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2016高考数学(理)一轮限时规范特训3-5两角和与差的正弦、余弦和正切

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限时·规范·特训[A 级 基础达标]1. [2014·课标全国卷Ⅰ]若tan α>0，则( ) A. sin α>0 B. cos α>0 C. sin2α>0D. cos2α>0解析：由tan α>0得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin2α＝2sin αcos α知sin2α>0，C 正确；α取π3时，cos2α＝cos 23π＝－12<0，D 错．故选C.答案：C2. [2015·德阳二诊]若cos θ＋sin θ＝－53，则cos(π2－2θ)的值为( ) A. 49 B. －29C. 29D. －49解析：依题意得(cos θ＋sin θ)2＝59，1＋sin2θ＝59，sin2θ＝－49，cos(π2－2θ)＝sin2θ＝－49，选D.答案：D3. [2015·福建模拟]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：∵cos2α＝cos 2α－sin 2α， ∴sin 2α＋cos2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，故tan α＝3，因此选D.答案：D4. 2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A. 12B.32C. 3D. 2解析：原式＝2cos 30°－20°－sin20°sin70°＝°＋－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C5. [2015·四川模拟]如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )A. 31010B. 1010C.510D.515解析：∵sin ∠AED ＝22，sin ∠AEC ＝112＋22＝55， cos ∠AED ＝22，cos ∠AEC ＝255， ∴sin ∠CED ＝sin(∠AED －∠AEC) ＝22×255－22×55＝1010. 答案：B6. [2015·淄博模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，则sin2α等于( )A.24B. －24C. 34D. －34解析：解法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24， ∴22cos α＋22sin α＝24， ∴cos α＋sin α＝12，∴1＋sin2α＝14，∴sin2α＝－34.故选D.解法二：sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝ 2×⎝⎛⎭⎪⎫242－1＝－34. 故选D. 答案：D7. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________.解析：∵sin(π2＋θ)＝cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－725.答案：－7258. 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________． 解析：因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.答案：3229. 已知13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)的值为________． 解析：将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin(α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)＝5665.答案：566510. 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β.解：∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝1－cos 2α＝437.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.11. 已知函数f(x)＝3(sin 2x －cos 2x)－2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求f(x)的值域和单调递增区间． 解：(1)∵f(x)＝－3(cos 2x －sin 2x)－2sinxcosx ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴－π3≤2x＋π3≤π.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴f(x)的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3递减时，f(x)递增， 令2k π＋π2≤2x＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π12≤x≤k π＋7π12，k ∈Z ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴π12≤x≤π3.故f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.12. [2014·重庆高考]已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.由－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.[B 级 知能提升]1. 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A. 103B. 53C. 23D. －2解析：由3sin α＋cos α＝0，得cos α＝－3sin α. 则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103，故选A. 答案：A2. [2015·山东模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A. 35 B. 45 C.74D. 34解析：因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又因为cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34，故选D.答案：D3. [2013·四川高考]设sin2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α的值是________．解析：由sin2α＝－sin α，得sin2α＋sin α＝0， ∴2sin αcos α＋sin α＝0⇒sin α(2cos α＋1)＝0. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0，∴2cos α＋1＝0⇒cos α＝－12，∴sin α＝32，∴tan α＝－3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－3＝3，故应填 3. 答案： 34. [2014·广东高考]已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322，得Asin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322⇒Asin 3π4＝322⇒22A ＝322⇒A ＝3.(2)由f(θ)－f(－θ)＝3，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3， 即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3， 化简整理得6sin θcos π3＝3，∴3sin θ＝3，∴sin θ＝33.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.。

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高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。

2016高三数学复习(人教A版)_第三章_第3讲_两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)

2016高三数学复习(人教A版)_第三章_第3讲_两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)

