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随机变量及其概率分布、超几何分布

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信达

随机变量及其概率分布、超几何分布

沙市五中高三数学组

一、填空题(每小题6分，共48分)

1．设X是一个离散型随机变量，其概率分布为

ξ －1 0 1

P 12 1－2q q2

则q的值为________．

2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为________．

3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a2k，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4)＝________.

4．已知随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

P 23 232 233 234 235 236 237 238 239 m

则P(ξ＝10)＝________.

5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，若P(X＝k)＝C47C68C1015，则k＝________.

6．若某一射手射击所得环数X的概率分布如下：

X 4 5 6 7 8 9 10

P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是________． -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达 7．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管有放回地进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝______.

8.如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.

二、解答题(共42分)

9．(12分)袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求随机变量ξ的概率分布．

10．(14分)设离散型随机变量ξ的分布列Pξ＝k5＝ak，k＝1,2，3,4,5.

(1)求常数a的值；(2)求Pξ≥35；

(3)求P110<ξ<710.

11．(16分)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的概率分布；

(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率． -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达

1．1－22

解析 由分布列的性质，有

 1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1， 解得q＝1－22.

2．7

解析 X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.

3.15

解析 ∵a2＋a4＋a8＋a16＝1，∴a＝1615.

∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)

＝16158＋161516＝215＋115＝15.

4.139

解析 P(ξ＝10)＝1－23×1－1391－13＝139.

5．4

解析 X服从超几何分布P(X＝k)＝Ck7C10－k8C1015，故k＝4.

6．0.88

解析 环数X≥7的概率是：

0．09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.

7.364

解析 P(ξ＝3)＝14×14×34＝364.

8.45

解析 方法一 由已知，ξ的取值为7,8,9,10， -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达 ∵P(ξ＝7)＝C22C12C35＝15，P(ξ＝8)＝C22C11＋C22C12C35＝310，

P(ξ＝9)＝C12C12C11C35＝25，

P(ξ＝10)＝C22C11C35＝110，

∴ξ的概率分布为

ξ 7 8 9

10

P 15 310 25 110

∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)

＝310＋25＋110＝45.

方法二 P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－C22C12C35＝45.

9．解 随机变量ξ可取的值为2,3,4， (2分)

P(ξ＝2)＝C12C13C12C15C14＝35；

P(ξ＝3)＝A22C13＋A23C12C15C14C13＝310；

P(ξ＝4)＝A33C12C15C14C13C12＝110， (10分)

所以随机变量ξ的概率分布为

ξ 2 3 4

P 35 310 110

(12分)

10．解 (1)由离散型随机变量的性质，得

a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，

解得a＝115. (3分)

(2)由(1)，得Pξ＝k5＝115k，k＝1,2,3,4,5.

方法一 Pξ≥35

＝Pξ＝35＋Pξ＝45＋P(ξ＝1)

＝315＋415＋515＝45. (7分) -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

信达 方法二 Pξ≥35＝1－Pξ<35

＝1－Pξ＝15＋Pξ＝25

＝1－115＋215＝45.(7分)

(3)∵110<ξ<710，∴ξ＝15，25，35，

∴P110<ξ<710

＝Pξ＝15＋Pξ＝25＋Pξ＝35

＝115＋215＋315＝25. (14分)

11．解 (1)ξ的可能取值为0,1,2,3. (1分)

P(ξ＝0)＝C24C25·C23C25＝18100＝950， (3分)

P(ξ＝1)＝C14C25·C23C25＋C24C25·C23·C12C25＝1225， (6分)

P(ξ＝2)＝C14C25·C13·C12C25＋C24C25·C22C25＝310. (9分)

P(ξ＝3)＝C14C25·C22C25＝125. (12分)

故ξ的概率分布为

ξ 0 1 2

3

P 950 1225 310 125

(14分)

(2)所求的概率为P＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝310＋125＝1750.(16分)

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超几何分布和二项分布

超几何分布和二项分布

超几何分布和二项分布

超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。

一、超几何分布的定义、特点和性质

超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k)

* (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。

超几何分布的特点有以下几点：

1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。 2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =

n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。

3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。

超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。

二、二项分布的定义、特点和性质

二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。

二项分布的特点有以下几点：

1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。

2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。 3.当n很大时，二项分布的分布形状近似于正态分布。

第十三讲 超几何分布及条件概率与独立事件

第十三讲 超几何分布及条件概率与独立事件

第十三讲 超几何分布及条件概率与独立事件

知识点：

 超几何分布：一般地设总数为N的两类物品,其中一类有M件，从所有物品中任取n件Nn，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m的概率为lmCCCmXPnNmnMNnM0,)(其中},{min1nM，称随机变量X服从超几何分布，记为),,(~NMnHX.

