材料力学第五章-2

材料力学
第五章 弯曲内力
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材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示

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第5章 弯曲变形
连续条件：分段处挠曲线应满足的连续、光滑条件
F
A
C
B
$ 挠曲线在C点连续且光滑
连续: w左 w右
光滑: 左 右
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第5章 弯曲变形
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
F
A B x
Fx2l Fx3 挠曲线方程 w 2 EI 6 EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，
以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
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第5章 弯曲变形
可见该梁的max和wmax均在x=l的自由端处。于是有
max
wmax
Fl 2 Fl 2 Fl 2 | x l EI 2 EI 2 EI Fl 3 Fl 3 Fl 3 w | x l 2 EI 6 EI 3EI
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第5章 弯曲变形
由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有
b l F l a EIw2 | x l F C2 l 0 l b 6
3 3
即
Fb 2 C2 l b2 6l


从而也有
C1
Fb 2 l b2 6l
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求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分
常数。
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第5章 弯曲变形

A
EI z
aB L
y 连续条件
Me
x
C
共有四个积分常数 边界条件
x0
xaL
A 0 A 0 C 0
xaB1 B2EI 2Fb 6Lx3
1 6
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1Da1 D22 a 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb32Ca1L3C1aCC2F1Lb2 D6FxL1b26FL2FLb3L12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF162aFa3aFaCba22L6L23LC0bC2 22a D2
d 2
dx 2
M (x) EI Z
o
xo
x
M
M
d2y dx 2
0
M
M
d2y dx 2
0
y
y
d 2
dx 2
M (x) EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2
dx 2
M (x) EI Z
A
C
Bx
C y
d
dx
B
M (x) EI Z
dx
C1
tan d
dx
M (x) EI Z
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截
EI z 2
x
A
L2
B
L2
C
y
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
边界条件
x0
连续条件
A 0 A 0
x L 2
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分 方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边 界条件

2,应力集中 ,
应力集中现象:由于截面骤变而引起的局部应力发 应力集中现象:
生骤然变化的现象. 生骤然变化的现象.
理想应力集中系数:
σ max kσ = σ nom
其中: 其中:σ max ----最大局部应力 最大局部应力
σ nom ----名义应力(平均应力) 名义应力( 名义应力 平均应力)
FRD = 50kN
再求杆CD的轴力FN,由节点D的平衡方程图
FRD 2 = FN =1.5FRD = 75KN FN 3
75×103 N A= = = 6×102 m2 [σ ] 125×106 Pa 125× FN
从而算出该杆所必须具有的直径
4A = 4×6×102 m2 / π = 27.6×103 m架上作用一力F=150kN,其尺寸及计算
简图如图所示, =125MPa. 简图如图所示,已知材料的许用应力 [σ ] =125MPa. 的直径. 试选择杆CD的直径.
解:属于第二类强度问题:设计截面的尺寸. 首先求支座D的约束力FRD, 由 平衡方程
∑M
得
A
= 0 6FRD-2F=0
的关系. 解:先求杆AB和BC的轴力与外载荷F的关系. 如图( 如图(b)节点B的平衡方程为
∑F
y
= 0 ,FN1- Fcos30°=0
N2-
∑F = 0 ,-F
x
Fcos60°=0
解得 FN1=0.866F,FN2 = - 0.5F
(a)
1.属于第一类强度问题:强度校核. 1.属于第一类强度问题:强度校核. 属于第一类强度问题
全应力: 斜截面----是指任意方位的截面. ①全应力: 是指任意方位的截面. 是指任意方位的截面