解析⼏何之⼆次型
解析⼏何之⼆次型
Abstract. 通过⼆次多项式的形式把⼆次曲线和⼆次曲⾯之间的求交问题统⼀成对将参数⽅程代⼊隐式⽅程得到问题的求解。
Key Words. Quadratic Form, Conic, Analytical Intersection
1. Introduction
⼆次型（quadratic form）：n个变量的⼆次多项式称为⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之⼀，它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。⼆次型理论与域的特征有关。
⼆次型是n个变量上的⼆次齐次多项式。下⾯给出⼀个、两个、和三个变量的⼆次形式：
其中a, ...,f是系数。注意⼀般的⼆次函数和⼆次⽅程不是⼆次形式的例⼦，因为它们不总是齐次的，可能包含⼀次项和常数项。
⼏何造型中的圆锥曲线Conic Curve与⼆次曲⾯Quadric是⼀般的⼆次⽅程，⽅程分别为：
在学习《线性代数》时也有关于⼆次型及其标准型的内容，在同济第四版《线性代数》书中这样写到“⼆次型及其标准型，这样⼀个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到，现在我们把这类问题⼀般化，讨论n个变量的⼆次齐次多项式的化简问题。” 学这个有什么⽤啊？能解决哪些实际问题？下⾯我们看看⼆次型在实际问题中的应⽤。
2. Classification
在《⼯程技术中的偏微分⽅程》⼀书中，有⼆次型的⼀个应⽤，即对⼆次线性⽅程的分类Classification。我们从实际问题出发，可以推导并建⽴热传导⽅程，波动⽅程和Laplace⽅程，同时指出他们分别是抛物型、双曲型和椭圆型三类⽅程的典型代表。设有⼆阶线性⽅程
在解析⼏何中，XOY平⾯上的⼆次曲线⽅程的⼀般形式：
通过适当的坐标变换可以将上式化简成椭圆、双曲线和抛物线的标准⽅程，即对于任意⼆次圆锥曲线，都可以通过化成标准型的⽅法来判断圆锥曲线的类型。根据不同的类型，选择不同的求解⽅法。
化二次型为标准型的方法
二、 二次型及其矩阵表示
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax2bxycyf. （1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴（反时针方向转轴） ''''xxcosysinyxsinycos （2）
把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P是一数域，一个系数在数域P上的12nx,x,...,x的二次齐次多项式22212n11112121n1n2222n2nnnnf(x,x,...,x)ax2axx...2axxax...2axx...ax
称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12nx,x,...,x；12ny,y,...,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
11111221nn22112222nn33113223nnnn12n22nnnxcycy...cyxcycy...cyxcycy...cy...........xcycy...cy （4）
称为由12nx,x,...,x到12ny,y,...,y的一个线性替换，。如果ijc0，那么线性替换（4）就称为非退化的。
化二次型为标准型的方法
二、二次型及其矩阵表示
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程
ax2 +2bxy+ cy2 = f .
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方
把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况.
（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。
设P是一数域，一个系数在数域P上的X“X2，...,Xn的二次齐次多项式
f（X],x^,・・・,Xn） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.xn +... + 2a. x?xn +... + an xn2
J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n
称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设xpx2,...,xn； y,,y2，…,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式
x1=cI1yI+c12y2+...clnyn
x2=c2iyi+c22y2+-c2nyn
X3=C3iyi+C32y2+-C3nyn （4）
/n=Cniy2+Cn2y2+-Cnnyn
称为由X|,X2，...,Xn到力必，…,yn的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就
称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另
, i
f（xpx2,...,xn） = a11x12 +2a12X!X2 +... +2alnX!Xn +a22x22 +... + 2a2nx2xn +... + annxn2
n n
= Z»,jXjXj
j—1
化二次型为标准形的几种方法
摘 要
二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．
关键词：正交变换法 配方法 初等变换法 雅可比方法 偏导数法
reduce the quadratic forms to the
standard forms
Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of
quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This
is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard
form of orthogonal transform method, method: match method, elementary
transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces
several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate
examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method
