗2=1，则1∗a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (−∞,1]C. [0,1]D. [1,+∞)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知映射f ：N →N +,x →x 2+1，则17的原像是______．14. 有15人进了家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种均没买的有 人．15. 设函数f(x)=x|x|+bx +c ，给出下列四个命题：①当c =0时，f(−x)=−f(x)恒成立②当b =0，c >0时，方程f(x)=0只有一个实数根 ③函数y =f(x)的图象关于点(0,c)对称 ④方程f(x)=0至多有两个实数根． 其中正确例题的序号是______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为 (1) ；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值是 (2) ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集为R，A={x|x<9}，B={x|x>3}．(1)求A∩(∁R B)和(∁R A)∩B；(2)若集合M={x|m<x<1+2m}，且M⊆(A∩B)，求实数m的取值范围．18.已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=|x−1|．(Ⅰ)当x∈R时，求f(x)？并画出函数f(x)的图像；(Ⅱ)写出函数f(x)的值域，指出函数f(x)的单调增区间．19.已知函数f(x)定义在(−∞,+∞)上满足任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，f(2)=1．(Ⅰ)求f(0)，f(1)的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性，并加以证明．20.A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(Ⅰ)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；(Ⅱ)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．21.已知函数f(x)=x+ax(常数a>0)．(Ⅰ)证明：函数f(x)在区间(0,√a]上是递减的；在区间[√a,+∞)上是递增的；(Ⅱ)若a=9，对任意的x∈[1,5]时，x的不等式f(x)≤2m+1都成立，求实数m 的范围．22.已知二次函数f(x)满足任意的x∈R，有f(12+x)=f(12−x)成立，且f(x)最小值为34，f(x)与y轴交点坐标为(0,1)．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)是否存在实数m，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[32m,32n]，如果存在，求出m，n；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x>−1}，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：{0}⊆A．故选：D．利用元素与集合的关系，集合与集合关系判断选项即可．本题考查元素与集合的关系，集合基本知识的应用，是基础题．2.【答案】C【解析】解：x=0时，y=6；x=1时，y=5；x=2时，y=2；x=3时，y=−3；∵函数y=−x2+6，x∈N，在[0,+∞)上是减函数；∴x≥3时，y<0；∴{y∈N|y=−x2+6,x∈N}={2,5，6}；∴该集合的所有真子集为：⌀，{2}，{5}，{6}，{2,5}，{2,6}，{5,6}；∴该集合的真子集个数为7．故选：C．根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x=0，y=6；x=1，y=5；x=2，y=2；x=3，y=−3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y=−x2+ 6,x∈N}={2,5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．考查描述法表示集合，自然数集N，以及真子集的概念．3.【答案】D【解析】解：根据映射的概念，两个非空集合A，B，对于集合A中的每一个元素，在集合B都有唯一的元素与之对应，选项A和选项C中出现一对多，选项B中，元素2没有对应元素，故只有选项D中的对应符合映射的定义．故选：D．利用映射的定义进行判断即可．本题考查了映射概念，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的基本概念，属于基础题．两函数相同，则定义域和对应关系相同，逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，函数y=(√x)2的定义域为[0,+∞)，y=x的定义域为R，两函数不同，故排除选项A；3=x，定义域为R，与y=x是同一个函数，故选项B满足条件；对于B，函数y=√x3对于C，函数y=√x2=|x|，与y=x对应关系不同，两函数不同，故排除选项C；的定义域为{x|x≠0}，y=x的定义域为R，两函数不同，故排除选对于D，函数y=x2x项D；故选：B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查推理能力，属于基础题．根据函数奇偶性的定义，计算f(−x)是否等于−f(x)即可得到结论．【解答】解：当x>0时，−x<0，f(−x)=−(−x)2=−x2=−f(x)；当x<0时，−x>0，f(−x)=(−x)2=x2=−f(x)．综上可知，f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数．故选A．6.【答案】B【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质，列出方程求出m 的值，再验证是否满足题意即可． 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了解方程与不等式的应用问题，是基础题目． 