第五章 材 料 力 学

◆三、剪应力互等定理与剪切虎克定律
（一）纯剪切 若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力，称为纯剪切。 纯剪切引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。 （二）剪应力互等定理
在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总
是大小相等，且共同指向或背离这一交线（见图5−10），即 （三）剪切虎克定律
是衡量塑性材料强度的一个重要指标。对于无明显屈服阶段的其他塑性材料，
工程上将产生0.2%塑性应变时的应力作为名义屈服极限，并用ζ0.2表示。
3. 强化阶段（ce 段） 在该段，应力又随应变增大而增大，故称强化。该段中的最高点e 所对应的应 力乃材料所能承受的最大应力ζb，称为强度极限，它是衡量材料强度（特别
式中 α ——由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正； Aα ——斜截面mm 的截面积； ζ0 ——横截面上的正应力。 ζα拉应力为正，压应力为负。ηα以其对截面内一点产生顺时针力矩时为正，反之为负。 轴向拉压杆中最大正应力发生在α=0°的横截面上，最小正应力发生在α=90°的纵截面上， 其值分别为
图5−4 截面法的示意图
（四）轴力图 轴力图表示沿杆件轴线各横截面上轴力变 化规律的图线。
例5−1 试作图5−5（a）所示等直杆的轴
力图。 解：先考虑外力平衡，求出支反R=10kN
显然NAB=10kN,NBC=50kN,NCD=−5kN，
NDE=20kN 由图5−5（b）可见，某截面上外力的大小 等于该截面两侧内力的变化。
图5−5 例5−1图 （a）外力图；（b）轴力图
◆三、轴向拉压杆横截面上的应力 分布规律：轴向拉压杆横截面上的应力垂直于截面，为正应力， 且正应力在整个横截面上均匀分布，如图5−6 所示。 正应力公式
式中 N ——轴力，N； A ——横截面面积，m2。 应力单位为N/m2，即Pa，也常用1MPa=106Pa=1N/mm2。 ◆四、轴向拉压杆斜截面上的应力 斜截面上的应力均匀分布，如图5−7 所示，其总应力及应力分量如下。 总应力
（2）平面弯曲。荷载作用面（外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面）与弯曲平
面（即梁轴线弯曲后所在平面）相平行或重合的弯曲。 产生平面弯曲的条件： 1）梁具有纵对称面时，只要外力（横向力或外力偶）都作用在此纵对称面内。
是脆性材料）的另一重要指标。在强化阶段中，绝大部分的变形是塑性变形，
并发生“冷作硬化”的现象。 4. 局部变形阶段（ef 段）
在应力到达e 点之前，试件标距内的变形是均匀的；但当到达e 点后，试件的
变形就开始集中于某一较弱的局部范围内进行，该处截面纵向急剧伸长，横 向显著收缩，形成“颈缩”；最后至f 点试件被拉断。 试件拉断后，可测得以下两个反映材料塑性性能的指标。 （1）延伸率
式中n 是一个大于1 的系数，称为安全 系数，其数值通常由设计规范规定；而极限 应力ζu则要通过材料的力学性能试验才能确 定。这里主要介绍典型的塑料性材料低碳钢 和典型的脆性材料铸铁在常温、静载下的力 学性能。 （一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质 低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下的钢称为低 碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的ζ—ε 曲 线如图5−1 所示。
◆一、静矩与形心
显然，若z 轴过形心，yc=0，则有Sz=0，反之亦然；若y 轴过形心，zc=0，则有Sy=0，反之亦然。
◆二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积
图5−15 截面图形
（5−40）
◆三、平行移轴公式
若已知任一截面图形（图5−16）形心为c，面积为A，对形心轴zc和yc的惯性矩为Izc
图5−9 剪切的力学模型
（4）剪力Q。剪切面上的内力，其作用线与剪切面平行。
（二）剪切实用计算 （1）名义剪应力。假定剪应力沿剪切面是均匀分布的， 若AQ为剪切面面积，Q 为剪力，则
（2）许用剪应力。按实际构件的受力方式，用试验的方法求得名义剪切极
限应力η0，再除以安全系数n。 （3）剪切强度条件。剪切面上的工作剪应力不得超过材料的许用剪应力 （二）挤压实用计算 （1）名义挤压应力。假设挤压力在名义挤压面上均匀分布，即 式中 Abs——名义挤压面面积。 当挤压面为平面时，名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积；当挤压 面为曲面时，则名义挤压面面积取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投 影面积。 （2）许用挤压应力。根据直接试验结果，按照名义挤压应力公式计算名义 极限挤压应力，再除以安全系数。 （3）挤压强度条件。挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应 力，即
（二）分析问题和解决问题 分析问题和解决问题思路如下：
◆二、杆的四种基本变形
杆的四种基本变形如表5−1 所列。 表5−1
杆的四种基本变形
◆三、材料的力学性质 在表5−1 所列的强度条件中，为确保构件不致因强度不足而破坏，应使 其最大工作应力ζmax不超过材料的某个限值。显然，该限值应小于材料的极 限应力ζu，可规定为极限应 力ζu的若干分之一，并称之为材料的许用应力，以［ζ］或［η］表示，即
