人教版高中数学选修(4-4)-2.2《圆锥曲线的参数方程》基础练习

课后导练基础达标1.参数方程⎩⎨⎧==ty t x 4,22表示的曲线不在( )A.x 轴上方B.x 轴下方C.y 轴右方D.y 轴左方 答案：D2.直线4x +3y =1与椭圆162x +92y =1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于3，这样的点P 共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:设P 1(4cosα,3sinα),α∈(0,2π),则 S P1AOB =S △OAP1+S △OBP1 =21×4sinα+21×3×4cosα =6(sinα+cosα)=62sin(α+4π). 当α=4π时,S P1AOB 的最大值为62. 故S △P1AB ≤62-S △OAB =62-6＜3.故AB 的上方不存在满足题意的点P.又S △OAB =6＞3,所以AB 的下方存在两个点满足要求. 答案:B3.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)sin 1(21|,2sin 2cos |θθθy x (1+sinθ)(0<θ<2π)表示( ) A.双曲线的一支,这支过点(1,21) B.抛物线的一部分,这部分过点(1,21) C.双曲线的一支,这支过点(-1,21) D.抛物线的一部分,这部分过点(-1,21) 解析:消去参数θ,得x 2=2y. ∵x=|cos 2θ+sin 2θ|=|2sin(θ+2π)|, 0＜θ＜2π,∴0≤x≤2.∴参数方程表示抛物线的一部分,这部分过点(1,21). 答案:B 4.已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 2,22(t 为参数),点A 、B 在曲线上对应的参数分别为t 1和t 2,又t 1+t 2=0,则|AB|等于( )A.2p(t 1-t 2)B.2p(t 12+t 22)C.2p|t 1-t 2|D.2p(t 1-t 2)2 解析:由x 1=2pt 12,x 2=2pt 22,∴x 1-x 2=2p(t 12-t 22)=2p(t 1+t 2)(t 1-t 2)=0.则有|AB|=|y 2-y 1|,又∵y 1=2pt 1,y 2=2pt 2,∴|y 2-y 1|=2p|t 2-t 1|.答案:C5.点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,则x+y 的最大值是( ) A.3+5 B.5+5 C.5 D.6解析:由于点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,有⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin 1,cos 22y x (φ为参数). ∴x+y=3+2cosφ+sinφ.由三角函数性质知x+y 的最大值为3+5.答案:A6.参数方程⎩⎨⎧∙=+=θθθθcos sin ,cos sin y x (θ为参数)表示的曲线为( )解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得x 2=1+2sinθcosθ=1+2y.∴y=21x 2-21. 且x=sinθ+cosθ=2sin(θ+4π)∈［-2,2］. 答案:C 7.在椭圆42x +y 2=1上求一点P,使点P 到直线x-y+4=0的距离最小.解:∵点P 在椭圆42x +y 2=1上,可设P(2cosφ,sinφ),则有 d 2)sin(542sin cos 242|4sin cos 2|ϕθϕϕϕϕ-+=⇒-+=+-d .当θ-φ=2π时,d 最小=21024254+=+. ∴P(51,54-). 8.直线y=2x-21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标是___________. 解析：由曲线方程消参得y=1-2x 2与y=2x-21联立. 得：4x 2+4x-3=0.∴x 1=21,x 2=-23. ∵-1≤x≤1.∴x=21,y=21, 答案：（21，21） 9.曲线⎩⎨⎧==θθsin 32,cos 2y x (θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d 的最小值为( ) A.225 B.229 C.22 D.0 解析:d=2|5)3cos(4|2|5sin 32cos 2|-+=--πθθθ, -9≤4cos(θ+3π)-5≤-1,∴d 的最小值为2221=. 答案:C10.设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A 、B 两点，在椭圆上求一点P ，使△ABP 的面积最大.分析:因为A 、B 为两定点,AB 为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解:设椭圆C 上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l 和定椭圆C 截得的弦长为定长,又设P 到直线l 的距离为d,则d=515|1)sin 22(2cos 31|=++-++θθ|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=43. 故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+23π-α,k ∈Z 时,d 有最大值,这时△ABP 的面积最大. ∵sinθ=sin(2kπ+32π-α)=-cosα=54-,cosθ=-sinα=-53, ∴P(54-,518-)为所求. 综合运用11.已知抛物线y 2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称，求p 的取值范围. 分析:利用抛物线的参数方程,设点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1),(2px 22,2px 2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p 的不等式.