二次函数的图像与系数的关系

试卷第1页，总4页 二次函数的图像与系数的关系

1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac.其中正确的结论的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（ ）

A. a＞0，b＜0，c＞0

B. b2﹣4ac＜0

C. 当﹣1＜x＜2时，y＞0

D. 当x>2时，y随x的增大而增大

3．如图，二次函数图象，过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）

A. 2a+b=0 B. ac>0 C. D.

4．已知函数y=mx2－6x+1（m是常数），若该函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）

A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或1

5．如图，二次函数2yaxbxc的图象的对称轴是直线1x，则下列理论：①0a， 试卷第2页，总4页 0b②20ab，③0abc，④0abc，⑤当1x时， y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）．

A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④

6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（ ）

A. B. C. D.

7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；

②9a+c＜3b；

③25a+5b+c=0；

④当x＞2时，y随x的增大而减小．

其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，ƒ③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（ ） 试卷第3页，总4页

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

9．二次函数与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系内的大致图象是( ) A. B. C. D.

10．如图是二次函数20yaxbxca图象的一部分，对称轴为12x，且经过点2,0，有下列说法：①0abc；②0ab；③420abc；④若120,,1,yy是抛物线上的两点，则12yy，上述说法正确的是（ ）

A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①②

11．在同一坐标系中，一次函数2yax与二次函数2yxa的图象可能是（ ）

A. B. C. D.

12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则点（a , bc）在（ ） 试卷第4页，总4页

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的对应值如下表：

x －3 －2 －1 0 1 2 3 4

y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6

则使y＜0的x的取值范围为_____________________________．

14．已知二次函数2yaxbxc的图象与x 轴交于点20，， 10x，，且112x ，与y轴的正半轴的交点在02，的下方．下列结论：① 420abc；② 0ab；③ 20ac；④ 210ab．其中正确结论有_______________.（填序号）

15．已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤20ba其中所有正确结论的序号是__________（填序号）

16．如图，二次函数2yaxbxc的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与y

轴相交于负半轴。给出四个结论：①0abc；②20ab；③1ac；④1a ，其中正确结论的序

号是___________

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答案第1页，总6页 参考答案

1．D

【解析】由题意得： 则： .

得 故①正确；3a+c=<0, 故②错误；

当x=2时，即4a+2b+c＞0 ，故正确；

由于，即2a+b=0，故④正确；

由于函数图像与x轴有两个交点，即b2＞4ac，故⑤正确.

综上所述，故选D.

2．D

【解析】试题分析：由抛物线开口方向得a>0，由抛物线的对称轴位置得b<0，由抛物线与y轴的交点位置得c<0，于是可对A选项进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数可对B选项进行判断；根据函数图象，利用函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围对C选项进行判断；根据二次函数的增减性可对D选项进行判断．

解：∵抛物线开口向上，

∴a>0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴b<0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c<0，所以A选项错误；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2−4ac>0，所以B选项错误；

∵抛物线与x轴交于点(−1,0)、(2,0)，

∴当−1

∵x>2在对称轴的右侧，

∴y随x的增大而增大，所以D选项正确。

故选D.

点睛：本题主要考查二次函数图象与系数符号的关系及二次函数的增减性.通过分析函数图象得出相关结论是解题的关键.

3．A

【解析】由图象可知，抛物线开口向下，a＜0；对称轴为直线=1，则b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方， c＞0，即得ac<0，选项B错误；由对称轴为直线=1，可得2a+b=0，选项A正确；由对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），所以x=-1时，y=a-b+c=0，选项C不正确．由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，可得 ，即，选项D不正确，故选A. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第2页，总6页 点睛：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象与系数的关系：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）

③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．

④抛物线与x轴交点个数，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

4．C

【解析】①当m=0时,函数y=mx2−6x+1的图象与x轴只有一个交点；

②当m≠0时,若函数y=mx2−6x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx2−6x+1=0有两个相等的实数根，

所以△=(−6)2−4m=0，m=9.

综上,若函数y=mx2−6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.

故选：C

点睛：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用.

5．C

【解析】①根据抛物线开口向下即可得出a<0，结合抛物线的对称轴为x=1可得出b=-2a>0，①错误；②由①得出b=-2a，将其代入2a-b可得出2a-b=4a<0，②错误；③根据函数图象可知当x=1时y>0，将x=1代入抛物线解析式即可得出a+b+c>0，③正确；④根据函数图象可知当x=-1时，y<0，将x=-1代入抛物线解析式即可得出a-b+c<0，④正确；⑤根据函数图象即可得出x>1时y随x的增大而增大，⑤正确. 综上即可得出结论.

解：∵0a， 0b，∴①错误．

又∵12ba，∴2ba， 240aba．∴②错误．

又∵当1x时0y，∴0abc，∴③正确

当1x时0y，∴0abc，∴④正确．

又∵当1x时y随x的增大而减小．∴⑤是正确．

6．D

【解析】试题解析：∵y=ax+b的图象过第一、三、四象限，

∴a＞0，b＜0，

对于y=ax2+bx的图象，

∵a＞0，

∴抛物线开口向上，

∵x=-2ba＞0，

∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∵c=0，

∴抛物线过原点．

故选D． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第3页，总6页 7．D

【解析】已知抛物线的对称轴为直线x==2，可得b=-4a，即4a+b=0，①正确；由图象可知当x=-3时，y＜0，所以9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，②正确；已知抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=2可得抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），所以25a+5b+c=0，③正确；观察图象可知当x＞2时，y随x的增大而减小，④正确．故选D．

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

8．D

【解析】 ， . ， ， ，故①正确；

∵当 时， ， ，故②正确；

∵对称轴是直线x=﹣1，x1=0, ∴x2=-2, ∴当﹣2＜x＜0时，y＜0,故③正确；

故选Ｄ．

9．D

【解析】A. 由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a>0，c<0，a的值矛盾，故本选项错误；

B. 由抛物线知，a>0，c<0；由直线知a>0，c>0，c的值矛盾，故本选项错误；

C. 由抛物线知，a>0，c>0；由直线知a<0，c<0，a的值矛盾，故本选项错误；

D. 由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a<0，c>0，两结论一致，故本选项正确。

故选D.

10．A

【解析】①∵二次函数的图象开口向下，

∴a＜0，

∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，

∴c＞0，

∵对称轴是直线x＝12，

∴−2ba＝12，

∴b＝−a＞0，

∴abc＜0．

故①正确；

②∵由①中知b＝−a，

∴a＋b＝0，

故②正确；

③把x＝2代入y＝ax ²＋bx＋c得：y＝4a＋2b＋c，