高考文科数学一轮总复习第三章导数与函数的极值、最值

第三节
导数与函数的极值、 最值
教 材 研 读
1.函数的极值与导数 2.函数的最值与导数
考 点 突 破
考点一 考点二
利用导数研究函数的极值 利用导数求函数的最值
考点三 利用导数求解函数的极值和最值的综合问题
教材研读
1.函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值
象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( D )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
答案 D
解析 由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f '(x)>0;当-2<x<1时,0<1-x<3,此 时f '(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f '(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f '(x)>0, 函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大
极大值和极小值统称为极值.
▶提醒 f '(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3, f '(0)=0,但x=0不是极值点.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:

A.-
)
关闭
∵f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.
∴f(x)在区间[-1,0)上是增函数,在区间(0,1]上是减函数.
∴f(x)max=f(0)=2.
关闭
C
解析
答案
-9知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
6
4.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(
A.(0,1)
B.(1,+∞)
考点 1
导数与函数的单调性(多考向)
考向一 讨论函数的单调性或求单调区间
1+
例1已知函数f(x)=x-aln x,g(x)=- (a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)的极值;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间.
思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?
②求导数y'=f'(x);
③解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
④解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
-19考点1
考点2
考点3
(2)方法二:①确定函数y=f(x)的定义域;
②求导数y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根;
2
(1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1- (x>0),
可知 f(1)=1,f'(1)=-1,
故曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1),
即 x+y-2=0.

[基础题组练]1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14解析：选C.因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内是增加的； ②当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； ③函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内是增加的； ④当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值． 则上述判断正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②④D ．③④解析：选B.对于①，函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内有增有减，故①不正确； 对于②，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故②正确；对于③，当x ∈(－2，2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上是增加的，故③正确； 对于④，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故④不正确．3．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．2ln 2－2 C ．eD ．2－e解析：选B.函数f (x )定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝1，f (x )＝2ln x －x ，令f ′(x )＝2x －1＝0，解得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以当x ＝2时函数取得极大值，极大值为2ln2－2.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3解析：选B.设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎨⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120. 设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∈(0，80)时，y ′＞0；当x ∈(80，120)时，y ′＜0.因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.5．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上是增加的，无极值点．6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋4在x ＝ 处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.列表x(－∞，0)(0，2)2(2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值答案：27．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1.若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，结合题意f ′(1)＝3a ＋9＝6，解得a ＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）>0，f ′（3）>0，解得－337<a <－3.答案：－1 ⎝⎛⎭⎫－337，－3 8．(2020·河南驻马店模拟)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝________，f (x )的极小值为________．解析：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x .令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )为增函数，当－2<x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.答案：0 －e9．(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝mx －nx－ln x ，m ∈R .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，求实数n 的值； (2)试讨论函数f (x )在区间[1，＋∞)上的最大值．解：(1)由题意得f ′(x )＝n －x x 2，所以f ′(2)＝n －24.由于函数f (x )的图像在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，所以n －24＝1，解得n ＝6.(2)f ′(x )＝n －xx2，令f ′(x )<0，得x >n ；令f ′(x )>0，得x <n .①当n ≤1时，函数f (x )在[1，＋∞)上是减少的， 所以f (x )max ＝f (1)＝m －n ；②当n >1时，函数f (x )在[1，n )上是增加的，在(n ，＋∞)上是减少的，所以f (x )max ＝f (n )＝m －1－ln n . 10．(2019·高考江苏卷节选)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )·(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3，1，3}中，求f (x )的极小值． 解：(1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2， 从而f ′(x )＝3(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＋b 3.令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b 3. 因为a ，b ，2a ＋b 3都在集合{－3，1，3}中，且a ≠b ，所以2a ＋b 3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1.列表如下：x (－∞，－3)－3 (－3，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值2[综合题组练]1．(2020·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数解析：选C.f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)·(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点．又e －2≠3×(－2)＋2＝－4.所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是 ．解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 3．已知函数f (x )＝e x ＋2x.(1)求函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)证明：f (x )仅有唯一的极小值点． 解：(1)因为f ′(x )＝e x （x －1）－2x 2，所以k ＝f ′(1)＝－2.