解:设抛物线上两点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1)、(2px 22,2px 2)，且关于直线x+y-1=0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++.1)(2)(2,1)()(212212212221x x p x x p x x p x x p 由第二个方程可得x 1+x 2=1代入第一个方程得x 12+x 22=p p -1＞0,故0＜p ＜1.又由22221x x +＞(221x x +)2,得pp -1＞21,即0＜p ＜32为所求. 12.点P 在圆x 2+(y-2)2=41上移动，点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动，求PQ 的最大值与最小值，及相应的点Q 的坐标.解:设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q 2=(2cosα)2+(sinα-2)2=4cos 2α+sin 2α-4sinα+4=-3(sinα+32)2+8+34. 故当sinα=-32时，O′Q 2取最大值为328，O′Q=3212.当sinα=1时，O′Q 2取最小值为1，O′Q=1. 又圆的半径为21，故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ=21+3212，P 与Q 的最小距离为PQ=1-21=21. PQ 取最大值时，sinα=32-,cosα=±941-=±35，Q 的坐标为(32,352-)或(32,352--)；PQ 取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q 的坐标为(0,1). 13.(1)求椭圆22a x .+22by =1的内接矩形的最大面积; (2)已知矩形ABCD 中,点C 坐标为(4,4),A 点在曲线x 2+y 2=9(x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 两边始终分别平行于x 、y 坐标轴,求矩形面积ABCD 最小时点A 的坐标.解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acosθ,bsinθ),则有S 内接矩形=4S 矩形AOBP =4·acosθ·bsinθ=2absin2θ.∵θ∈［0,2π］,∴2θ∈［0,π］. ∴S 内接矩形的最大值为2ab.(2)如右图所示,设A(x,y),又设矩形ABCD 的面积为S,则有S=(4-x)(4-y)=16-4(x+y)+xy. ∵A(x,y)在曲线x 2+y 2=9上,∴x 2+y 2=(x+y)2-2xy=9.∴xy=29)(2-+y x . ∴S=16-4(x+y)+ 29)(2-+y x . =21［(x+y)-4］2+27. 又∵x=3cosθ,y=3sinθ(0＜θ＜2π), ∴x+y=3(cosθ+sinθ)=32sin(θ+4π). ∵4π＜θ+4π＜43π,∴3＜x+y≤32. ∴当x+y=4时,S 有最小值. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=∙=+272916,4y x y x ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=.224,224 y x ∴A 点坐标为(224,224-+)或(224,224+-).拓展探究14.已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A(-1,0)、B(0,8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.分析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试. 解:设A 、B 关于直线l 的对称点分别为A 1、B 1,由对称性知∠A 1OB 1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A 1(2pt 12,2pt 1)(t 1＜0),B 1(2pt 22,2pt 2),又OA 1=OA=1,OB 1=OB=8,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,64)2()2(,1)2()2(2122221221pt pt pt pt 两式相除得21412242t t t t ++=64. 又∵1O A k =11t ,1OB k =21t ,OA 1⊥OB 1, ∴1O A k ·1OB k =-1,即t 1·t 2=-1. 则可将t 2=11t -代入上式,得t 16=641,t 1=-21. 故有2p=554. ∴A 1(552,55-).∴1AA k =251-,k l =251+. 故所求直线l 的方程为y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.。

主动成长夯基达标1.参数方程⎩⎨⎧==ty t x 4,22表示的曲线不在( )A.x 轴上方B.x 轴下方C.y 轴右方D.y 轴左方 答案:D2.直线34y x +=1与椭圆91622y x +=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P 使得△P AB 的面积等于3，这样的点P 共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:设P 1(4cosα,3sinα),α∈(0,2π),则 S P 1AOB =S △OAP 1+S △OBP 1=6(sinα+cosα)=62 sin(α+4π当α=4π时,S P 1AOB 的最大值为62 故S △P 1AB ≤62-S △OAB =62-6＜故AB 的上方不存在满足题意的点P .又S △OAB =6＞3,所以AB 的下方存在2个点满足要求答案:B 3.椭圆⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 4y x (θ为参数)的左焦点的坐标是( )A.(-7,0)B.(0,-7)C.(-5,0)D.(-4,0)解析:椭圆中,a =4,b =3,∴答案:A4.