双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用

今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。

12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠和。

例:已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F 、，若双曲线上一点P 使 1290F PF ∠︒＝，则1F PF 的面积是（ ） A.12 B.16 C.24 D.32解：根据双曲线的定义有：126PF PF =－ 两边平方得：221212236PF PF PF PF ＋－＝由勾股定理有：222121212||10032PF PF F F PF PF ∴＋＝＝，＝1212S PF PF ∴=＝16所以本题选B 。

整理： 焦点三角形的面积求法：2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；12121sin 2PF F S r r θ=；121=2||2PF F P S c y ；注意：讨论焦点三角形的相关性质时，要结合双曲线的定义，简化运算。

再看一个例题，加深印象：例：已知12F F ，为双曲线221C x y -=：的左、右焦点，P 点在C 上，1260F PF ∠︒＝，则P 到x 轴的距离为（ ）解：不妨设 设12(,),,,P x y PF m PF n ＝＝ 由双曲线的定义有：12 2.PF PF mn －＝－＝ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2222(22)-2cos 608(-).4m n mn m n mn mn =+︒=+=从而由三角形面积公式有：11sin 602214222y mn y y ⨯︒⨯⨯∴＝，＝总结：1.双曲线焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有双曲线的定义、余弦定理等.2.掌握双曲线焦点三角形的面积公式，根据已知条件合理选择面积公式计算.练习：1.已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，12,F F 为左右焦点， P 是双曲线上一点，且1260,F PF ∠=12PF F S ∆=.2.设P 为双曲线22112y x -= 上的一点,12,F F 是该双曲线的两个焦点.若 12||:||3:2PF PF =,则12PF F 的面积为( )A.B.12C. D.24已知点P 是双曲线22145x y -= 上一点,若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.54 B.52 C.5 D.10答案：1. 【解析】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>2,2e c a =∴= 所以，2224,16,12a c b ===，双曲线标准方程为221412x y -=.。

椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝董晖
【摘要】利用椭圆和双曲线焦点三角形面积公式可以大大简化解决圆锥曲线相关问题的步骤,节省时间,是解决此类客观题的法宝公式.
【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》
【年(卷),期】2018(000)006
【总页数】2页(P79-80)
【关键词】椭圆;双曲线;焦点三角形面积公式;客观题
【作者】董晖
【作者单位】甘肃省武威第六中学 733000
【正文语种】中文
全国卷高考数学的客观题有16道，共90分，占总分的60箛.小题小解，解决客观题能否快而准，是考试成败的关键，其中椭圆和双曲线焦点三角形面积公式可以大大简化解决圆锥曲线相关试题的步骤，节省时间，是解决小题的法宝公式.
定理：已知椭圆方程为b>0），它的两焦点分别为F1，F2，设在焦点三角形
PF1F2中，∠F1PF2=θ，则S△F1PF2=
图1
由椭圆的第一定义得s+t=2a，所以（s+t）2=4a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得：s2+t2-2stcosθ=（2c）2.。

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。

高考数学中，有心二次曲线的焦点三角形面积公式怎么用？
答：
有心二次曲线的焦点三角形是高考的常考内容之一，它综合了圆锥曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式等知识点，往往计算量相对较大。

但是，如果能应用焦点三角形的面积公式，那么许多题都可以大大减少运算量，同时提升正确率。

一·椭圆的焦点三角形
二·双曲线的焦点三角形
焦点三角形问题实际上是有心二次曲线定义的应用，通过上述两道高考真题不难发现，掌握焦点三角形面积公式的正确打开方式，某些题堪称秒杀。

另外，有些题目看似与焦点三角形没有关系，实际上经过转化便可使用，因此，注意体会。

以上。

双曲线焦点三角形面积公式的应用定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ⋅=∆b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得.4)(,2||222121a r r a r r =-∴=-在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(222221θθ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F . .2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解例1 设1F 和2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）A. 1B.25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.解: ,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122=+=ab e .41212=+∴a从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112422=-x y . 金指点睛1. 已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ∙的值为( )A. 2B. 3C. 2-D. 3-2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A.34 B. 35 C. 332 D. 34. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为( )A ．163B ．323C ．32D ．42 5. 双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6. 已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.参考答案1. 解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ. 又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF . ∴21PF PF ∙=2214cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF . 故答案选A. 2. 解： ,21PF PF ⊥∴1221||||212121=⨯=⋅=∆PF PF S PF F . 又145cot 2cot22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .故答案选C. 3. 解： 021=⋅MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22cot 221=︒==∆θb S MF F .点M 到x 轴的距离为h ，则23||212121===⋅⋅=∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.4. 解：设θ=∠21PF F ，则3πθ=. ∴3166cot 162cot 221===∆πθb S PF F .故答案选A. 5. 解：由14491622=-y x 得116922=-y x . 设θ=∠21PF F （︒≤︒1800 θ）. ∴2cot 162cot221θθ==∆b S PF F . 又θθsin 16sin ||||212121=⋅⋅=∆PF PF S PF F .∴2cot sin θθ=，即2sin 2cos 2cos 2sin 2θθθθ=. 整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.6. 解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF PF ∴︒=90θ. ∴22245cot 2cot21b b b S PF F =︒==∆θ. 又 ab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=. 得2=ab . ∴离心率5)(12=+=ab e .。