第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式2016高考导航知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β； cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．(α±β，α，β均不为k π＋π2，k Z ∈)2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos__α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(α，2α均不为k π＋π2，k Z ∈) 3．三角公式关系[做一做]1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．232．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，tan β＝13，则tan(α＋β)等于( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43要点整合1．辨明两个易误点（1）在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． （2）在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 2．熟悉公式的逆用及变形用 （1）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； （2）cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；（3）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 3．角的变换技巧α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α. [做一做]3．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．32D ．1 4．已知tan ⎝⎛⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941 B ．129 C ．141D ．1典例剖析考点一__三角函数公式的直接应用__________(2014·高考广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x R ∈，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32. （1）求A 的值；（2）若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ. [规律方法] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1．已知α∈ (0，π2)，tan α＝12，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值．考点二__三角函数公式的活用(高频考点)________三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角公式．高考对三角公式的考查主要有以下三个命题角度：（1）应用正切公式的变形； （2）降幂公式的应用；（3）二倍角公式的逆用．求值：（1）3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）； （2）tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.[规律方法] 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．2．（1）(2015·洛阳市高三年级统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13 B ．－23 C ．13 D ．23（2）若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．（3）cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎫－23π9＝( ) A ．－18 B ．－116 C ．116D ．18考点三__角的变换______________________________（1）设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．16（2）(2015·贵州六盘水二模)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12 B ．12C ．－13D ．2327本例(2)条件不变，求cos 2β的值．[规律方法] （1）当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. （1）求cos α的值；（2）若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．名师讲坛考题溯源——二倍角公式的应用(2013·高考四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． [考题溯源] 本考题源于教材人教A 版必修4 P 135练习T 3“已知sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求tan α的值．”的变式而成．1．(2015·东北三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．118 B ．1718 C ．89 D ．292．(2015·唐山市第一次模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝( ) A ．－79 B ．79 C ．－29 D ．29知能训练1．(2014·郑州模拟)计算cos42°cos18°－cos48sin18°的结果等于( ) A ．12B ．33 C ．22 D ．322．(2014·湖州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79B ．79C ．29D ．－233．(2015·山东实验中学诊断)已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝( ) A ．1825 B ．725 C ．－725 D ．－16254．(2014·成都模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17 C ．－17D ．－75．(2015·金华十校模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．255 B ．－3510 C ．－255 D ．－310106．(2015·娄底模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝( ) A ．π3 B ．π3或－23π C ．－π3或23πD ．－23π7．(2015·大连市第一次模拟)若角α的终边过点(－1，2)，则cos(π－2α)的值为( ) A ．35 B ．－35 C ．55 D ．－558．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233 B ．±233C ．－1D ．±19．(2015·衡水中学高三第二学期二调)3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 10．(2015·山西晋中名校高三联合测试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．与a 0有关的一个值11．已知：α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( ) A ．14 B ．34 C ．342 D ．3212．[2015·重庆模拟]设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A. －3 B. －1 C. 1 D. 313．[2015·长春月考]已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π614．(2014年郑州模拟)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A ．33 B ．－33 C ．539D ．－6915．化简sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是( )A ．tan9°B ．－tan9°C ．tan15°D ．－tan15° 16．(2015·河南洛南联考)已知f (x )＝sin x －cos x ，则f (π12)的值是( )A ．－62 B.12 C ．－22 D.2217．(2014·湖北重点中学联考)若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg(1a )，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B ．110C ．1或110D ．1或1018． (2014·河北衡水中学五调)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C ．45D ．3519．命题：∀x ∈ [0，π3]，使3cos 2x 2＋3sin x 2cos x 2<a ＋32成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(32，＋∞) C ．(32，＋∞) D ．(3，＋∞) 20．C B A 、、是∆ABC 的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532=+-x x 的两个实数根，则∆ABC是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形二、填空题1．计算：3－tan15°1＋3tan15°＝________.2．(2014·宜昌模拟) 计算：sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°＝__________.3．(2015·南京模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，则cos2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝__________. 4．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________．5．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 6．已知sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°，则cos α＝________． 7．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 三、解答题1．(2014·江苏卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. （1）求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； （2）求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 2．(2014·济南模拟)已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.（1）求sin α的值． （2）求β的值．3．(2015·浙大附中模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x . （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．4．(选做题)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. （1）求sin 2α和tan 2α的值；（2）求cos(α＋2β)的值．5．(2014·惠州模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x R ∈. （1）求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；（2）若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24. 6．[2014·广东高考]已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x R ∈，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. （1）求A 的值；（2）若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 7．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1. （1）求角A ；（2）若1＋sin 2Bcos 2B －sin 2B ＝2＋3，求角B .两角和与差的正弦、余弦和正切公式参考答案1． C 2． C 3． B4． D 考点一_[解] (1)∵f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎡⎦⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32，∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 1.解：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－（12）2＝43. ∵α∈(0，π2)，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，∴2α∈(0，π2)，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.考点二[解] (1)原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin （12°－60°）12sin 48°＝－4 3.(2)∵tan 60°＝3＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＝3(1－tan 20°tan 40°)．∴tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案：(1)D(2)2 (3)A考点三_[答案] (1)C (2)D解：∵cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝223，sin(α＋β)＝223， cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－13×13＋223×223＝79.∴cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝⎛⎭⎫792－1＝1781. 3. 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π.所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.名师讲坛[答案] 31.选B.2．A.知能训练参考答案ABCBC D ACDA BA CCB CCCD二、填空题1．1 2． 2 3．24134．3＋82155．172506．457．1 8．2－156三、解答题1．解析：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sin⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.2．解析：(1)因为tanα2＝12，所以sinα＝sin⎝⎛⎭⎫2·α2＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋⎝⎛⎭⎫122＝45.(2)因为0＜α＜π2，sinα＝45，所以cosα＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，所以0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2.所以sin(β－α)＝9810＝7210，所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π，得β＝34π.⎝⎛⎭⎫或求cosβ＝－22，得β＝34π.3．解析：(1)f(x)＝12cos x＋32sin x－cos x＝32sin x－12cos x＝sin⎝⎛⎭⎫x－π6.∴f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫x－π6.所以f⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sinα＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin2α＝2sinαcosα＝2×35×45＝2425，cos2α＝2cos2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725，∴f(2α)＝sin⎝⎛⎭⎫2α－π6＝32sin2α－12cos2α＝32×2425－12×725＝243－750.4．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴cos 2α＝1－sin22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，∴cos⎝⎛⎭⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin⎝⎛⎭⎫β－π4·cos⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又cos2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.5．解(1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos2π6＋sinπ6cosπ6＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f(x)＝cos2x＋sin x cos x＝1＋cos 2x2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x＋cos 2x)＝12＋22sin⎝⎛⎭⎫2x＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12＋22⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α.又因为sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭⎫12×35－32×45＝10＋32－4620. 6．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， 得A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒22A ＝322⇒A ＝3. (2)由f (θ)－f (－θ)＝3，得3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3， 即3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3， 化简整理得6sin θcos π3＝3，∴3sin θ＝3，∴sin θ＝33.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63，∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 7．解析：(1)∵m ·n ＝(－1，3)·(cos A ，sin A )＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)∵1＋sin 2B cos 2B －sin 2B ＝2＋3，∴(sin B ＋cos B )2(cos B －sin B )(cos B ＋sin B )＝2＋3，∴cos B ＋sin B cos B －sin B ＝2＋3，∴tan B ＋11－tan B＝2＋3，∴tan B ＝33.又0<B <π，∴B ＝π6.。