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)sin 1(21|,2sin 2cos |θθθy x (1+sin θ)(0<θ<2π)表示( )A.双曲线的一支,这支过点(1,21) B.抛物线的一部分,这部分过点(1,21)C.双曲线的一支,这支过点(-1,21)D.抛物线的一部分,这部分过点(-1,21)解析:消去参数θ,得x 2=2y∵x =|cos2θ+sin 2θ|=|2sin(θ+2π)|, ∵0<θ<2π,∴0≤x ≤2∴参数方程表示抛物线的一部分,这部分过(1,21答案:B5.已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 2,22(t 为参数),点A 、B 在曲线上对应的参数分别为t 1和t 2,又t 1+t 2=0,则|AB |等于( ) A.2p (t 1-t 2) B.2p (t 12+t 22) C.2p |t 1-t 2| D.2p (t 1-t 2)2解析:由x 1=2pt 12,x 2=2pt 22 ∴x 1-x 2=2p (t 12-t 22)=2p (t 1+t 2)(t 1-t 2则有|AB |=|y 2-y 1又∵y 1=2pt 1,y 2=2pt 2 ∴|y 2-y 1|=2p |t 2-t 1答案:C6.点P (x ,y )在椭圆4)2(2-x +(y -1)2=1上,则x +y 的最大值是( )A.3+5B.5+5C.5D.6解析:由于点P (x ,y )在椭圆4)2(2-x +(y -1)2=1上,有⎩⎨⎧φ+y=φ+x=sin 1,cos 22(φ为参数∴x +y =3+2cos φ+sin φ.由三角函数性质知x +y 的最大值为3+5答案:A7.参数方程⎩⎨⎧∙=+=θθθθcos sin ,cos sin y x (θ为参数)表示的曲线为( )解析:由x =sin θ+cos θ两边平方,得 x 2=1+2sin θcos θ=1+2y ∴y =21x 2-21且x =sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)∈［-2,2］.答案:C8.在椭圆42x +y 2=1上求一点P ,使点P 到直线x -y +4=0的距离最小.解:∵点P 在椭圆42x +y 2=1上,可设P (2cos φ,sin φ),则有d =2sin cos 2424sin cos 2φφ|φ+φ-|+-=⇒d =.2)sin(54φ--θ 当θ-φ=2π时,d 最小=.21024254-=- ∴P (52,52-). 9.设P (x ,y )是椭圆2x 2+3y 2=12上的一动点,求x +2y 的取值范围.解:由2x 2+3y 2=12,∴4622y x+∴⎩⎨⎧θy=θx=sin 2,cos 6(θ为参数∴x +2y =6cos θ+4sin θ=22sin(θ+φ),θ为实数,φ为辅助角∴x +2y ∈［-22,22］.10.设直线l :x +2y +1=0交椭圆C :4(x -1)2+9(y +2)2=36于A 、B 两点，在椭圆上求一点P ，使△ABP 的面积最大. 解析:因为A 、B 为两定点,AB 为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题解:设椭圆C 上的点P (1+3cos θ,-2+2sin θ),由于定直线l 和定椭圆C 截得的弦长为定长,又设P 到直线l 的距离为d , 则d =51)sin 22(2cos 31|+θ+-θ++|=51|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=43故当sin(θ+α)=-1,即θ=2k π+23π-α,k ∈Z 时,d 有最大值,这时△ABP 的面积最大∵sin θ=sin(2k π+23π-α)=-co sα=-54,cos θ=-sinα=-53,∴P (518,54-)为所求.11.已知抛物线y 2=2px (p >0)上存在两点关于直线x +y -1=0对称，求p 的取值范围.解析:利用抛物线的参数方程,设点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1),(2px 22,2px 2),又二者关于直线x +y -1=0对称,则可列出等价方程,建立p的不等式解:设抛物线上两点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1),(2px 22,2px 2)且关于直线x +y -1=0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧.=-x x p -x x p ,=+x x +p +x x p 1)(2)(21)()(212212212221由第二个方程可得x 1+x 2=1代入第一个方程得x 12+x 22=pp-1＞0,故0＜p ＜1.又由)2(2212221x x x x +>+,得211>-p p ,即0＜p ＜32为所求. 12.已知双曲线12222=-by a x =1(a >0,b >0)的动弦BC 平行于虚轴，M 、N 是双曲线的左、右顶点,(1)求直线MB 、CN 的交点P 的轨迹方程；(2)若P (x 1,y 1)，B (x 2,y 2),求证:a 是x 1、x 2的比例中项.解析:由题意可知点M 的位置是由B 、C 的位置所决定的,而B 、C 又是动点,如果将B 、C 的坐标设为一般的形式,显然很难计算,计算起来很复杂,故在此可考虑将B 、C 两点坐标设为参数形式,对于此题的计算很有帮助 （1）解:由题意可设点B (a s e c θ,b tan θ), 则点C (a s e c θ-b tan θ),又M (-a ,0),N (a∴直线MB 的方程为y =θ+a a θb sec tan (x +a直线C N 的方程为aθa θb -sec tan (x -a将以上两式相乘得点P 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2（2）证明:因为P 既在MB 上,又在CN 上,由两直线方程消去y 1得x 1=θsec a,而x 2=a s e c θ,所以有x 1x 2=a 2,即a 是x 1、x 2的比例中项.13.(1)求椭圆12222=+by a x =1的内接矩形的最大面积;(2)已知矩形ABCD 中,点C 坐标为(4,4),A 点在曲线x 2+y 2=9(x >0,y >0)上移动,且AB 、AD 两边始终分别平行于x 、y 坐标轴,求矩形面积ABCD 最小时点A 的坐标. 