文科立体几何知识点、方法总结高三复习

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γmβαllαβ立体几何知识点整理

一．直线和平面的三种位置关系：

1. 线面平行

αl符号表示：

2. 线面相交

αAl符号表示：

3. 线在面内

αl符号表示：

二．平行关系：

1. 线线平行：

方法一：用线面平行实现。

mlmll////

方法二：用面面平行实现。

mlml////

方法三：用线面垂直实现。

若ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：

若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。

2. 线面平行：

方法一：用线线平行实现。 ////llmml

方法二：用面面平行实现。

////ll

方法三：用平面法向量实现。

若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。

3. 面面平行：

方法一：用线线平行实现。

//',','//'//且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

//,////且相交mlml

三．垂直关系：

1. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

lABACAABACABlACl,

方法二：用面面垂直实现。

llmlm, nαlm'l'lαβmmβαlABCαllβαmlm 2 / 9

2. 面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

ll

方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

mlml

方法二：三垂线定理及其逆定理。

POlOAlPAl

方法三：用向量方法：

若向量l和向量m的数量积为0，则ml。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角：

(1) 范围：]90,0(

(2)求法：

方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)

余弦定理：

abcba2cos222

(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角

(计算结果可能是其补角)：

ACABACABcos

(二) 线面角

(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。

AOθPα

(2)范围：]90,0[

当0时，l或//l

当90时，l

(3)求法：

方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。

步骤2：解三角形，求出线面角。

(三) 二面角及其平面角

(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。

nmlP

(2)范围：]180,0[

(3)求法：

方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 lβαmαlθcbaABCθnAOθPαlAOPα 3 / 9

步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。

方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。

步骤2：解三角形，求出二面角。

θAOPαβ

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

θn1n2

步骤一：计算121212cosnnnnnn

步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。

四．距离问题。

1．点面距。

方法一：几何法。

OAP 步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。

步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

2．线面距、面面距均可转化为点面距。

3．异面直线之间的距离

方法一：转化为线面距离。

nm

如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。

方法二：直接计算公垂线段的长度。

方法三：公式法。

dcbam'DCBAmn

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，'//mm，则异面直线m和n之间的距离为：

cos2222abbacd

A

B C D 1A

1C

1B 4 / 9

高考题典例

考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．解答过程（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AO⊥平面11BCCB．连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为1BCCC，的中点， 1BOBD⊥， 1ABBD⊥．在正方形11ABBA中，11ABAB⊥， 1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD． 1AFAD⊥， AFG∠为二面角1AADB的平面角．在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，又1122AGAB， 210sin4455AGAFGAF∠．所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．设点C到平面1ABD的距离为d．由11ABCDCABDVV，得111333BCDABDSSd△△， 1322BCDABDSdS△△．点C到平面1ABD的距离为22．考点2 异面直线的距离 A

B C D 1A

1C

1B O F 5 / 9

例2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD与SE间的距离.

解答过程：

如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，

EF为BCD的中位线，EF∥CDCD,∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF

的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，

2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS

在RtSCE中，3222CESCSE

在RtSCF中，30224422CFSCSF

又3,6SEFSEF 由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h

故CD与SE间的距离为332.

考点3 直线到平面的距离

例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.

解答过程：解析一BD∥平面11DGB，

BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求

点O平面11DGB的距离,

1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA,

又11DB平面11DGB 平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1, B A C D

O G H 1A1C1D

1B1O 6 / 9

作GOOH1于H，则有OH平面11DGB，即OH是O点到平面11DGB的距离.

在OGO1中，222212111AOOOSOGO.

又362,23212111OHOHGOOHSOGO.

即BD到平面11DGB的距离等于362.

解析二 BD∥平面11DGB，

BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B平面11DGB的距离.

设点B到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB的高，则

，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV 34222213111GBBDV,

,36264h

即BD到平面11DGB的距离等于362.

小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

考点4 异面直线所成的角

例4如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．

（I）求证：平面COD平面AOB；

（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．

解答过程：（I）由题意，COAO，BOAO，

BOC是二面角BAOC是直二面角，

COBO，又AOBOO，CO平面AOB，

又CO平面COD．平面COD平面AOB．

（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO∥， OCADBEADz