又因为f (1)＝e ＋2，所以切线方程为y －(e ＋2)＝－2(x －1)，即2x ＋y －e －4＝0.(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ·x ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0.当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0，所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点． 当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0，所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点． 又因为h (x )在(0，＋∞)上是增加的， 所以f (x )仅有唯一的极小值点．4．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0)． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.又a >0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )是增加的， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )是减少的．所以函数y ＝g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上是增加的，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内是减少的，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上是增加的． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意．②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )是减少的，不符合题意．③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.。

2020年高考文科数学一轮总复习：导数与函数的极值、最值第3讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3．极值与最值的区别与联系极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()(5)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√(教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个．所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点． 函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－e解析：选C.函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1x －1＝1－x x ，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e]时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.答案：2(教材习题改编)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________．解析：y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0， 又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，解得x ＝π6，则当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′＞0；当x ∈⎝⎛⎦⎤π6，π2时，y ′<0，故函数y ＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取得最大值π6＋ 3.答案：π6＋3函数的极值问题(多维探究) 角度一 求已知函数的极值已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．【解】 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a >0时，函数在x ＝1a 处有一个极大值点．利用导数研究函数极值问题的一般流程角度二 已知函数的极值求参数值(范围)(2018·高考北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． 【解】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0; 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒] 若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．1．(2019·梅州期末)已知函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C.由函数y ＝f (x )导函数的图象可知：当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当－1<x <3或x >5时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)； 单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，f (x )在x ＝－1，5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值， 故选项C 错误，故选C.2．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a －b ＝________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9， 经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案：－73．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ≥0)．(1)当a ＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0，1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )>0，解得x <13或x >1；令f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a >0时，f ′(x )≥0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0， 解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞.函数的最值问题(师生共研)(2019·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[1e ，e]上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．【解】 (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx 2，所以f ′(x )＞0⇒0<x <1，f ′(x )<0⇒x ＞1，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在[1e ，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e]上的极大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又f (1e )＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f (1e )<f (e)．所以f (x )在[1e，e]上的最大值为0，最小值为2－e.求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．1．(2019·吉林模拟)函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A.1e B.2e 2 C ．0D.12e解析：选A.易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0，2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得1＜x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝xe x 在[0，2]上的极大值是y |x ＝1＝1e ，又因为y |x ＝0＝0，y |x ＝2＝2e 2，且0＜2e 2＜1e ，故y ＝x e x 的最大值为1e，故选A.2．已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，所以f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，所以对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.函数极值与最值的综合应用(师生共研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x（e x ）2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点， 且f ′(x )与g (x )的符号相同．又因为a >0.所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者， 而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①由(1)知，当－1≤x <1时，函数f (x )在[－1，0)和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎭⎫0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0； 当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.[基础题组练]1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14解析：选C.因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．e解析：选C.f ′(x )＝a e x －cos x ，若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值， 则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1， 经检验a ＝1符合题意， 故选C.3．