 超几何分布分布列：

X 0 1 ..... m

P nNnMNMCCC00 nNnMNMCCC11 ..... nNmnMNmMCCC

例题1：在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大? 至少摸到3个红球就中奖。求中奖的概率?

例题2：袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列?

例题3：盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量。求X的分布列?

知识点：

 条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件B发生的条件下事件A 发生的条件概率”，叫做条件概率，记作P(A|B).

 事件的交（积）：由事件A和事件B同时发生所构成的事件称为事件A与事件B的交 。

记作A∩B或AB

 条件概率计算公式: )()()(BPABPBAP.

 P(A|B)相当于把B看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率，

)()(BPABPBABBABBAB)BP(A总数包含的样本点数总数包含的样本点数包含的样本点数包含的样本点数发生的条件下样本点数在包含的样本点数发生的条件下在

 相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.

2020高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布讲义

2020高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布讲义

学必求其心得，业必贵于专精

- 1 - 2.2 超几何分布

学 习 目 标 核 心 素 养

1.了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点）

2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布,从而利用相关公式解题．(难点） 1。通过超几何分布的学习，培养数学抽象素养．

2．借助超几何分布的求解，提升数学运算素养.

超几何分布的概率及其表示

一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r）＝错误!，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min(n，M），则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M,N),并将P（X＝r)＝错误!记为H（r；n，M，N)．

思考1：如何识别超几何分布？

［提示］ 超几何分布必须满足以下两条：

①总数为N件的物品只分为两类：M（M≤N）件甲类（或次品)，其余的N－M件为乙类(或正品)． 学必求其心得，业必贵于专精

- 2 - ②随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N）件物品，其中所含甲类物品（或次品）的件数．

思考2：在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？

［提示] 不放回抽样．

思考3：在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M吗?

［提示] 不一定．当n≥M时,最大值为M，当n

1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球,则取出1个白球和2个红球的概率是( ）

A。错误! B。错误!

C。错误! D。错误!

C [根据题意知该问题为古典概型，所以P＝错误!＝错误!。]

2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________。

错误!，r＝0,1，2,3，4 ［P（X＝r）＝错误!，r＝0，1，2,3，4.］

3．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________． 学必求其心得，业必贵于专精

- 3 - 错误! [由题意,这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2。所以P(X＝1)＝错误!＝错误!。]

高中数学选择性必修三 7 4二项分布与超几何分布

高中数学选择性必修三 7 4二项分布与超几何分布

第七章随机变量及其分布

7.4 二项分布与超几何分布

课后篇巩固提升

基础达标练

1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )

A.827 B.6481 C.49 D.89

解析当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=C322321-23×23=3×49×13×23=827,故选A.

答案A

2.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为( )

A.100和0.08 B.20和0.4

C.10和0.2 D.10和0.8

解析因为X~B(n,p),所以{𝑛𝑝=8,𝑛𝑝(1-𝑝)=1.6,

解得n=10,p=0.8.

答案D

3.已知随机变量X~B(100,0.2),则D(4X+3)的值为 ( )

A.64 B.256 C.259 D.320

解析∵X~B(100,0.2),

∴D(X)=100×0.2×0.8=16.

D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.

答案B

4.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an={-1,第𝑛次摸取红球,1,第𝑛次摸取白球,

如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为 ( )

A.C75×(13)2×(23)5 B.C72×(23)2×(13)5

C.C75×(13)5 D.C72×(23)2 解析由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为23,摸取白球的概率为13,则S7=3的概率为C72×(23)2×(13)5,故选B.

答案B

5.(2020河北高二月考)在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为( )