四川省古蔺县中学高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(第一课时)导学案 新人教A版必修1

湖南省平江县第三中学高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点（1）学案 新人教A版必修1

教学目标

1. 理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系

2. 由方程的根与函数的零点的探究，体会转化化归思想和数形结合思想.

※ 学习重点、难点：

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法

难点：利用数形结合思想理解零点与方程根的联系

学习过程

创设情境，引入新课

1．函数)0(2acbxaxy的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程)0(02acbxax的根的关系怎样？

函

数图

象

判别式

与x轴交点个数

方程的根

2. 函数图象与轴交点坐标是什么？

3.方程的根与函数之间有什么联系？

探索新知：函数的零点：

1、定义：一般地， 我们把使0)(xf的实数称为函数的零点.

2、说明：（1）函数的零点不是点，是个实数.

（2）函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与轴交点的横坐标.

函数的零点问题方程的根的问题图象与轴的交点问题

3．二次函数零点的判定：

学生练习一：

1. 函数xxy1的零点是 。

2．试判断函数562xxy有没有零点？如果有，求出零点.

3．求函数y = –x2 – 2x + 3的零点，并指出y＞0的x的取值范围

4．已知函数dcxbxaxxf23)(

的图象如右图所示，求函数)(xfy的零点，

和方程0)(xf的实根.

学生练习二：

5．二次函数 nxmxy2中m·n﹤0,则函数的零点有 个

6．若函数axxxf2)(2没有零点，则实数a的取值范围是

（ ）

（A）a＞-1 （B）a＜-1

（C）a≥-1 （D）a≤-1

7．函数baxxxf2)(的两个零点是2和3，求函数1)(2axbxxg的零点。

必修一《3.1.1方程的根与函数的零点》教学案

一、教学目标

1． 知识与技能

①理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

②培养学生的观察能力．

③培养学生的抽象概括能力．

2． 过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．

②让学生归纳整理本节所学知识．

3． 情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点、难点

重点 零点的概念及存在性的判定．

难点 零点的确定．

三、学法与教学用具

1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2． 教学用具：投影仪.

四、教学设想

(一)创设情景，揭示课题

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

(用投影仪给出)

①方程0322xx与函数322xxy

②方程0122xx与函数122xxy

③方程0322xx与函数322xxy

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

(二) 互动交流 研讨新知

函数零点的概念：

对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点．

函数零点的意义：

函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标．

即：

方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．

3.1.1 方程的根与函数的零点

自主学习

1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2．理解函数的零点与方程根的关系．

3．掌握函数零点的存在性的判定方法．

1．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的________．

2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__________．

3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．

4．函数零点的存在性的判定方法

如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)________0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)________0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

对点讲练

求函数的零点

【例1】 求下列函数的零点：

(1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.

规律方法 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．

变式迁移1 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．

判断函数在某个区间内是否有零点

【例2】 (1)函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是( )

A．(1,2) B．(2,3) C.1，1e和(3,4) D．(e，＋∞) (2)f(x)＝ln x－2x在x>0上共有________个零点．

规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．

方程的根与函数的零点

【教材分析】

本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指数、对、幂三种基本初等函数，本章是函数应用问题。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()yfx零点就是方程()0fx的实数根，即函数()yfx的图象与x轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()yfx在区间,ab上图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解做了铺垫，起着承上启下的作用。

【教学目标】

1理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3通过本节课的学习，学生体会函数方程思想及数形结合思想的应用。感受学习、探索、发现的乐趣。

【学情分析】

1学生具备的知识与能力

1函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图能力。

2从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。

2 学生欠缺的知识与能力

思维习惯、动手作图能力入观察、归纳、转化等能力都还不强。

【重点难点】 重点：零点的概念；零点存在的判定方法。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。