双曲线焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）定理在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，∠F 在△1F 即42a +21=∆S PF F 例︒，则△解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2(03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.解:,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF例3已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122=+=ab e∴，则 0，则A.34B.35C.332 D.3 4.双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为()A ．163B ．323C ．32D ．425.双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6.已知双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率. 参考答案1.解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ. 又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF . ∴2.3.4.5.∴又∴2cot sin θθ=，即2sin 2cos 2cos 2sin 2θθθθ=. 整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.6.解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF ∴︒=90θ.∴22245cot 2cot 21b b b S PF F =︒==∆θ. 又 ab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=.得2=ab . ∴离心率5)(12=+=ab e .。

双曲线的焦三角面积公式在我们的数学世界里，双曲线就像是一个神秘而有趣的“小怪兽”，而其中的焦三角面积公式更是这个小怪兽身上独特的“标志”之一。

先来说说什么是双曲线的焦三角。

想象一下，在双曲线的图形中，有两个焦点 F1 和 F2，然后从这两个焦点引出一条边，再连接双曲线上的一点，这样就构成了一个三角形，这就是双曲线的焦三角啦。

那这个焦三角的面积公式到底是啥呢？它是S = b²cot(θ/2) 。

这里的b 是双曲线的虚半轴长，θ 是双曲线的离心角。

可能有的同学会问了，这公式有啥用啊？我给您举个例子。

比如说，有一道数学题，告诉您双曲线的一些参数，让您求焦三角的面积。

这时候，这个公式就派上大用场啦！您只需要把相应的数值代入公式，然后进行计算，就能轻松得出答案。

我记得之前给一个学生讲这部分内容的时候，那孩子怎么都理解不了。

我就拿了一张纸，给他画了个大大的双曲线，标上焦点和双曲线上的点，一点点地给他解释。

我指着图形说：“你看啊，这就像是一个迷宫，咱们找到这个公式就是找到走出迷宫的钥匙。

” 这孩子盯着图形看了半天，突然一拍脑门说：“老师，我好像有点明白了！”那一刻，我心里别提多高兴了。

再来说说这个公式的推导。

其实推导过程也没有那么可怕。

我们可以利用双曲线的定义和一些三角函数的知识来搞定。

在推导的过程中，您会发现数学的神奇之处，就像是解开一个复杂的谜题，每一步都是关键的线索。

对于双曲线的焦三角面积公式，大家可别被它吓到。

只要多做几道练习题，多画几个图，您就会发现它其实也没那么难。

就像我们刚开始学走路的时候，觉得迈出第一步很难，但一旦勇敢地跨出去，后面就越来越顺啦。

在学习数学的道路上，每一个公式都是我们前进的工具，而双曲线的焦三角面积公式就是其中一个很有用的工具。

希望大家都能掌握它，让数学变得更有趣、更简单！。

椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式及应用
张扩社
【期刊名称】《课堂内外?教研论坛》
【年(卷),期】2011(000)003
【摘要】@@ 椭圆和双曲线是解析几何中的两个重要的知识点,也是历年高考中必考的知识点.两个焦点是两种曲线的关键点,而满足一定条件的动点则构成椭圆和双曲线.动点JP与两个焦点F1、F2则可以构成一个三角形,涉及△F1PF2的有关计算与论证问题常出现在选择与填空题中.
【总页数】2页(P47-48)
【作者】张扩社
【作者单位】礼县实验中学,甘肃,陇南,742200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝
2.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式--解决客观题的法宝
3.椭圆、双曲线焦点三角形的性质及应用
4.椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用
5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
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双曲线焦点三角形公式面积好的，以下是为您生成的关于“双曲线焦点三角形公式面积”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，双曲线就像一个神秘又有点调皮的小家伙。

今天咱们就来聊聊双曲线里一个挺重要的东西——焦点三角形的面积公式。

记得有一次，我在给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这双曲线焦点三角形的面积公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑了笑，没直接回答他，而是在黑板上画了一个大大的双曲线。

咱们先来说说啥是双曲线的焦点三角形。

它其实就是由双曲线的两个焦点和双曲线上的一点构成的三角形。

而这个三角形的面积公式呢，是S=b²cot(θ/2) ，这里的 b 是双曲线的虚半轴长，θ 是双曲线焦点三角形的顶角。

就拿这个公式来说吧，可别小瞧它，它用处大着呢！比如说，当咱们已知双曲线的方程，又知道焦点三角形的某个角，就能很快算出这个三角形的面积。

有一道题是这样的，已知双曲线方程为 x²/9 - y²/16 =1 ，焦点三角形的顶角为 60°，那咱们就能用这个公式算面积啦。

先算出 b² = 16 ，然后 cot(60°/2) 也能算出来，最后一乘，面积就出来了，是不是挺神奇？还有一次做练习题，有个题给出了焦点三角形的面积和双曲线的一些参数，让求某个角的大小。

这时候这个公式就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解题的大门。

其实啊，数学里的这些公式就像是一个个小工具，只要咱们掌握了，用对了地方，就能解决好多难题。

就像这个双曲线焦点三角形面积公式，刚开始可能觉得它有点复杂，不好理解，但多做几道题，多琢磨琢磨，就能发现其中的乐趣和奥妙。

再比如说，在实际生活中，工程师设计桥梁的时候，可能就会用到双曲线的知识，那焦点三角形的面积公式说不定也能在其中发挥作用呢。

总之，双曲线焦点三角形的面积公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就能把它变成咱们解题的得力助手。