【解答】解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3是幂函数，∴m 2−m −1=1， 即m 2−m −2=0， 解得m =2或m =−1；当m =2时，m 2+m −3=3>0，f(x)在x ∈(0,+∞)上是增函数，满足题意； 当m =−1时，m 2+m −3=−3<0，f(x)在(0,+∞)上是减函数，不满足题意； 所以，m 的值为2． 故选：B ．7.【答案】D【解析】解：由{2−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤2．∴函数f(x)的定义域为(−1,2]， 由−1<2x ≤2，解得−12<x ≤1，则{−12<x ≤1x −1≠0，得−12<x <1． ∴函数g(x)=f(2x)x−1的定义域是(−12,1)． 故选：D ．求出函数f(x)的定义域，进一步得到f(2x)的定义域，再结合函数g(x)的分母不为0得答案．本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．8.【答案】A【解析】解：因为对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，故满足条件的函数是一个减函数．对于①，函数是反比例函数，其在(0,+∞)是一个减函数，满足题意； 对于②，f(x)=−|x|，其在(0,+∞)是一个减函数，满足题意； 对于③，函数是一次函数，其在(0,+∞)是一个减函数，满足题意；对于④，函数f(x)=(x −1)2在(0,1)是减函数，在(1,+∞)上是增函数，故不满足题意； 故选A ．对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，说明对应的函数在(0,+∞)是一个减函数，故问题转化为判断四个函数单调性的问题，根据函数的解析式进行判断即可选出结论．本题考点是函数的单调性的判断与证明，考查根据已知的性质选择具有所给性质的函数的能力，在一些不要求证明函数单调性的函数单调性的判断中，常根据函数的解析式由那几个基本函数组成，综合利用这些基本函数的单调性来判断所研究函数的单调性．9.【答案】A【解析】解：令g(x)=12，得1−2x =12，解得x =14． ∴f(12)=f[g(14)]=1−(14)2(14)2=1516116=15．故选：A ．可令g(x)=12，得出x 的值，再代入可得答案． 本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．10.【答案】C【解析】 【分析】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中本题易忽略m =0的情况，而错选A ，属于基础题．根据已知中A ={x|x 2+x −6=0}，B ={x|mx +1=0}且A ∪B =A ，我们分m =0，m ≠0两种情况进行讨论，分别求出满足条件的m 的值，即可得到答案． 【解答】解：∵A ={x|x 2+x −6=0}={−3,2}， A ∪B =A ，则B ⊆A ，若m =0，则B =⌀，满足要求； 若m ≠0，则B ={x|x =−1m }， 则m =13，或m =−12，综上m 的取值范围组成的集合为{0,13,−12}， 故选：C ．11.【答案】B【解析】解：f(x)是定义在R 上的偶函数，它在(−∞,0]上单调递减 故f(x)在[0,+∞)上递增， ∵a 2−a +1=(a −12)2+34≥34， ∴f(34)≤f(a 2−a +1)， 故选：B ．由已知得f(x)在[0,+∞)上递增，结合a 2−a +1=(a −12)2+34≥34得到答案． 本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性，利用配方法得到a 2−a +1≥34解答的关键．12.【答案】B【解析】解：由定义得1∗a ={1,1≤aa,1>a，当a ≥1时，1∗a =1，当a <1时，1∗a =a <1， 所以1∗a 的取值范围是(−∞,1]． 故选：B ．根据定义得到1∗a 的表达式为分段函数，由分段函数的性质即可求得范围． 本题考查分段函数值域问题，把各段函数范围求出再取并集即可．13.【答案】4【解析】解：根据映射的概念可得，{x 2+1=17x ∈N，解得x =4， 所以17的原像是4． 故答案为：4．根据映射的概念，列出{x 2+1=17x ∈N，求解即可．本题考查了映射概念的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】 【分析】本题考查集合的实际应用．分别求出只买电脑和电视机的人数，然后进行计算即可． 【解答】解：有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种都买的有3人， 则只买电视机的有9−3=6人，只买电脑的有7−3=4人， 则两种都没有买的有15−6−4−3=2人， 故答案为：2．15.【答案】①②③【解析】解：①当c =0时，函数f(x)=x|x|+bx 为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，故①正确．②b =0，c >0时，得f(x)=x|x|+c 在R 上为单调增函数，且值域为R ，故方程f(x)=0，只有一个实数根，故②正确．③因为f(−x)=−x|x|−bx +c ，所以f(−x)+f(x)=2c ，可得函数f(x)的图象关于点(0,c)对称，故③正确．④当c =0，b =−2，f(x)=x|x|−2x =0的根有x =0，x =2，x =−2故④错误． 故答案为：①②③．①利用函数奇偶性的定义可判断．②当b =0时，得f(x)=x|x|+c 在R 上为单调增函数，方程f(x)=0只有一个实根．③利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f(x)图象关于点(0,c)对称．④举出反例如c=0，b=−2，可以判断．本题考查了函数奇偶性、对称性、单调性以及二次函数的图象和性质．对函数奇偶性和单调性的充分理解，并用于二次函数当中，是解决本题的关键．16.【答案】12【解析】解：f[g(1)]=f(3)=1当x=1时f[g(1)]=1，g[f(1)]=g(1)=3不满足f[g(x)]>g[f(x)]当x=2时，f[g(2)]=f(2)=3，g[f(2)]=g(3)=1满足f[g(x)]>g[f(x)]当x=3时f[g(3)]=f(1)=1，g[f(3)]=g(1)=3不满足f[g(x)]>g[f(x)]故满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2故答案为1；2结合表格，先求出内涵式的函数值，再求出外函数的函数值；分别将x=1，2，3代入f[g(x)]，g[f(x)]，判断出满足f[g(x)]>g[f(x)]的x．