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3解析：选B.设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎪⎨⎪⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120. 设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∈(0，80)时，y ′＞0；当x ∈(80，120)时，y ′＜0.因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D.由题图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2<x <1时，0<1－x <3，此时f ′(x )<0；当1<x <2时，－1<1－x <0，此时f ′(x )<0；当x >2时，1－x <－1，此时f ′(x )>0，由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋4在x ＝________处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.列表：答案：26．若函数f (x )＝x 3－12x ＋a 的极大值为11，则f (x )的极小值为____________． 解析：函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2或x 2＝2.列表：5， 当x ＝2时，函数有极小值f (2)＝－16＋a ＝－16－5＝－21. 答案：－217．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －bx ，f (1)＝a ＝1，f ′(1)＝2a －b ＝0，将a ＝1代入2a －b ＝0，解得b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝x 2－2ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－2x， 令f ′(x )>0，解得x >1，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值．8．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[1e，e]上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝a x－2bx ， 因为函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x， 当1e≤x ≤e 时，令f ′(x )>0， 得1e≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，所以f (x )在[1e，1)上单调递增；在(1，e]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (1)＝－12. [综合题组练]1．(2019·南昌第一次模拟)已知奇函数f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导函数，若x ＞0时，f ′(x )＞0，则( )A ．f (0)＞f (log 32)＞f (－log 23)B ．f (log 32)＞f (0)＞f (－log 23)C ．f (－log 23)＞f (log 32)＞f (0)D ．f (－log 23)＞f (0)＞f (log 32)解析：选C.因为f ′(x )是奇函数，所以f (x )是偶函数．所以f (－log 23)＝f (log 23)，而log 23＞log 22＝1，0＜log 32＜1，所以0＜log 32＜log 23.又当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＜f (log 32)＜f (log 23)，所以f (0)＜f (log 32)＜f (－log 23)．2．若函数f (x )＝13x 3－x 在(t ，8－t 2)上有最大值，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－3，－6)B ．(－2，－3)C ．(－3，－6]D ．(－2，－3]解析：选C.因为f ′(x )＝x 2－1，所以当x ∈(－∞，－1)和(1，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－1，1)时，f (x )单调递减，故x ＝－1是函数f (x )的极大值点．又函数f (x )在(t ，8－t 2)上有最大值，所以t ＜－1＜8－t 2，又f (－1)＝f (2)＝23，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以f (8－t 2)≤f (2)，从而t ＜－1＜8－t 2≤2，得－3＜t ≤－ 6.3．设m ，n 是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若2∈(m ，n )，则实数a 的取值范围是______．解析：由已知得，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2，因为函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 有两个极值点m ，n ，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2有两个零点m ，n ，又因为2∈(m ，n )，所以有f ′(2)＝12－8a ＋a 2<0，解得2<a <6.答案：(2，6)4．若函数f (x )＝x ln x －a 2x 2－x ＋1有两个极值点，则a 的取值范围为________． 解析：因为f (x )＝x ln x －a 2x 2－x ＋1(x >0)， 所以f ′(x )＝ln x －ax ，f ″(x )＝1x－a ＝0， 得f ′(x )有极大值点x ＝1a， 由于x →0时f ′(x )→－∞；当x →＋∞时，f ′(x )→－∞，因此原函数要有两个极值点，只要f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a－1>0， 解得0<a <1e. 答案：⎝⎛⎭⎫0，1e5．(综合型)(2019·河南郑州模拟)已知f (x )＝x ln x －a 2x 2(a ＞0)． (1)若a ＝1，判断函数f (x )的单调性；(2)若g (x )＝f (x )＋(a －1)x 在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x ln x －12x 2，f ′(x )＝1＋ln x －x ， 设φ(x )＝f ′(x )，则φ′(x )＝1x －1＝1－x x， 当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又φ(1)＝0，所以当x ＞0时，φ(x )≤0即f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)由已知得g (x )＝x ln x －a 2x 2＋(a －1)x ，则g ′(x )＝ln x －ax ＋a ， 记h (x )＝ln x －ax ＋a ，则h (1)＝0，h ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ，令h ′(x )＝0，得x ＝1a. ①若0＜a ＜1，则1a＞1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，h ′(x )＞0，故函数h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 且当x ∈(0，1)时，h (x )＜h (1)＝0，即g ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，h (x )＞h (1)＝0，即g ′(x )＞0，又g ′(1)＝0，所以g (x )在x ＝1处取得极小值，不满足题意．②若a ＝1，则当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，故h ′(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (1)＝0，即g ′(x )≤0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意．③若a ＞1，则0＜1a＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，h ′(x )＜0，故h (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，且当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，h (x )＞h (1)＝0，即g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜h (1)＝0，即g ′(x )＜0，又g ′(1)＝0，所以g (x )在x ＝1处取得极大值，满足题意．综上，实数a 的取值范围是(1，＋∞)．6．(2019·南昌市摸底调研)设函数f (x )＝ln x －2mx 2－n (m ，n ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有最大值－ln 2，求m ＋n 的最小值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －4mx ＝1－4mx 2x， 当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m ＞0时，令f ′(x )＞0得0＜x ＜m 2m ，令f ′(x )＜0得x ＞m 2m ， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫m 2m ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当m ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫m 2m ，＋∞上单调递减． 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫m 2m ＝ln m 2m －2m ·14m －n ＝－ln 2－12ln m －12－n ＝－ln 2， 所以n ＝－12ln m －12，所以m ＋n ＝m －12ln m －12， 令h (x )＝x －12ln x －12(x ＞0)，则h ′(x )＝1－12x ＝2x －12x， 所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 所以h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝12ln 2，所以m ＋n 的最小值为12ln 2.。