γmβαllαβ立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行αl符号表示：2. 线面相交αAl符号表示：3. 线在面内αl符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
ml mll ////方法二：用面面平行实现。
ml ml ////方法三：用线面垂直实现。
若m l,，则m l //。
方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则m l //。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
////l lm m l 方法二：用面面平行实现。
////l l方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面的一个法向量，l n 且l,则//l 。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
//',','//'//且相交且相交m l ml m m l l 方法二：用线面平行实现。
//,////且相交ml m l 三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
lABAC AABACAB l AC l ,方法二：用面面垂直实现。
llm l m,nαlm'l'l αβm mβαlABC αllβαmlm2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
ll 方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
ml ml 方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO lOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m 的数量积为0，则m l。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0((2)求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACAB AC AB cos(二)线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO 于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面内的射影，PAO (图中)为直线l 与面所成的角。
A OθPα(2)范围：]90,0[当0时，l 或//l 当90时，l(3)求法：方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角为二面角—l —的平面角。
nm lP (2)范围：]180,0[(3)求法：方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
lβαmαlθcbaABCθn A OθPαlA OP α步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
θAOP αβ方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
θn 1n 2步骤一：计算121212cosn n n n n n 步骤二：判断与12n n 的关系，可能相等或者互补。
四．距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
OAP步骤1：过点P 作PO 于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。
(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。
nm如图，m 和n 为两条异面直线，n且//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
dcbam'DCBA mn如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：cos2222ab bacd ABCD1A 1C 1B高考题典例考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABCA B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1AA DB 的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．解答过程（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ⊥．正三棱柱111ABCA BC 中，平面ABC ⊥平面11BCCB ，AO ⊥平面11BCC B ．连结1BO ，在正方形11BB C C 中，OD ，分别为1B C C C，的中点，1B O BD ⊥，1AB BD ⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1AB 交于点G ，在平面1ABD 中，作1GF A D⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD．1AF A D ⊥，AFG ∠为二面角1A A DB 的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得455AF，又1122AGAB ，210sin 4455AG AFGAF∠．所以二面角1A A DB 的大小为10arcsin 4．（Ⅲ）1A BD △中，1115226A BDBD A DA B S △，，，1BCD S △．在正三棱柱中，1A 到平面11BCCB 的距离为3．设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由11ABCDC A BD V V ，得111333BCDA BD S S d △△，1322BCD A BDS dS △△．点C 到平面1A BD 的距离为22．考点2 异面直线的距离ABCD1A 1C 1B OF例2已知三棱锥ABC S ，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.解答过程：如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，EF 为BCD 的中位线，EF ∥CD CD ,∥面SEF ,CD到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF的距离，设其为h ，由题意知，24BC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、BD 的中点，2,2,621,62SC DFCD EF CD 33222621312131SCDF EF V CEFS在Rt SCE 中，3222CE SC SE 在RtSCF 中，30224422CFSC SF 又3,6SEFSEF由于h SV V SEFCEFSSEF C31，即332331h，解得332h故CD 与SE 间的距离为332.考点3 直线到平面的距离例3．如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一BD ∥平面11D GB ，BD 上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离, 1111C A D B ，A A D B 111，11D B 平面11ACC A ,又11D B 平面11D GB 平面1111D GB ACC A ，两个平面的交线是G O 1,BACDOGH1A 1C 1D 1B 1O作G O OH1于H ，则有OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离.在OG O 1中，222212111AO O O SOGO . 又362,23212111OHOH GO OH SOGO .即BD 到平面11D GB 的距离等于362.解析二BD ∥平面11D GB ，BD 上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B 的高，则，由于632221,111111D GB GBB D D GB BSV V 34222213111GBB D V ,,36264h即BD 到平面11D GB 的距离等于362.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角例4如图，在Rt AOB △中，π6OAB，斜边4AB ．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C 的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD 平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．解答过程：（I ）由题意，COAO ，BOAO ，BOC 是二面角B AO C 是直二面角，COBO ，又AO BOO ，CO平面AOB ，又CO 平面COD ．平面COD 平面AOB ．（II ）作DE OB ，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，OCADBEA zCDE 是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO，112OEBO，225CECOOE．又132DEAO．在Rt CDE △中，515tan 33CE CDEDE．异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3．小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0.考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC底面ABCD ．已知45ABC ∠，2AB ，22BC，3SA SB．（Ⅰ）证明SA BC ；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．解答过程：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面A B ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB ，所以AO BO ，又45ABC ∠，故A O B △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由22AD BC ，3SA，2AO，得1SO ，11SD．SA B△的面积22111222S ABSAAB．连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于DSABSABDV V ，得121133h S SO S ，解得2h．设SD 与平面SAB 所成角为，则222sin1111h SD．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为22arcsin11．小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平DBCASODBCAS面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.考点6 二面角例6．如图，已知直二面角PQ ，A PQ ，B ，C ，CA CB ，45BAP ，直线CA 和平面所成的角为30．（I ）证明BC PQ⊥（II ）求二面角B AC P 的大小．过程指引：（I ）在平面内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ．因为⊥，PQ ，所以CO ⊥，又因为CA CB ，所以OA OB ．而45BAO ，所以45ABO，90AOB，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC平面OBC ，故PQ BC ⊥．（II ）由（I ）知，BO PQ ⊥，又⊥，PQ ，BO，所以BO ⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥．故BHO 是二面角B ACP 的平面角．由（I ）知，CO ⊥，所以CAO 是CA 和平面所成的角，则30CAO ，不妨设2AC ，则3AO，3sin 302OHAO ．在Rt OAB △中，45ABO BAO，所以3B O A O ，于是在Rt BOH △中，3t a n 232BO BHO OH．故二面角B AC P 的大小为arctan2．小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.ABCQP ABCQP O H考点7 利用空间向量求空间距离和角例7．如图，已知1111ABCD A BC D 是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AEFC ．（1）求证：1E B F D ，，，四点共面；（2）若点G 在BC 上，23BG，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（3）用表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan ．过程指引：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN ，连结EN ，CN ，则1AE DN ，12CFND ．因为AE DN ∥，1ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形．从而EN AD ∥，1FD CN ∥．又因为AD BC ∥，所以EN BC ∥，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．因此，1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGMCFB ∠∠，tan tan BMBG BGMBG CFB∠∠23132BC BGCF．因为AE BM ∥，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥．又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．（3）如图，连结EH ．因为MH BF ⊥，EM BF ⊥，所以BF ⊥平面EMH ，得E H B F ⊥．于是EHM∠是所求的二面角的平面角，即EHM∠．因为MBHCFB ∠∠，所以sin sin MHBM MBHBM CFB∠∠22223311332BC BM BCCF，tan13EM MH．CBA GH MDEF1B 1A 1D 1C CBAGHMDE F1B 1A 1D 1C N。
