6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
(教师独具内容)
课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．
教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．
教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．
核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.
1．对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
2．判定三角形的形状
(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：
①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．
②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．
(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：
①在△ABC中，若a2
②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.
③在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°b2＋c2.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( )
(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )
(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( )
2．做一做
(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝____.
(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形．
(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为____.
(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于____.
1 / 4 1.2 余弦定理
教学目标：
1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
教学重点：
重点是余弦定理及其证明过程．
教学难点：
难点是余弦定理的推导和证明．
教学过程：
1. 创设情景，提出问题．
问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A，B两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．
设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．
2. 构建模型，解决问题．
学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．
法1：（构造直角三角形）
如图2，过点A作垂线交BC于点D，则
｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，
｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，
所以， 22||||||BDADAB
CBCACBCACcos||||2||||22． 图1 A B
图2 DACB2 / 4 法2：（向量方法）
如图3，因为ABACCB，
所以，22()ABACCB
222cos(),ACCBACCBC
即 CBCACBCACABcos||||2||||||22．
法3：（建立直角坐标系）
建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），
B （｜BC｜, 0），
根据两点间的距离公式，可得
22)0sin|(||)|cos|(|||CACBCCACAB，
所以，CBCACBCACABcos||||2||||||22．
《余弦定理教案》PPT课件
第一章：余弦定理的概念与背景
1.1 余弦定理的定义
介绍余弦定理的定义和表达式
解释余弦定理在几何学中的应用
1.2 余弦定理的证明
简要介绍余弦定理的证明过程
解释余弦定理的证明方法及其合理性
第二章：余弦定理在三角形中的应用
2.1 三角形中的边长关系
利用余弦定理求解三角形中的边长
解释余弦定理在解决三角形边长问题时的作用
2.2 三角形中的角度关系
利用余弦定理求解三角形中的角度
解释余弦定理在解决三角形角度问题时的作用
第三章：余弦定理在三角形的判定中的应用
3.1 三角形的判定条件
利用余弦定理判定三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）
解释余弦定理在三角形判定中的重要性
3.2 三角形的判定实例
提供一些实例，让学生通过余弦定理进行三角形的判定
引导学生运用余弦定理解决实际问题 第四章：余弦定理在实际问题中的应用
4.1 实际问题引入
通过引入一些实际问题，引发学生对余弦定理的思考
解释余弦定理在解决实际问题中的应用价值
4.2 实际问题解决方法
提供一些实际问题，让学生运用余弦定理进行解决
引导学生将余弦定理应用于实际问题的解决中
强调余弦定理在几何学中的重要性和广泛应用
5.2 余弦定理的拓展
介绍一些与余弦定理相关的拓展知识
引导学生进一步学习和研究余弦定理的更多内容
第六章：余弦定理的图形解释
6.1 余弦定理的直观理解
通过图形演示，解释余弦定理的几何意义
强调图形在理解余弦定理中的应用
6.2 余弦定理的图形应用
提供一些图形实例，让学生通过余弦定理进行分析和解释
引导学生运用余弦定理解决图形相关问题
第七章：余弦定理的变换与性质
7.1 余弦定理的变换
介绍余弦定理在不同变换下的性质和应用
解释变换对余弦定理的影响和变化规律 7.2 余弦定理的性质
介绍余弦定理的一些基本性质
引导学生理解和运用余弦定理的性质解决相关问题
第八章：余弦定理与其他数学概念的联系
1.1.2 余弦定理
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;
2.余弦定理在解三角形时的应用思路;
3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．
教具准备 幻灯片
三维目标
一、知识与技能
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;
2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;
3.能利用计算器进行运算.
二、过程与方法
1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;
2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
三、情感态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．
教学过程
导入新课
师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.
在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.
师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.
解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得
a2=CD2+BD2.
