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双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用

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1
F1 O F2 x
P
y
双曲线焦点三角形面积公式的应用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）

定理 在双曲线12222byax（a＞0，b＞0）中，焦点分别为1F、2F，点P是双曲线上任意
一点，21PFF，则2cot221bSPFF.
证明：记2211||,||rPFrPF，由双曲线的第一定义得
.4)(,2||222121arrarr
在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr
配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr
即.4)cos1(242212crra

.cos12cos1)(222221bacrr
由任意三角形的面积公式得：

2cot2sin22cos2sin2cos1sinsin2122222121
bbbrrS
PFF
.

.2cot221bS
PFF

同理可证，在双曲线12222bxay（a＞0，b＞0）中，公式仍然成立.
典题妙解
例1 设1F和2F为双曲线1422yx的两个焦点，P在双曲线上，且满足9021PFF，
则△21PFF的面积是（ ）
A. 1 B. 25 C. 2 D. 5
解：,145cot2cot221bSPFF选A.
2

例2 (03天津)已知1F、2F为双曲线1422yx的两个焦点，P在双曲线上，若△21PFF的
面积是1，则21PFPF的值是___________.
解: ,12cot2cot221bSPFF452,即.90

21PFPF，从而.021
PFPF

例3 已知1F、2F为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且6021PFF，△21PFF的
面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程.
解：由31230cot2cot2221bbSPFF得：.122b

又,2122abe
.41212
a
从而.42a


所求的双曲线的标准方程为112422yx，或112422xy.

金指点睛
1. 已知双曲线1422yx的两个焦点为1F、2F，点P在双曲线上，且△21PFF的面积为3，则
21
PFPF•
的值为( )

A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21FF，P是此双曲线上的一点，且
2||||,2121PFPFPFPF
，则该双曲线的方程是（ ）

A. 13222yx B. 12322yx C. 1422yx D. 1422yx
3.（05全国Ⅲ）已知双曲线1222yx的焦点为1F、2F，点M在双曲线上，且021MFMF，
则点M到x轴的距离为（ ）
A. 34 B. 35 C. 332 D. 3
3

4. 双曲线116922yx两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为,3则
△F1PF2面积为( )
A．163 B．323 C．32 D．42

5. 双曲线14491622yx，1F、2F为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且
32||||21PFPF，求21PFF
的大小.

6. 已知双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的焦点为1F、2F，P为双曲线上一点，且021PFPF，
abPFPF4||||21
，求双曲线的离心率.

参考答案
1. 解：32cot2cot221bSPFF，60,302.
又3sin||||212121PFPFSPFF，4||||21PFPF.


21
PFPF•

=2214cos||||21PFPF.

故答案选A.
2. 解：,21PFPF1221||||212121PFPFSPFF.

又145cot2cot22221bbbSPFF，1b，而5c，2a.
故答案选C.
3. 解：021MFMF，21MFMF. 245cot22cot221bSMFF.

点M到x轴的距离为h，则23||212121hchhFFSMFF，332h.
故答案选C.
4. 解：设21PFF，则3. 3166cot162cot221bSPFF.
故答案选A.

5. 解：由14491622yx得116922yx. 设21PFF（1800）.

2cot162
cot221bS

PFF
.

又sin16sin||||212121PFPFSPFF.
4


2
cotsin

，即2sin2cos2cos2sin2.

整理得：212sin2，222sin，452，90.
故21PFF的大小为90.
6. 解：设21PFF，021PFPF90.

222
45cot2cot21bbbSPFF


.

又ababPFPFSPFF2421||||212121，

abb22
. 得2ab.


离心率5)(12abe.

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圆锥曲线中焦点三角形的应用

圆锥曲线中焦点三角形的应用

浅谈圆锥曲线中焦点三角形两个性质的应用无锡市北高级中学 计 巍 214044在近几年的教学以及高考试题中，发现圆锥曲线中焦点三角形的应用比较多，于是对焦点三角形的一些特征进行一点探究和归纳。

圆锥曲线上一点P 和两个焦点1F ，2F 构成的21PF F ∆称为“焦点三角形”。

1、 关于焦点三角形的两个性质性质⑴：焦点三角形的面积公式若1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。

