高中数学第二章参数方程2.2圆锥曲线的参数方程课时提升作业含解析新人教A版选修4_4

第二节 圆锥曲线的参数方程一、选择题1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )．A.23B ．－23C.32 D ．－32解析 参数方程中消去t ，得3x ＋2y －7＝0.所以k ＝－32.答案 D2．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12C ．(2，3)D ．(1，3)解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证 得，选B. 答案 B3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距 离，即为4. 答案 C4．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为( )．A ．(3，0)B ．(4，0)C ．(5，0)D ．(0，5)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ得⎩⎪⎨⎪⎧x3＝sec φ，y 4＝tan φ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝sec 2φ－tan 2φ＝1，即双曲线方程为x 29－y 216＝1，焦点为F 1，2(±5，0)．故选C. 答案 C 二、填空题 5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________．解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1 或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中参数t ∈R )上的点的最短距离为________．解析 点P (1，0)到曲线上的点的距离设为d ， 则d ＝（x －1）2＋（y －0）2＝（t 2－1）2＋（2t ）2＝（t 2＋1）2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1. 答案 17．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ (θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0)．答案 (－4，0)8．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，那么|MN |＝________．解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴， |MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|＝4p |t 1|. 答案 4p |t 1|三、解答题9．在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离的最小值．解 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝2 3 sin θ，d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455|cos θ－3sin θ－3|＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3)．10．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点， (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1 ∴－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0.∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴a ≥2－1.11．(椭圆参数方程的应用)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和 焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程．。

[思维启迪] 由已知求出A、B坐标，再设出C
点坐标(6cos θ，3sin θ)，再用A、B、C的坐标表示出G点的
参数方程，消参后得普通方程．
解 由动点 C 在该椭圆上运动，故据此可设点 C 的坐标为 (6cos θ ，3sin θ )，点 G 的坐标为(x， y)，则由题意可知点 A(6， 0)， B(0，3)． 6＋ 0＋6cos θ x ＝ ＝2＋ 2cos θ ， 3 由重心坐标公式可知 y＝0＋ 3＋3sin θ ＝ 1＋sin θ . 3 （ x－2） 2 由此消去 θ 得到 ＋(y－ 1)2＝ 1 即为所求． 4
b（ tan α － tan θ ） b（ tan α ＋ tan θ ） kPA· kPB＝ · 1 1 1 1 － ＋ a a cos α cos θ cos θ cos α b2（ tan2 α －tan2 θ ） b2 ＝ ＝ 2为定值． 1 1 a － 2 a2 2 cos θ cos α
(1)C1： (x＋ 4)2＋ (y－3)2＝1， x2 y2 C2： ＋ ＝1. 64 9 C1 为圆心是 (－4， 3)，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半 轴长是 3 的椭圆． π (2)当 t＝ 时，P(－4，4)， Q(8cos θ ，3sin θ )，故 2 3 M－ 2＋ 4cos θ ， 2＋ sin θ . 2 C3 为直线 x－2y－ 7＝ 0，M 到 C3 的距离 5 d＝ |4cos θ － 3sin θ － 13|， 5 5 4 3 d＝ 5 cos θ － sin θ － 13. 5 5 5 解
题型二
双曲线参数方程的应用

φ≠π2，φ≠32π，
故(1)错误．
(2)由参数方程消去参数 t 可得普通方程为 y2＝－
2px(p>0)，故(2)正确．
x＝t2，
(3)由
得
y2＝4x
为抛物线方程，故其焦点为
y＝2t
(1，0)．
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．双曲线xy＝＝62se3ctαan
α， (α
为参数)的两焦点坐标是
类型 2 抛物线的参数方程及其应用(规范解答)
[典例 2] (本小题满分 10 分)如图所示， O 是直角坐标系的原点，A、B 是抛物线 y2＝2px(p>0)上异于顶点的两个动点，且 OA⊥OB 于 O，A、B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？ 最小值是多少？
审题指导：利用抛物线的参数方程，将△AOB 的面
α.
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)双曲线1x62 －y92＝1
的参数方程为xy＝＝34tsaenc
φ， (φ
φ
为
参数)，φ∈[0，2π)．( )
即 2pt21·2pt22＋2pt1·2pt2＝0，所以 t1·t2＝－1.(4 分)
△ AOB
的面积为
S
△
AOB
＝
1 2
|OA|
·
|OB|
＝
1 2
×
2p|t1|. t21＋1·2p|t2| t22＋1＝(5 分)
2p2|t1t2| （t21＋1）（t22＋1）＝2p2 t21＋t22＋2＝

【解析】
6.下列参数方程的曲线的焦点在横轴上的是(
)
【解析】选C.将
2x=sin （θ为参数）化为普通方程，得 y=cos
4x2+y2=1，表示焦点在纵轴上的椭圆；将 x=2t （t为参数）
2 y=2t
化为普通方程，得 y= 1 x 2 ，
2
表示焦点在纵轴上的抛物线；由于sec2θ-tan2θ=1， 故将
x=sec y=tan
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
y=2sect 答案： x=3tant (t为参数) y=2sect
三、解答题（共40分）
x 2 y2 10.（12分） 若F1,F2是椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上不 25 16
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程. 【解析】
11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.
x=-4t 2 +1 4.抛物线方程为 (t为参数),则它在y轴正半轴上的截 y=4t
距是( （A）1
) （B）2 （C）4 （D）不存在
2
【解析】选B.当x=-4t2+1=0时，t=〒 1 ,
一、选择题（每小题6分，共36分）