弹性力学基本概念和考点

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可编辑 基本概念：

（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定

（2） 切应力互等定理：

作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。

（3） 弹性力学的基本假定：

连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。

（4） 平面应力与平面应变；

设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，0,0,0zzxzy，由切应力互等，0,0,0zxzyz，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即,,xyxyyx，所以这种问题称为平面应力问题。

设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zxzy，根据切应力互等，0,0xzyz。由胡克定律，0,0zxzy，又由于z方向的位移w处处为零，即0z。因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即,,xyxy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。

（5） 一点的应力状态；

过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。

（6） 圣维南原理；（提边界条件）

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处精品文档

可编辑 所受到的影响可以忽略不计。

（7） 轴对称；

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。

一、 平衡微分方程：

(1) 平面问题的平衡微分方程；

00yxxxxyyyfxyfxy（记）

(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；

10210ff

1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。

二、 几何方程；

（1） 平面问题的几何方程；

xyxyuxvyvuxy（记）

（2） 平面问题的几何方程（极坐标）； 精品文档

可编辑 1212121uuvvuv

1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。

2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移）

三、 物理方程；

（1） 平面应力的物理方程；

1121xxyyyxxyxyEEE（记）

（2） 平面应变的物理方程；

22111121xxyyyxxyxyEEE

（3） 极坐标的物理方程（平面应力）；

1()1()12(1)EEGE

（4） 极坐标的物理方程（平面应变）； 精品文档

可编辑 221()11()12(1)EEE

四、 边界条件；

（1） 几何边界条件；

平面问题：ssuusvvv 在us上；

（2） 应力边界条件；

平面问题：xyxxsxyyyslmflmf（记）

（3） 接触条件；

光滑接触：nn n为接触面的法线方向

非光滑接触：nnnnuu n为接触面的法线方向

（4） 位移单值条件；

2uu

（5） 对称性条件：

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。

一﹑概念

1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。

2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。 精品文档

可编辑 3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。.

4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛

5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.

6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学

三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.

7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。

8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。

9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。

10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。

14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。

15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。

16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理﹑解的叠加原理﹑圣维南原理。

会推导两种平衡微分方程

17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数

（2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量

（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数

18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式

(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式（含待定函数项）；

(3)将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式；

(4)将应力函数f代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量

(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全

5.平面问题的应力边界条件为 )()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx填空 精品文档

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7.圣维南原理的三个积分式

如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为

8.艾里应力函数

2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(1)(1)(1)(hhyhhlxxyhhxhhlxxhhxhhlxxdyyfdyydyyfydydyyfdyshhlxxyhhlxxNhhlxxFdyMydyFdy2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222计

算

理

解

计算 精品文档

可编辑 一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）

1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。

A．相容方程 B．近似方法 C．边界条件 D．附加假定

2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。

A．几何上等效 B．静力上等效 C．平衡 D．任意

3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。

A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同

B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同

C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同

D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同

在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。

4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为024422444yΦyxΦxΦ，

6、设有函数hyhyqyhyhyqx332332251344，

（1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）

（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见