解：设m PF =1，n PF =2，由余弦定理得2221224cos 2c F F mn n m ==-+θ①由椭圆定义得 a n m 2=+② 由①得：θθcos 12cos 1)(2222+=+-=b c a mn ∴2tan cos 1sin sin 212221θθθθb b mn S PF F =+==∆（Ⅰ）由此类比双曲线还可得到：已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 是双曲线上一点，且θ=∠21PF F ，则2c ot 221θb S PF F =∆。

（Ⅱ） 以上两个公式对于焦点在y 轴上的椭圆和双曲线同样成立。

性质⑵：焦点三角形中的最大顶角已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，则当点P 为短轴端点B 时角θ最大。

解：设m PF =1，n PF =2由余弦定理得2221224cos 2c F F mn n m ==-+θ①由椭圆定义得 a n m 2=+②12242)(cos 222-=--+=∴mnb mnc mn n m θ 而n m a +=2≥mn 2，mn ∴≤21aθcos ∴≥1222-ab （Ⅲ），由余弦函数在()π,0上单调递减 当且仅当n m =)(21PF PF =，θcos 取值最小，即点P 为段轴端点时角θ最大。

高中数学破题致胜方法双曲线焦点三角形的面积

高中数学破题致胜方法双曲线焦点三角形的面积

今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。

12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠和。

例:已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F 、，若双曲线上一点P 使 1290F PF ∠︒＝，则1F PF 的面积是（ ） A.12 B.16 C.24 D.32解：根据双曲线的定义有：126PF PF =－ 两边平方得：221212236PF PF PF PF ＋－＝由勾股定理有：222121212||10032PF PF F F PF PF ∴＋＝＝，＝1212S PF PF ∴=＝16所以本题选B 。

整理： 焦点三角形的面积求法：2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；12121sin 2PF F S r r θ=；121=2||2PF F P S c y ；注意：讨论焦点三角形的相关性质时，要结合双曲线的定义，简化运算。

再看一个例题，加深印象：例：已知12F F ，为双曲线221C x y -=：的左、右焦点，P 点在C 上，1260F PF ∠︒＝，则P 到x 轴的距离为（ ）解：不妨设 设12(,),,,P x y PF m PF n ＝＝ 由双曲线的定义有：12 2.PF PF mn －＝－＝ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2222(22)-2cos 608(-).4m n mn m n mn mn =+︒=+=从而由三角形面积公式有：11sin 602214222y mn y y ⨯︒⨯⨯∴＝，＝总结：1.双曲线焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有双曲线的定义、余弦定理等.2.掌握双曲线焦点三角形的面积公式，根据已知条件合理选择面积公式计算.练习：1.已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，12,F F 为左右焦点， P 是双曲线上一点，且1260,F PF ∠=12PF F S ∆=.2.设P 为双曲线22112y x -= 上的一点,12,F F 是该双曲线的两个焦点.若 12||:||3:2PF PF =,则12PF F 的面积为( )A.B.12C. D.24已知点P 是双曲线22145x y -= 上一点,若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.54 B.52 C.5 D.10答案：1. 【解析】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>2,2e c a =∴= 所以，2224,16,12a c b ===，双曲线标准方程为221412x y -=.。

2020年高考数学调研题型03 焦点三角形(椭圆与双曲线)(教师版)

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2020年高考数学-圆锥曲线压轴题之 秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C1323=+my x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是 ( )A.(][)+∞,91,0YB.(][)+∞,93,0Y C.(][)+∞,41,0YD.(][)+∞,43,0Y【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o,则tan 603ab≥=o 33m≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ,则tan 603a b ≥=o 33m ≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0Y ,选A. 秒杀题型二： 3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b = .【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积. 【解析。

椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用

椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用

椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用
刘志勇; 方志平
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2009(000)011
【摘要】在高考中涉及到椭圆、双曲线的焦点三角形问题很多，在这些问题中有一类与面积有关，如果我们能合理而又灵活地运用椭圆、双曲线的焦点三角形的面积公式，在解决一类有关问题时，可避免冗长的推理和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了．
【总页数】3页(P32-34)
【作者】刘志勇; 方志平
【作者单位】广东省惠州市第一中学 516007
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式及应用 [J], 张扩社
2.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝 [J], 董晖
3.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式--解决客观题的法宝 [J], 董晖;
4.椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用 [J], 方志平
5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用 [J], 吴爱龙;黄园军;徐招平
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