一道课本习题的变式与延伸

多题一解 殊途同归（专页冀七33期）

河北省滦平县第六中学 宋凤云（王爱东撰稿）（068254）

下面我们从不同的角度对一道课本练习题进行变式，借以使同学们能够达到举一反三、触类旁通的目的，并帮助同学们提高解题的应变能力．

原题：（教材第70页练习题第（2）小题）用加减消元法解方程组：1237.mnmn，①　　②

解：①×3＋②，得510m，所以2m．

把2m代入①，得21n，解得1n．

所以，方程组的解是21mn，．

变式一、变为文字题．

1．已知m与n的差是1，且m的2倍与n的3倍的和是7，求m与n的值．

分析：根据题意，即可转化为原题的方程组．

变式二、根据非负数的性质变式．

2．若∣1mn∣＋2(237)mn＝0，求m、n的值．

分析：因为∣1mn∣≥0，2(237)mn≥0，

所以由∣1mn∣＋2(237)mn＝0，得102370.mnmn，　整理即转化为原题的方程组．

变式三、根据“互为相反数的两个数之和为0”变式．

3．若∣1mn∣与2(237)mn互为相反数，求m、n的值．

分析：因为∣1mn∣与2(237)mn互为相反数，

所以有∣1mn∣＋2(237)mn＝0．这样即转化为变式二的问题．

变式四、结合同类项变式．

4．若单项式72mnab与233mnab是同类项，求m、n的值．

分析：根据同类项的定义可知1mn且237mn．即1237.mnmn，　

变式五、结合一元一次方程变式．

5．若关于x的一元一次方程2237(1)43mnmnxx是一元一次方程，求m、n的值．

分析：由已知易知10mn且2370mn．即1237.mnmn，　 变式六、结合二元一次方程变式．

6．若关于x、y的方程236534mnmnxy是二元一次方程，求m、n的值．

变一变 思考更出彩

——三年级数学“习题练习”案例两则

数学课本中的习题，很多教师通常只重视它的“练习”功能，以习题为载体，练习为手段，强调学生对新学数学知识的“牢固掌握”，而很少留意习题本身所具有的数学魅力，很少去挖掘它所能带给学生“数学思考”方面更多的积极意义和影响。为此，我校数学组确立了“挖掘习题功能，提高教学效率，促进学生发展”小课题研究，开展了积极的探索和尝试，积累了一些经验。在此整理出三年级数学教学中的两个小片段，以作抛砖引玉之势，和大家共研究同思考。

案例一： 变一变“要求”，策略更多样。

练 习： 哪把钥匙开哪把锁？

钥匙 锁

214 372÷4

134 642÷3

93 415÷5

83 804÷6

（苏教版小学数学第五册练习十二）

师：“你能运用哪些学过的知识和方法，快速地打开每把锁呢？”（先独立思考后交流讨论）

生1：372÷4被除数372中的3除以4不够商1，因此，它的商只能是两位数，也就是能选“93”或“83”。再用4×93，4×83看看结果是否等于372，最后发现4×93=372，所以，93这把钥匙能开372÷4这把锁。

生2：372÷4先用3除以4不够商1，就用37除以4，可以商9，而在四把钥匙中只有“93”这把钥匙中有“9”，所以“372÷4”这把锁应用“93”这把钥匙来开。 生3：根据除法可以用乘法来验算，所以我用乘法来算。214×4的积个位数一定是6，214×3积的个位上是2„„，所以214这把钥匙应是开“642÷3”这把锁。

生4：我通过开除法竖式计算得到的，372÷4=93，所以，372÷4应与93连在一起。

„„„„

评析：根据教材的安排意图、教参要求，老师原本可以向学生直接提出要求：请用开竖式的方法计算，找出每把锁的钥匙（以此巩固除数是两位数的除法）。然而教者依据多年来的教学经验知道学生都能按老师的要求顺利地找出每把锁和相应的钥匙，但几乎没有学生会提出不同的方法和见解。究其原因是老师的具体“要求”造成了学生的思维定向。教者吸取教训，改变策略，开放要求，这样启发：“你能运用哪些学过的知识和方法，快速地打开每把锁呢？”注重引导学生通过对问题的深入观察，分析思考，寻找问题与已有知识间的联系，促进他们主动激活认知结构中这些处于“休眠”状态的知识积蓄，为解决问题作好多种准备，寻求多样的解题策略，获取优佳的解决方案。在这样的“要求”下，学生思维活跃，学习气氛热烈,真是白仙过海，各显神通。他们充分展示了自己的才能学识，尽显风采。而学生就在这样的交流中，相互借鉴，相互启发，共同提高，知识不但得以巩固，且学习方式进一步改善，学习数学的成功感得到满足，真是学习乐在其中。

