中国的数学文化史

中国的数学文化史

摘要：数学是中国古代科学中一门重要的学科,中国历史有五千年,中国数学史也同样悠久,成就辉煌。根据它本身发展的特点和时间,可以分为五个时期:中国古代数学的萌芽,中国古代数学体系的形成,中国古代数学的发展,中国古代数学的繁荣,中西方数学的融合。

关键词：数学文化史,中国古代数学 正文 谈及数学，在我们脑海里浮现的一般都只是数字，一些或繁或简的公式，数学的确很大部分是计算，但这些都是表面。数学远远不止这些。 数学作为中国文明不可或缺的一部分更是一种难得的文化现象。古往今来，有多少人因为对数学的深入研究获得成就而名垂千古。中国作为四大文明古国之一，数学领域也一直处于世界领先水平，丰富并推动了世界数学文化的发展。

中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，考古发现，仰韶文化时期出土的陶器，上面就已刻有表示数字的符号。到原始公社末期，就已开始用文字符号取代结绳记事了。 春秋战国之际，筹算得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（是我国古书中最早体现微积分思想的一段）等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”中的数学思想： 1—1/2—1/22—1/23—……—1/2n---1=1/2n---1，这也就是 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”的数学表达。把木棍看成整体1，第一天截去1/2，第二天截去1/22，第三天截去1/23……第n天截去1/2n，当截了n天后，还剩下1/2n。当n趋向于无穷大时，1/2n趋向于0，也即limit1/2n=0，趋向于0但永远不是0，故万世不竭，最后可能分到物质微粒，已不再是木棍了。 现在看来，这句话是不对的。物质不是无限可分的！借助于现在高能物理上的手段（加速器）我们可知道，物质只能分到夸克层面了。

中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术成为一个专门的学科以及《九章算术》为代表的数学著作的出现。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算，今有术(西方称三率法)，开平方与开立方（包括二次方程数值解法），盈不足术（西方称双设法），各种面积和体积公式，线性方程组解法，正负数运算的加减法则，勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等,水平都是很高的,其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

中国古代数学体系的发展 魏、晋时期出现的玄学有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

南北朝数学的发展东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。在北方，由于当时社会的需要，在《九章算术》的基础上，数学仍在继续发展。

唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求简化计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

中国古代数学的繁荣 960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,数学也迎来了大繁荣。

比较有代表性的是隙积术。高阶等差级数求和高阶等差级数求和起源于沈括的"隙积术"。隙积术，也称垛积术，今高阶等差级数求和问题。由北宋沈括开创，南宋杨辉，元朝朱世杰多有贡献。 11世纪沈括创造隙积术，开其先河。沈括研究了、罐等堆垛起来的刍童形垛，因为积之有隙，称为隙积，不能用《九章算术》的刍童公式求其数目。

设隙积的上底宽 a，长 b，下底宽 c，长 d，共n 层，沈括的隙积术是

，比刍童体积多。这是二阶等差级数求和问题。13世纪杨辉以各种子垛类比《九章算术》的多面体，实际上，在沈括公式中令，便是杨辉的四隅垛公式；

令，便是杨辉的方垛公式；

令，除以2，便是三角垛公式。 朱世杰解决了更大量的更高阶的等差级数求和问题。他提出了一系列三角垛公式：茭草

垛，三角垛（或落一形垛）， 撒星形垛（或三角落一形垛）， 三角撒星形垛（或撒星更落一形垛）， 三角撒星更落一形垛。 显然，上述各级数依次是贾宪三角的第2，3，4，5，6条斜线上的数字，而其和恰恰是第3，4，5，6，7条斜线上的第 个数字。这正是朱世杰有两组平行线将贾宪三角各个数联结起来的原因。可见，朱世杰已经掌握了三角垛的一般公式 朱世杰还解决了以四角垛为一般项高阶等差级数求和问题，以及岚峰形垛等更复杂的级数求和问题。

此外，还有勾股形解法。勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法, 补充了《九章算术》的不足。 李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到一系列的结果。除原有的勾股容圆外，李冶得到勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半等9个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。

宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。

中、西方数学的融合 明代进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，施行八股考试制度，数学发展逐渐衰落。鸦片战争后，西方初等数学陆续传入中国，中国人学习西方数学，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面。

早期传入的西方数学中影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是现传的中国第一部数学翻译著作。绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。