高中数学一轮复习三角函数 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

高中数学一轮复习三角函数 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

π 显然(1)正确，(3)错误α＝2不成立.
【解析】
对于(2)，cosAcos B－sin Asin B＝cos(A＋B)<0， ∴cos Acos B<sin Asin B，则(2)不正确． b 在(4)中，φ 的正切与a有关，φ 所在象限内 a，b 的符号确 定，(4)错．
【答案】
θ π θ (2)由 θ∈(0，π)，得 0＜ ＜ ，∴cos ＞0. 2 2 2 因此 2＋2cos θ＝ θ 4cos ＝2cos . 2 2
2θ
θ θ 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) 2 2 θ θ θ θ 2θ ＝(2sin cos ＋2cos )(sin －cos ) 2 2 2 2 2 θ θ 2θ 2θ ＝2cos (sin －cos )＝－2cos cos θ. 2 2 2 2 θ －2cos cos θ 2 故原式＝ ＝－cos θ. θ 2cos 2
(2)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 ( )
tan α＋tan β (3)公式 tan(α＋β)＝ 可以变形为 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立( )
(4)公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值无关( )
【例 1 】 40° ；
θ θ 1＋sin θ＋cos θsin －cos 2 2 (2) (0＜θ＜π)． 2＋2cos θ
【思路点拨】
(1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；
θ (2)统一为 的三角函数，变形化简． 2
【尝试解答】
sin 40° (1)4cos 50° －tan 40° ＝4sin 40° － cos 40°
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式名师课件 理

高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式名师课件 理

2tan α
• tan 2α＝__________1_－_t_an_2α_____.
3．有关公式的逆用、变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
1＋cos 2α
1－cos 2α
(2)cos2α＝____2_______，sin2α＝____2________；
第三章 三角函数、解三角形
第21讲 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.会用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式．
2.能利用两角差的余弦公式 导出两角差的正弦、正切公 式．
3.能利用两角差的余弦公式 导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系.
•三 三角恒等变换与三角函数的综合 问题
• 三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等 变换与三角函数的性质相结合，通过变换， 将复杂的函数式子化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的 形式再研究性质．在研究性质时注意利用整 体思想解决相关问题．
【例 4】 已知函数 f(x)＝2cos2ωx－1＋2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线 x＝π3是函数 f(x)的图象的一条对称轴．
＝2cos2θsin22θ－cos22θ＝－2cos2θcos
θ.故原式＝－2cos2θcθos 2cos2
θ ＝－cos
θ.
(2)sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)
＝sin
cos 50°·
60°cos 10°＋sin 60°sin cos 60°cos 10°
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则 2α－β 的值为__－__3_4π__.