・　３６　・　中学数学月刊　２０１０年第１２期　

歹　用课本例习题的变式提高解题能力　

叶小娟　（江苏省黄桥中学２２５４１１）　

数学课本是数学知识和数学思想方法的载　

体，又是教学的依据．部分高考试题就是以课本例　

习题为素材，通过一定的变形、延伸与拓展而命制　

的．历年的高考试题特别注重发挥教材功能，所以　

我们应回归课本，重视教材，以课本为标准，将课　

本中的题目加以延伸、拓宽、变化，做到举一反三，　

触类旁通，以便切实打好基础．　

本文就以解析几何课本中的几道题为例，来　说明例题和习题变式训练的几种常见方式．　

１　更换题目背景，变换题设条件或结论，引导学　

生全方位、多角度考虑问题　

例１　（苏教版选修２—１第３３页习题２．２（２）　

第６题）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个　

焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率．（图１）　

．ｙ　Ｊ　１　

．　ｋ　ｌ　

一　一　

图ｌ　图２　

变式训练ｌ　从椭圆上一点Ａ看椭圆的两焦　

点Ｆ　，　的视角为直角，ＡＦ　的延长线交椭圆于Ｂ，　

且　一ＡＦ：，则椭圆的离心率为　一图２）　

解　设ＡＦ　２一ｍ，ＡＦ　一”，由ＡＢ—ＡＦ　，得　

ＢＦ１一　一”．　

又由　Ｆ．ＡＦ　＝９０。，得ＢＦ　一，／２ｍ，则由椭　

圆定义知Ⅲ＋”一（Ⅲ一　）＋√２　，　

化简得　＝＝：　ｍ．　

又由于　ｚ＋”ｚ一４ｃｚ，则２ｃ一　ｍ，　一　＝　

．　变式训练２　（２００７年浙江卷文）已知双曲线　

一　一１（ｄ＞０，ｂ＞ｏ）的左、右焦点分别为Ｆ　，　以一　Ｄ　Ｆ　，点Ｐ是准线上一点，且ＰＦ　＿上＿ＰＦ　ｚ，ｌ　ＰＦ　『×　

Ｉ　ＰＦ　ｌ一４ａｂ，则双曲线的离心率是　．　

变式训练３　（２００９年江苏卷１３题）如图３。　在平面直角坐标系ｘＯｙ　

中，Ａ】，Ａ　２，Ｂ１，Ｂ２为椭　

２　．２　圆　＋告一１（口＞ｂ＞　以０　０）的四个顶点，Ｆ　为其　

右焦点，直线Ａ　Ｂ　与直　

线Ｂ　Ｆ　相交于点Ｔ，线　丁

‘　

／Ｆ，　｝　－Ｘ　Ｌ／　Ｄ　

图３　

段（玎与椭圆的交点Ｍ恰为线段。丁的中点，则　

ＣＨＵＺＨｏＩ、ＩＧＳＨＥＮＧＳＨｌＪＩＥ　

每年中考数学试题有将近３０％的题目　出自课本中的典型例题、练习题、习题或　复习参考题，因此．同学们要做透课本中　的典型例题和习题．要善于用联系的观点　研究课本中题目的变式．善于在课本中寻　找中考题的“影子”．探索试题与课本题目　的结合点．必要时再将这些问题做恰当的　分解或整合、延伸或拓展，努力使课本知识　更加丰富鲜活．本文从课本的一道习题出　发，通过对其变式、探究、推广，做到举一反　三．供同学们学习参考．　原题　（苏科版教材九年级下册第八　章第２节练习）某班５Ｏ名同学的身高如下　（单位：ｅｍ）：　

（１）本次调查中，一共调查了——名　同学；　（２）条形统计图中，ｍｉ　，　；　（３）扇形统计图中，艺术类读物所在扇　形的圆心角是——度；　（４）学校计划购买课外读物６　０００￣－，　请根据样本数据，估计学校购买其他类读　物多少册比较合理？　【考点】条形统计图；用样本估计总体；　扇形统计图．　【分析】此题主要考查了条形统计图、　扇形统计图和用样本估计总体的综合应　用．将条形图与扇形图结合得出正确信息　求出调查的总人数是解题关键．　（１）结合两个统计图，根据条形图得出　３７　文学类人数为７０．利用扇形图得出文学类所　占百分比为３５％．即可得出总人数：而本题　的关键和解题桥梁就是求出总人数．　（２）利用科普类所占百分比为３０％．则　科普类人数为ｎ：２００ｘ３０％＝６０人．即可得出　ｍ的值为４０．　（３）艺术类读物所在扇形的圆心角是　×３６０。：７２。．　２００　（４）根据喜欢其他类读物人数所占的　百分比．即可估计６　０００册中其他读物的数　量．　×６　０００：９００（４ｂ￣－）．　２００　（作者单位：苏州市相城区黄桥中学）　

