函数小结习题
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第一章 集合与函数概念综合素能检测及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于( )
A．{0,1,2,6,8} B．{3,7,8}
C．{1,3,7,8} D．{1,3,6,7,8}
[答案] C
[解析] A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.
2．(09·陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则( )
A．f(3)
C．f(－2)
[答案] A
[解析] 若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∵3>2>1，∴f(3)
又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，
∴f(3)
3．已知f(x)，g(x)对应值如表.
x 0 1 －1
f(x) 1 0 －1
x 0 1 －1
g(x) －1 0 1
则f(g(1))的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．不存在
[答案] C [解析] ∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.
4．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )
A．3x＋2 B．3x＋1
C．3x－1 D．3x＋4
[答案] C
[解析] 设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
5．已知f(x)＝ 2x－1 (x≥2)－x2＋3x (x<2)，则f(－1)＋f(4)的值为( )
A．－7 B．3
C．－8 D．4
[答案] B
[解析] f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故选B.
6．f(x)＝－x2＋mx在(－∞，1]上是增函数，则m的取值范围是( )
A．{2} B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，1]
[答案] C
[解析] f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增区间为(－∞，m2]，由条件知m2≥1，∴m≥2，故选C.
7．定义集合A、B的运算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x∉A∩B}，则(A*B)*A等于( )
A．A∩B B．A∪B
C．A D．B
[答案] D
[解析] A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．
因此(A*B)*A是图中阴影部分与A的并集，除去A中阴影部分后剩余部分即B，故选D.
[点评] 可取特殊集合求解．
如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，则A*B＝{2,3,5}，(A*B)*A＝{1,5}＝B.
8．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)定义两种运算：ab＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝ 为( )
A．奇函数
B．偶函数 C．奇函数且为偶函数
D．非奇函数且非偶函数
[答案] A
[解析]
由运算与⊗的定义知，
f(x)＝4－x2(x－2)2－2，
∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，
∴f(x)＝4－x2(2－x)－2＝－4－x2x，
∴f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
9．(08·天津文)已知函数f(x)＝ x＋2， x≤0，－x＋2， x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
[答案] A
[解析] 解法1：当x＝2时，f(x)＝0，f(x)≥x2不成立，排除B、D；当x＝－2时，f(x)＝0，也不满足f(x)≥x2，排除C，故选A.
解法2：不等式化为 x≤0x＋2≥x2或 x>0－x＋2≥x2，
解之得，－1≤x≤0或0
10．调查了某校高一一班的50名学生参加课外活动小组的情况，有32人参加了数学兴趣小组，有27人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，下列说法正确的是( )
A．最多32人 B．最多13人
C．最少27人 D．最少9人
[答案] D
[解析] ∵27＋32－50＝9，故两项兴趣小组都参加的至多有27人，至少有9人．
11．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝( )
A．0
B．1
C.52 D．5
[答案] C [解析] f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，
∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.
12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝ g(x)，若f(x)≥g(x)，f(x)，若f(x)
A．最大值为3，最小值－1
B．最大值为7－27，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
[答案] B
[解析] 作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2010·江苏，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
[答案] －1
[解析] ∵A∩B＝{3}，∴3∈B，
∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝－1.
14．已知函数y＝f(n)满足f(n)＝ 2 (n＝1)3f(n－1) (n≥2)，则f(3)＝________.
[答案] 18
[解析] 由条件知，f(1)＝2，f(2)＝3f(1)＝6，f(3)＝3f(2)＝18.
15．已知函数f(x)＝2－ax (a≠0)在区间[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] (0,2]
[解析] a<0时，f(x)在定义域上是增函数，不合题意，∴a>0. 由2－ax≥0得，x≤2a，
∴f(x)在(－∞，2a]上是减函数，
由条件2a≥1，∴0
16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．
[答案] 3800元
[解析] 由于4000×11%＝440>420，设稿费x元，x<4000，则(x－800)×14%＝420，
∴x＝3800(元)．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合B＝{x|x<－1或x>5}，分别就下列条件求实数a的取值范围：
(1)A∩B≠∅，(2)A∩B＝A.
[解析] (1)因为A∩B≠∅，所以a<－1或a＋3>5，即a<－1或a>2.
(2)因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以a>5或a＋3<－1，即a>5或a<－4.
18．(本题满分12分)二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2)，
∴对称轴为x＝1.
又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)2＋1 (a>0)
∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，
即f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)由条件知2a<1
19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f(x)的局部图象，已知f(x)的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f(1)与f(3)的大小．
[解析] 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f(3)>f(1)．
20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？
[解析] 如图，剪出的矩形为CDEF，设CD＝x，CF＝y，则AF＝40－y.
∵△AFE∽△ACB.
∴AFAC＝FEBC即∴40－y40＝x60
∴y＝40－23x.剩下的残料面积为：
S＝12×60×40－x·y＝23x2－40x＋1 200＝23(x－30)2＋600
∵0
∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所剩残料最少．
21．(本题满分12分)
(1)若a<0，讨论函数f(x)＝x＋ax，在其定义域上的单调性；
(2)若a>0，判断并证明f(x)＝x＋ax在(0，a]上的单调性．
[解析] (1)∵a<0，∴y＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，
又y＝x为增函数，∴f(x)＝x＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．
(2)f(x)＝x＋ax在(0，a]上单调减，
设0
＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x1x2
＝(x1－x2)(1－ax1x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，a]上单调减．
22．(本题满分14分)设函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)
