坐标换带计算原理

1 坐标换带计算原理 地球是一个旋转的椭球体、是一个闭合曲面，但是测量上的计算与绘图一般要求在平面上进行，所以必须采用投影的方法建立一个平面直角坐标系统来满足测量要求。

我国主要采用横切圆柱投影，及高斯—克吕格投影的方法建立平面直角坐标系统，称为高斯—克吕格直角坐标系，简称高斯直角坐标系。高斯投影采用正形投影，及等角投影，保证了投影的角度不变形，但 2

是其长度变形较为严重。高斯投影平面上的中央子午线投影为直线且长度不变，其余的子午线均为凹向中央子午线的曲线，其长度大于投影前的长度，离中央子午线越远长度变形越大。为了限制高斯投影的长度变形，必须依据中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的狭长带内分别进行。但这又使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。于是，因分带的结果产生了新的矛盾，即在生产建设中提出了各相邻带的互相联系的问题。这个问题是通过一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标，简称为“邻带换算”的方法来解决的。

具体来说，在以下情况下需要进行坐标邻带换算： (1)如图1所示，A、B、1、2、3、4、C、D为位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带（东、西带）的控制网。假如起算点A、B以及C、D的起始坐标是按两带分别给出的话，那么为了能在同一带内进行平差计算，必须把西带的A、B点起始坐标换算到东带，或者把东带的C、D点的起始坐标换算到西带。图1

(2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中；为了实现两邻带地形图的拼接和使用，位于45′（或37.5′）重叠的三角点需具有相邻带的坐标值，如图2所示。 3

图2 (3)当大比例尺（1:1000或更大）测图时，特别是在工程测量中，要求采用3°带、1.5°带或者任意带，而国家控制点通常只有6°带坐标，这时就产生了6°带同3°带（或1.5°带、任意带）之间的相互坐标换算问题。

综上所述，换带计算是分带带来的必然结果，是生产实践的需要，没有分带就不会有换带，所以换带计算是生产中重要的一个环节。

坐标换带计算采用高斯投影正、反算公式来进行换带计算。首先利用反算公式根据椭球参数以及其中央子午线将空间直角坐标(x，y)转换为椭球面大地坐标(B，L)，然后利用正算公式根据新的中央子午线将椭球面大地坐标(B，L)换算为空间直角坐标(X，Y)。它通用性强，不仅适用于6°带6°带、3°带3°带，以及6°带3°带、3°带6°带互相之间的邻带坐标换算，也适用于任意带之间的坐标换算。

高斯正算公式如下：

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高斯反算公式如下：

可以很方便的运用Excel或者VB将以上公式进行编程，方便大批量计算。 5

坐标的换带计算

为了限制高斯投影长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影带；或者为了抵偿长度变形，选择某一经度的子午线作为测区的中央子午线。由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一的大地坐标系，变成了各自独立的平面直角坐标系，就需要将一个投影带的平面直角坐标系，换算成另外一个投影带的平面直角坐标，称为坐标换带。 2.2.3. 1坐标换带的方法

坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种。目前采用间接换带计算法，因此下面仅就此方法作一介绍。

如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y和中央子午线的经度L。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标B,L然后根据B,L和第二带的中央子午线经度按高斯投影

坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标 , 6

。由于在换带计算中，把椭球面 上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上是严密的，

精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。虽然这种方法计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，故已成为坐标换带中最基本的方法。 2.2.3. 2坐标换带的实际应用

在生产实践中通常有以下两种情况需要换带计算 ⑴控制网中的已知点位于相邻的两个投影带中。如图5 （图5：坐标换带示意图）

中的附合导线，A,B,C,D为已知 7

高级点。A,B 两点位于西带内，具有西带的高斯平面直角坐标值；C,D两点位于东带内，具有东带的高斯平面直角坐标值。在坐标平差计算时，就必须将它们的坐标系统统一起来，或是将A,B点的西带坐标值换算至东带，或是将C,D点的东带坐标值换算至西带。