解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ,b sin θ),则有 S 内接矩形=4S 矩形AOBP =4·a cos θ·b sin θ=2ab sin2θ ∵θ∈［0,2π］,∴2θ∈［0,π］∴S 内接矩形的最大值为2ab(2)如图所示,设A (x ,y ),又设矩形ABCD 的面积为S ,则有S =(4-x )(4-y )=16-4(x +y )+xy∵A (x ,y )在曲线x 2+y 2=9上 ∴x 2+y 2=(x +y )2-2xy∴xy =.29)(2-+y x ∴S =16-4(x +y )+29)(2-+y x=21［(x +y )-4］2+27.又∵x =3cos θ,y =3sin θ(0<θ<2π),∴x +y =3(cos θ+sin θ)=32sin(θ+4π). ∵4π<θ+4π<43π,∴3<x +y ≤32∴当x +y =4时,S有最小值解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±==-=∙=+.224,224,274916,4 y x y x y x 得 ∴A 点坐标为(224,224-+)或(224,224+-). 14.点P 在圆x 2+(y -2)2=41上移动，点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动，求PQ 的最大值与最小值，及相应的点Q 的坐标. 解:设Q (2cosα,sinα),O ′(0,2),则O ′Q 2=(2cosα)2+(sinα-2)2=4cos 2α+sin 2α-4sinα+4=-3(sinα+32)2+8+34故当sinα=-32时，O ′Q 2取最大值为328，O ′Q =3212.当sinα=1时，O ′Q 2取最小值为1，O ′Q又圆的半径为21， 故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ =21+3212，P 与Q 的最小距离为PQ =1-21=21PQ 取最大值时，sinα=-32,cosα=±35941±=-，Q 的坐标为(32,352-)或(-32,352-)；PQ 取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q 的坐标为(0,1).15.已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A (-1,0)、B (0,8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.解析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试 解:设A 、B 关于直线l 的对称点分别为A 1、B 1,由对称性知∠A 1OB 1=∠AOB =90°,由抛物线的参数方程可设A 1(2pt 12,2pt 1)(t 1＜0),B 1(2pt 22,2pt2又OA 1=OA =1,OB 1=OB =8,则有⎪⎩⎪⎨⎧,=pt +pt ,=pt +pt 64)2()2(1)2()2(2222221221两式相除得21412242t t t t ++又∵k OA 1=11t ,k OB 1=21t ,OA 1⊥OB 1∴k OA 1·k OB 1=-1,即t 1·t 2=-1. 则可将t 2=-11t 代入上式,得t 16=641,t 1=-21故有2p =554∴A 1(55,-255).∴k AA 1=251-,k l =251+故所求直线l 的方程为y =251+2x ,抛物线C 的方程为y 2=554x .走近高考1.(经典回放)在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧-=+=12,122t y t x (t 为参数)表示的曲线是( ) A.双曲线 B.抛物线 C.直线 D.圆解析:由x =2t +1,得t =21-x ,并代入y =2t 2-1,得(x -1)2=2(y +1),表示抛物线答案:B2.(经典回放)下列参数方程(t 为参数)中与方程y 2=x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎨⎧==2t y t x B.⎩⎨⎧==ty t x sin sin 2 C.⎪⎩⎪⎨⎧==||t y t x D.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t x tan 2cos 12cos 1 解析:由A 得y =x 2;由C 得y 2=|x |与y 2=x 不同,排除A 、C ;由B 得y 2=x (0≤x ≤1)与y 2=x 的定义域不同,故排除 答案:D3.(经典回放)点P (1,0)到曲线⎩⎨⎧==ty t x 2,2(参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A.0B.1C.2D.2解析:距离d =22224)1()1(t t y x +-=+-=t2答案:B4.(经典回放)直线y =2x -21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标是_________. 解析:曲线方程⎩⎨⎧φy=φx=2cos ,sin 消去参数φ,得y =1-2x 2与y =2x -21联立,得4x 2+4x-3=0∴x 1=21,x 2=-23∵-1≤x ≤1,∴x =21.∴y =21答案:( 21,21)5.(经典回放)曲线⎩⎨⎧==θθsin 32,cos 2y x (θ为参数)上一点到直线y =x -5的距离d 的最小值为( ) A.225 B.229 C.22 D.0解析:d =,2|5)3πcos(4|25sin 32cos 2-+=θ|θ-θ-| -9≤4cos(θ+3π)-5≤-∴d 的最小值为2221=答案:C6.设a 、b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是( ) A.-22B.-335 C.-3 D.-27 解析:∵a 2+2b 2=6,∴3622b a+设⎪⎩⎪⎨⎧θb=θa=sin 3,cos 6(θ为参数∴a +b =6cos θ+3sin θ=3sin(θ+φ其中cos φ=33,sin φ=36即a +b 的最小值是-答案:C7.