Ｔ　ｎｔｅｌＩｉｇｅｎｔ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　

１■麓数学　Ｃ　Ｈ　Ｕ　Ｚ　Ｈ　ｏ　Ｉ＼Ｉ　Ｇ　Ｓ　Ｈ　Ｅ　Ｎ　Ｇ　Ｓ　Ｈ　ｌ　Ｊ　ｌ　Ｅ　１５０，１４８，１５９，１５６，１５７，１６３，１５６，１６４，　１５６，１５９，１６９，１６３，１７０，１６２，１６３，１６４，１５５，　１６２，１５３，１５５，１７７，１６５，１６０，１６１，１６６，１５９，　１６１，１５７，１５５，１６７，１６２，１６５，１５９，１４７，１６３，　１７２，１５６，１６５，１５７，１６４，１５２，１５６，１５３，１６４，　１６５，１６２，１６７，。１５１，１７５，１６２．　（１）计算这５０名同学身高的平均数和　方差：　（２）请用简单随机抽样方法，分别抽取　样本容量为２０的两个样本，并分别计算这　两个样本平均数和方差，它们的结果一致　吗？与总体的结果一致吗？　【解析】（１）平均数为１６０．５８　ａｍ，方差为　４０．４０３　６　ａｍ　；　（２）用简单随机抽样方法．得到的样　本一为：　１５０，１５１，１６０，１６６，１７２，１６７，１６５，１５６，　１５３，１６７，１５９，１６４，１６４，１５７，１７５，１５７，１６２，　１６１，１５６，１５９．　平均数为１６１Ｄ５　ａｍ．方差为４１２４７　５　ａｍｚ．　大体上与总体一致．　样本二为：　１５９，１６２，１６５，１６２，１５５，１４８，１６２，１５６，　１７７，１６４，１５９，１５６，１６３，１６１，１６５，１５５，１６３，　１５３，１５２，１６３．　平均数为１６０　ｃｍ．方差为３６．８　ｅｍ２．大　体上与总体一致．　说明：本题是典型的统计知识应用问　题．考查了平均数、方差等反映一组数据集　中或离散程度的统计量．抽样的方法和用　样本估计总体的统计思想．下面对本题涉　及的相关统计知识作适当的拓展探究．　延伸１：数据集中程度　例１　某中学数学兴趣小组１２名成员　的年龄情况如下：　年龄（岁）　１２　１３　１４　１５　１６　人数　１　１　３　５　２　则这个小组成员年龄的平均数是　一，中位数是——．　【解析】本题考查加权平均数和中位数，　典型的错误是误认为只有５个数据．从而得　到平均数为　＝＿＝－１（１２＋１３＋１４＋１５＋１６）＝１４，　３　中位数为１２、１３、１４、１５、１６最中间的数１４．　其实，本题中共１２个数据，正确解法为平均　数　＝　一（１２ｘ１＋１３Ｘ１＋１４￣３＋１５￣５＋１６ｘ２）　ｌ２　＝１４．５，中位数为第６和第７个数的平均数，　即　堡：１５．　例２某公司员工的月工资如下表：　员工　经理　副经理　会计　职员　人数　１　２　１　２０　人均月工资／元　３０　０００　２０　０００　１０　０００　３　Ｏ００　则这组数据的平均数、众数、中位数中　哪个统计量能客观描述该公司员工的总体　收入情况．　【解析】这组数据的平均数为５　０００元、　众数３　０００元、中位数３　０００元．由于这组数　据中个别数据明显偏大．不宜用平均数５　０００　元反映这组数据的集中程度．为了排除个　别偏大数据对整组数据的影响．可采用中　位数３　０００元（反映中等水平）或众数３　０００元　（反映多数水平）描述这组数据的集中程度．　延伸２：数据离散程度　例３下面是甲、乙两人１０次射击成绩　（环数）的条形统计图，则下列说法正确的　是（　）．