近代中国也出现了许多著名数学家，如熊庆来、苏步青、江泽涵、华罗庚、吴文俊、陈景润、范盛金等等都做出了很大的贡献。

华罗庚(1910。11。12-1985。6。12。)，世界著名数学家，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依-华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔-加当华定理”、“华氏算子”、“华-王方法”等。

华氏定理 命q是一个正整数，f(x)=akxk+。。。+a1x 为一个k次整系数多项式且最大公约（ak, 。。。,a1,q）=1,则对于任何 ε>0皆有 华氏定理溯源于高斯（C。F。 Gauss）他首先引进f(x)=ax2 的特例情况，即所谓高斯和: S(q, ax2),(a,q)=1,并得到估计 S(q, ax2)=O(q1/2 )。 高斯引进并研究高斯和的目的在于给出初等数论中非常重要的二次互反律一个证明。以后，不少数学家企图推广高斯和及他的估计，但他们只能对特殊的多项式所对应的S(q, f(s))，取得成功，这一历史名题直到1940年，才由华罗庚解决。

华氏定理是臻于至善的，即误差主阶1-1/k 已不能换成一个更小的数。这只是取f(x)=xk

及 q=pk ，p为素数，就可以知道。所以依维诺格拉朵夫称赞华氏定理是惊人的。 华氏定理的直接应用是，可以处理比希尔伯特一华林定理更为广泛的问题： 命N为一个正整数，fi(x)(1<=i <=s )是首项系数为正的k次整值多项式 ，考虑不定方程 N = f1(x1)+。。。+fs(xs) (1) 的求解问题，特别取f1(x)+。。。+fs(x) = xk 即得 N =x1k +。。。+xsk 。 (2)

1770年，华林提出猜想：当s>=s0(k) , (2)有非零非负整数解 。华林猜想是希尔伯特于1900年证明的。于是华林猜想就成了著名的希尔伯特一华林定理，但用希尔伯特方法所能得到的s0(k)将是很大的 ，20年代以后，哈代、李特伍德与依·维诺格拉朵夫用圆法及指数和估计法对s0(k)作了精致的定量估计。用华氏定理基本上可以将依·维诺格拉朵夫关于华林问题的重要结果推广至不定方程（1）, 即假定（1）满足必须满足的条件，则当s>=s0 =O(Klog K)及N充分大时, （1）有非零非负整解。当 s >= s0'=O(K2log K) 时 ，方程（1）

的解数有一个渐近公式。

华氏不等式 命N 为一个正整数，f(x)为一个k次整系数多项式，则 T(a)=∑x=1Ne(af(x))，

则对于任何ε>0及1<=j<=k 时皆有

华氏不等式的直接应用为不定方程（1），由圆法来处理方程（1），则首先需将方程（1）的解数表示成(0,1), 上的一个积分 ，然后将(0,1)分成互不相交的优孤与劣孤之并, 优孤上的积分给出（1）的解数的主项，需证明劣孤上的积分是一个低阶项 ，从而可以忽略不计，这样就得到了解数渐近公式。华罗庚证明了fi(x)（1<=i<=s）假定。为满足必须满足的条件的k次整值多项式 ，则当s >= 2k +1 时，方程（1）的解数有一个渐近公式。特别对于华林问题，即方程（2），当s >= 2k +1 时，对充分大的N，有非寻常非负解，且解数有渐近公式。当k <=10时，这一结果是华林问题的最佳结果 。直到半个世纪之后，基于对华氏不等式的某些改良，沃恩（R。F。Vaughan）与希斯布朗（D。R。 Heath-Brown ）才能对华罗庚关于华林问题的结果作点改进，但他们所用的方法却繁得多了。 基于华罗庚关于解析数论的基本方法，即关于指数和估计的华氏定理与华氏不等式，再加上依· 维诺格拉朵夫的韦尔（H。 Weyl）和估计与关于素数变数的指数和估计，华罗庚系统地研究了不定方程及其他堆垒问题的求解问题，并限制变数 x1,x2,。。。xs均取素数值。华罗庚的结果总结在他的专著《堆垒素数论》中，这本书被译成俄文、英文、德文、匈牙利文与日文，它是圆法、指数和估计及其应用方面最重要的经典著作之一。 由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后近代数学的研究才真正开始。中国的数学正在不断蓬勃发展。