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A.-41B.-4C.4D.41 解析:该双曲线方程为y 2-m x 2-∴a 2=1,b 2=-m1.又∵b =2a∴-m 1=4.∴m =-41答案:A8.设P 是椭圆22ax +y 2=1(a >1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ |的最大值.解:依题意可设P (0,1),Q (x ,y ),则|PQ |=.)1(22-+y x又因为Q 在椭圆上 所以x 2=a 2(1-y 2|PQ |2=a 2(1-y 2)+y 2-2y=(1-a 2)y 2-2y +1+a 2 =(1-a 2)(y -211a -)2-211a-+1+a 2因为|y |≤1,a若a ≥2,则|211a -|≤1,当y =211a -时,|PQ |取最大值11222--∙a a a若1<a <2,则当y =-1时,|PQ |取最大值2.。

二 圆锥曲线的参数方程一、基础达标 1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 24＝1 B.x 2＋y 22＝1C.y 2＋x 24＝1D.y 2＋x 24＝1解析 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.答案 A2.方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一部分解析 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]，∴曲线应为双曲线的一部分.答案 D3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 答案 C4.当θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.直线D.线段解析 设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，得x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3cos θ＋3sin θ，即x 2＝sin θ－cos θ，y 3＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得x 24＋y 29＝2，是椭圆.答案 B5.实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________.解析 因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案 56.抛物线y ＝x 2－2x t的顶点轨迹的普通方程为________.解析 抛物线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t 2－1t 2，∴其顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－1t 2，记M (x ，y )为所求轨迹上任意一点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝－1t 2，消去t 得y ＝－x 2(x ≠0).答案 y ＝－x 2(x ≠0)7.如图所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？ 解 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t ，2t 2).设P (x ，y )，则M 是OP 中点.∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A.RB.(0，＋∞)C.(0，1)D.[0，1)解析 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m ＜1. 答案 D9.圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________.解析 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1，0). 答案 (1，0) 10.设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0. 答案 ρcos 2θ－sin θ＝011.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.解 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0，4).因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上.(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.解 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a ＞b ＞0，0≤θ＜2π.由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b .设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2cos 2θ＋⎝⎛⎭⎪⎫b sin θ－322＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋12b 2＋4b 2＋3，如果12b ＞1即b ＜12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322，由此得b ＝7－32＞12，与b ＜12矛盾.因此必有12b ≤1成立，于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12到点P 的距离都是7.。

一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。