本题考查函数的表示法：表格法；结合表格求函数值：先求内函数的值，再求外函数的值．17.【答案】解：(1)∵全集为R，A={x|x<9}，B={x|x>3}．∴∁R B=x|x≤3}，∁R A={x|x≥9}，∴A∩(∁R B)={x|x≤3}，(∁R A)∩B={x|x≥9}．(2)集合M={x|m<x<1+2m}，且M⊆(A∩B)，A∩B={x|3<x<9}，∴当M=⌀时，m≥1+2m，解得m≤−1，当M≠⌀时，{m<1+2mm≥31+2m≤9，解得3≤m≤4．∴实数m的取值范围是(−∞,−1]∪[3,4]．【解析】(1)先求出∁R B =x|x ≤3}，∁R A ={x|x ≥9}，由此能求出A ∩(∁R B)，(∁R A)∩B ． (2)当M =⌀时，m ≥1+2m ，当M ≠⌀时，{m <1+2mm ≥31+2m ≤9，由此能求出实数m 的取值范围．本题考查补集、交集、实数的取值范围的求法，考查补集、交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.【答案】解：(1)f(0)=0；当x <0时，−x >0，所以f(−x)=−f(x)=−|−x −1|=−|x +1|．所以f(x)={|x −1|,x >00,x =0−|x +1|,x <0.f(x)的图象如图． (2)结合图形，f(x)的值域为R ；单调增区间为(−∞,−1]，[1,+∞)．【解析】(1)利用奇函数的定义求出f(0)及当x <0时，f(x)的解析式即可；(2)结合图象求解．本题考查利用奇偶性求解析式，函数图象的应用，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)取x =y =0，得f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0，∵f(2)=f(1)+f(1)=1， ∴f(1)=12．(Ⅱ)f(x)是奇函数，证明如下：取y =−x ，得f(0)=f[x +(−x)]=f(x)+f(−x)=0， 可得f(−x)=−f(x) ∴函数f(x)是奇函数．【解析】(Ⅰ)令x =y =0代入函数满足的等式，即可求得f(0)，由f(2)=f(1)+f(1)=1即可求得f(1)；(Ⅱ)以−x 取代y ，代入函数满足的等式，可得f(x)+f(−x)=0，由此可得f(x)是奇函数．本题主要考查函数奇偶性的判断，抽象函数的应用，考查运算求解能力，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)A城供电费用为y1=0.25×20x2，B城供电费用y2=0.25×10(100−x)2；所以总费用为：y=y1+y2=7.5x2−500x+25000(其中10≤x≤90)；∵核电站距A城xkm，则距B城(100−x)km，∴x≥10，且100−x≥10，解得10≤x≤90；所以x的取值范围是{x|10≤x≤90}．(Ⅱ)因为函数y=7.5x2−500x+25000(其中10≤x≤90)，当x=−−5002×7.5=1003时，此函数取得最小值；所以，核电站建在距A城1003km处，能使A、B两城月供电总费用最小．【解析】(Ⅰ)A城供电费用y1=0.25×20x2，B城供电费用y2=0.25×10(100−x)2，总费用y=y1+y2，整理即可；因为核电站距A城xkm，则距B城(100−x)km，由x≥10，且100−x≥10，得x的范围；(Ⅱ)因为函数y=7.5x2−500x+25000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=−b2a 时，函数y取得最小值．本题考查了二次函数模型的应用，二次函数求最值时，通常考虑是否取在对称轴x=−b2a 处，属于中档题．21.【答案】解：(I)设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=x2−x1x2x1(x1x2−a)；当0<x1<x2<√a时，x1x2−a<0，所以f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)；当√a<x1<x2时，x1x2−a>0，所以f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)；所以，函数f(x)在区间(0,√a]上是递减的；在区间[√a,+∞)上是递增的；(II)当a=9时，由(1)知，f(x)在[1,3)上单调递减，(3,5]上单调递增，又f(1)=10，f(5)=345<10，所以f(x)的最大值为10，故10≤2m+1，解得m≥92．【解析】(I)利用单调性的定义证明即可；(II)求出f(x)的最大值，再列不等式[f(x)]max≤2m+1求解．本题考查函数的单调性及不等式的恒成立问题，属于基础题．22.【答案】解：(Ⅰ)由f(12+x)=f(12−x)，得x =12是二次函数f(x)的对称轴，由题意，可设f(x)=a(x −12)2+34，又f(x)与y 轴交点坐标为(0,1)，得f(0)=14a +34=1，解得a =1，所以f(x)=(x −12)2+34，即f(x)=x 2−x +1； (Ⅱ)假设存在m ，n(m <n)满足题意，由(Ⅰ)可知：f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，若n ≤12，显然不符合题意；若m <12≤n ，则32m =34，即m =12，不符合题意， 若m ≥12，则{f(m)=32m f(n)=32n，即m ，n 是方程f(x)=32x 的两个实数根， 由f(x)=32x ，得x 2−x +1=32x ，即x 2−52x +1=0，解得x =12或x =2， 所以m =12，n =2．【解析】(Ⅰ)由f(12+x)=f(12−x)可得对称轴，根据题意可设出二次函数的顶点式，再代入已知点的坐标即可求解；(Ⅱ)根据对称轴与区间[m,n]的关系分类说明函数的值域，在m ≥12时，得{f(m)=32m f(n)=32n ，即m ，n 是方程f(x)=32x 的两个实数根，从而即可求出m ，n 的值．本题考查二次函数的解析式，考查二次函数的值域问题，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．。