⑵国家控制点的坐标通常是6°带的坐标，而在工程测量中往往需要采用带或

1.5°带，这就产生了6°带与 带或 1.5°带之间的坐标换算问题。 我们知道，带的中央子午线中，有半数与6°带的中央子午线重合。所以，由

6°带到3°带的换算区分为2种情况： ① 3°带与6°带的中央子午线重合 如图所示，3°带第 （图6：坐标换带示意图）

41带与6°第21带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中P1点在6°带第 8

21带的坐标，也就是该点在3°带第41带的坐标。在这种情况下，6°带与3°带之间，不存在换带计算问题。

② 3°带中央子午线与6°带分带子午线不重合如图所示，若已知P2点在6°带第21带的坐标，求它在3°带第42带的坐标。由于这2个投影带的中央子午线不同，坐标系统不一致，必须进行换带计算。不过P2点在6°带第21带的坐标与它在3°第41带的坐标相同，所以6°带到3°带坐标换算，也可看作是3°带到3°带的邻带坐标换算。

换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法 ，他适用于任何情况下的换带计算工作。这种方法的程序是：首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1 ),按高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标（B,L）;然后根据纬度B和对于所选定的中央子午线的经差,按高斯投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面

坐标（x2,y2）。 例如，某点A在新54坐标系6°带的平面坐标为 x1=3589644.287 y1=20679136.439 9

求A点在3°带的平面直角坐标（x2,y2）. 首先确定A点所在投影带中央子午线经度。由横坐标的规定值可以直接判定，A点位于6°带第20带，其中央子午线经度L。=117°，横坐标的自然值为

y1=679136.493-500000=+179136.439m;该坐标等同于3°带第39带的平面坐标。 其次将已知的6°带坐标反算为大地坐标。为此，可直接应用坐标反算公式进行计算，其结果为 B=32°2457.6522＂

L=118°5415.2206＂ 由大地经度L可判断，A点位于3°第40带，中央子午线为L。=120°。 最后根据高斯投影坐标正算公式，由已知的纬度B和经度计算A点在3°带第40带的平面直角坐标，得 x2=3588576.591 10

y2=40396922.874 其中横坐标y2为规定值。 2.2.3. 3相邻带坐标换算存在的问题及解决方案 在具有不同抵偿高程面的两个相邻投影带之间进行坐标换带计算时，由于具有不同的抵偿高程面而使一个带中的坐标换至相邻带时使长度变形超线，在线路工程测量中就需要进行精度预算，从而在进行坐标换带计算时使长度变形控制在允许的范围内。其基本方法如下： 根据高斯投影长度综合变形公式

将长度综合变形容许值1：40000代入上式即可得到下列方程 对于已知高程面的 测区，利用该式可以计算出相对变形不超过1：40000的投影带内y坐标的取值范围，根据y坐标的取值范围使在布设控制导线边时，使跨带边的长度变形在y坐标的取值范围之内，这样就可以进行换带计算而不使综合长度变形超线。其具体解决方案如下： ⑴国家统一

带相邻带的坐标换算方法： 在线路工程中，如果由于线路过长而需要进行相邻带的坐标换算，这是就需要对控制点进行精度预算，从而使换带计算顺利进行。其主要方法如图： 根据高斯投影长度综合变形公式

将长度综合变形容 11

许

（图7：坐标换带示意图） 值1：40000代入上式即可得到下列方程对于已知高程面的测 区，利用该式可以计算出相对变形不超过1：40000的投影带内y坐标的取值范围，根据y坐标的取值范围使在布设控制导线边时使P点处于41带的扩展区域

内，该扩展区内所有的点都满足精度要求。这样P点在两个投影带中都满足精度要求同时又利于换带计算。利用这种方法就可以很方便的进行相邻带的坐标换算。 ⑵

带相邻带的换带计算 12

当国家统一带不能满足精度要求时，即如上图P点在相交处不能达到精度要求

时就必须考虑其他方法来解决此问题。 由于投影带划分的目的是限制高斯投影长度变形，所以可以通过细分投影带的方

法来限制高斯投影长度变形。 其方法是：如图P点，当该点在带第42带换算至第41带时不能满足精度要求

时，就可以通过在原 带的基础上细划分为 带从而减少高斯投影长度变形， 这样相邻带之间在满足精度要求的基础上就有 （图8：坐标换带示意图）

一部分扩展区域，在这部分扩展区域内所 有的点在相邻带都满足精度要求，这样就可以用如上1分析的方法进行相邻带之间的坐标换算