◆六、轴向拉压杆的变形 虎克定律 （一）轴向拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸时，轴向伸长，横向缩短，见图5−8；而在轴向压缩时， 轴向缩短，横向伸长。
第三节 剪 切 和 挤 压
◆一、剪切的实用计算 （一）剪切的概念 力学模型如图5−9 所示。 （1）受力特征。构件上受到一对大小相等、方向相反， 作用线相距很近，且与构件轴线垂直的力作用。 （2）变形特征。构件沿两力的分界面有发生相对错动的 趋势。 （3）剪切面。构件将发生相对错动的面。
◆三、圆杆扭转时的剪应力与强度条件
（一）横截面上的剪应力
（1）剪应力分布规律。横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半径，其
值与该点到圆心的距离成正比，见图5−13
图5−12 扭矩及其正负号规定
图5−13 圆杆扭转时横截面上的剪应力
◆四、圆杆扭转时的变形 刚度条件
第五节 截面图形的几何性质
式中 P ——传递功率，kW； n ——转速，r/min。
◆ 二、扭矩和扭矩图 （1）扭矩。受扭杆件横截面上的内力是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭
矩，用T 表示，见图5−12，其值用截面法求得。
（2）扭矩符号。扭矩T 的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，若矢量的指向与截
面外向法线的指向一致时扭矩为正，反之为负。图5−12 中所示扭矩均为正号。
式中 l0——试件原长； l1——拉断后的长度。 工程上规定δ≥5%的材料称为塑性材料，δ＜5%的称为脆性材料。 （2）截面收缩率
式中 A0——变形前的试件横截面面积；
A1——试件拉断后的最小截面积。 低碳钢压缩时的ζ—ε 曲线与拉伸时
对比可知，低碳钢压缩时的弹性模量E、
比例极限ζP和屈服极限ζS与拉伸时大 致相同。 （二）铸铁拉伸与压缩时的力学性质 铸铁拉伸与压缩时的ζ—ε 曲线如图5−2 所示。
（1）受力特征。杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反， 作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。 （2）变形特征。杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任 意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。 （3）扭转角ϕ。杆件任意两横截面间相对转动的角度。 （二）外力偶矩的计算 图5−11 扭转力学模型
轴所传递的功率、转速与外力偶矩（kN· m）间有如下关系
图5−2 铸铁拉伸、压缩的力学性质
从铸铁拉伸时的ζ—ε 曲线中可以看出，它没有明显的直线部分。因 其拉断前的应变很小，因此工程上通常取其ζ—ε 曲线的一条割线的斜率，
作为其弹性模量。它没有屈服阶段，也没有颈缩现象（故衡量铸铁拉伸
强度的唯一指标就是它被拉断时的最大应力ζb），在较小的拉应力作用 下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁是一种典型的脆性材料。 铸铁压缩时的ζ—ε曲线与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比 抗拉能力强得多，其塑性变形也较为明显。破坏断口为斜断面，这表明 试件是因ηmax的作用而剪坏的。 综上所述，对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限ζS（或名义屈 服极限 ζ0.2）作为极限应力ζu的值；而对脆性材料制成的杆，应该取强度 极限ζb作为极限应力ζu的值。
最大剪应力发生在α=±45°的斜截面上，最小剪应力发生在α=0°的横截
面和α=90°的纵截面上，其值分别为 ◆五、强度条件 （一）许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 脆性材料 式中 ζS ——屈服极限；
ζb ——抗拉强度；
nS、nb ——安全系数。
（二）强度条件 构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为
第五章 材 料 力 学
主讲：钱民刚
第一节 概 论
材料力学是研究各种类型构件（主要是 杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提 供了有关的基本理论、计算方法和试验技 术，使我们能合理地确定构件的材料、尺
寸和形状，以达到安全与经济的设计要求。
◆一、材料力学的基本思路
（一）理论公式的建立
理论公式的建立思路如下：
和Iyc、惯性积为Iyczc，则该图形对于与zc轴平行且相距为a 的z 轴及与yc轴平行且相距为
b 的y 轴的惯性矩和惯性积分别为
显然，在图形对所有互相平行的轴的惯性矩中，以形心轴的惯性矩为最小。
◆四、主惯性轴和主惯性矩、形心主（惯性）轴和形心主（惯性）矩
若截面图形对通过某点的某一对正交坐标轴的惯性积为零，则称这对 坐标轴为图形在该点的主惯性轴，简称主轴。图形对主惯性轴的惯性矩 称为主惯性矩。显然，当任意一对正交坐标轴中之一轴为图形的对称轴
（一）内力
由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作 用力。
（二）截面法 截面法是求内力的一般方法，用截面法求内力的步骤 如下。 （1）截开。在需求内力的截面处，假想地沿该截
面将构件截分为二。
（2）代替。任取一部分为研究对象，称为脱离体。 用内力代替弃去部分对脱离体的作用。 （3）平衡。对脱离体列写平衡条件，求解未知内 力。截面法的示意图如图5−4 所示。 （三）轴力 轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以N 表示。轴力N 规定以拉力为正，压力为负。