二次函数图像与系数关系

二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳：1.a的作用：决定开口方向和开口大小2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）3.c的作用：与y轴交点的位置。

4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。

5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c),(-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。

针对训练：1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。

(1)a___0；b___0；c___0；△__0.(2)a___0； b___0； c___0；△__0.(3)a___0； b___0； c___0；△__0.(4)a___0； b___0； c___0；△__0.(5)a___0； b___0； c___0；△__0.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，用（＞，＜，=）填空：a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0.3.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a －b+c<04.二次函数y=ax 2+bx+c 图象如图，则点 A （b 2-4ac ，-b a）在第 象限．5．已知a ＜0，b＞0，c ＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，判断下列各式的符号： (1)a ； (2)b ； (3)c ； (4)a+b+c ； (5)a-b+c ；(6)b 2-4ac ； (7)4ac-b 2； (8)2a+b ； (9)2a-b7.练习：填空（1）函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的函数值恒为正的条件： ，恒为负的条件： .（2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象在x 轴的下方，则方程ax 2+bx+c=0的解得情况为： .（3）二次函数y=ax 2+bx+c 中，ac ＜0，则抛物线与x 轴有 交点。

二次函数的像与根与系数的推导二次函数是数学中的一种重要函数形式，它具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的表达式，其中a、b、c为实数且a不为0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。

在本文中，我们将讨论二次函数的像、根和系数之间的关系，并进行相关推导。

一、二次函数的像二次函数的像又称为值域，表示函数在定义域内所有可能的函数值所组成的集合。

要确定二次函数的像，我们需要关注其开口方向以及其他相关的函数特性。

1. 当二次函数的系数a大于0时，即抛物线开口朝上，其像为所有大于等于最低点的y值。

此时，像为实数集(-∞, y_min]。

2. 当二次函数的系数a小于0时，即抛物线开口朝下，其像为所有小于等于最高点的y值。

此时，像为实数集[y_max, +∞)。

需要注意的是，开口方向和a的正负有关，当a为正时开口朝上，a 为负时开口朝下。

二、二次函数的根二次函数的根表示函数在x轴上与x轴相交的点或者称之为零点。

求解二次函数的根可以使用解一元二次方程的方法。

对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以利用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 来计算其根。

1. 当判别式Δ = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不同的实根，此时二次函数与x轴有两个交点。

2. 当判别式Δ = b^2 - 4ac等于0时，方程有且仅有一个实根，此时二次函数与x轴有一个切点。

3. 当判别式Δ = b^2 - 4ac小于0时，方程没有实根，此时二次函数与x轴没有交点。

需要注意的是，根的个数和判别式Δ的值有关。

根据根的个数和大小，可以进一步讨论二次函数的图像与方程的相关特性。

三、系数对二次函数的影响与推导系数a、b、c对于二次函数的图像和方程的性质都有重要的影响。

1. 系数a的影响：系数a决定了二次函数的开口方向。

当a大于0时，函数开口朝上；当a小于0时，函数开口朝下。

模块三 函数第五讲 二次函数图象与a 、b 、c 的关系知识梳理 夯实基础二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征a >0开口向上aa <0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4acb 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,hx =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。

（3）赋值法：在二次函数c bx ax y ++=2中，令1=x ，则c b a y ++=；令1-=x ，则c b a y +-=；令2=x ，则c b a y ++=24；令2-=x ，则c b a y +-=24；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。

直击中考 胜券在握1．（2021·山东日照中考）抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++…，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】解：①Q 抛物线图象开口向上，0a \>，Q 对称轴在直线y 轴左侧，a \，b 同号，0b >，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b \+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+Q ，\点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y \>，故③错误．④Q 抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m \…，2ax bx c m \++…，21ax bx c m \++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++¹中a ，b ，c 与函数图象的关系．2．（2021·四川巴中中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论：①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0；④7a +c ＜0．其中正确的有（ ）x…﹣3﹣2﹣112…y … 1.8753m 1.8750…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B 【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a ，b ，c 的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点(3,1.875)-和点(1,1.875)，Q 点(3,1.875)-与点(1,1.875)是关于二次函数对称轴对称的，\二次函数的对称轴为直线3112x -+==-，\设二次函数解析式为2(1)y a x h =++，代入点(2,3)-，(2,0)得，390a h a h +=ìí+=î，解得38278a h ì=-ïïíï=ïî，\二次函数的解析式为：2327(1)88y x =-++，Q 233384y x x =--+，3c \=，\①是错误的，2934430168b ac -=+´´>Q ，\②是正确的，方程20ax bx +=为233084x x --=，即为220x x +=，12x \=-，20x =，\③是正确的，3377()3088a c +=´-+=>Q ，\④是错误的，\②③是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．3．（2021·牡丹江中考）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c>0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12ba-=，∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0，∴abc>0；故①正确；∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a ∴c =32b，∴-3＜32b＜-2，∴﹣2＜b 43<-，故②错误；∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a ∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．4．（2021·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】解：Q 抛物线开口向下a \<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=ìí++=î2am bm a b\+=+20am bm a b \+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-Q 0am a b \++=,(1)am c a m b\=+=-0c \>110m \-<+<10m +<Q 11022m +\-<<1022b a\-<-<10b a\>>0a b \<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am D =+--222(1)44a m a m a=+-+2244a bb a a a--=-⋅+22444b a ab a=+++24()4b a a b a=+++2440b ac a =-+>244ac b a \-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a 、b 、c 关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·辽宁丹东中考）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且13,22a b c a b c ++=--+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x ££时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【分析】由题意易得1,12b c a ==--，则有0c <，进而可判定①②，当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线104x a =-<，则有当23x ££时，y 随x 的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵13,22a b c a b c ++=--+=-，∴两式相减得12b =，两式相加得1c a =--，∴0c <，∵0,0,0a b c >><，∴0abc <，故①正确；∴12222102a b c a a a ++=+´--=>，故②正确；∵当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，∴当0y =时，则方程20ax bx c =++的两个根一个小于-1，一个根大于1，∴抛物线与x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线1024b x a a=-=-<，∴当23x ££时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，有最小值，即为424113y a b c a a a =++=+--=，故④正确；联立抛物线2y ax bx c =++及直线y x c =-可得：2x c ax bx c -=++，整理得：22012ax x c -+=，∴1804ac D =->，∴该抛物线与直线y x c =-有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ¹）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：Q 抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c \<>，Q 抛物线的对称轴为122b x a =-=，0b a \=->，0abc \<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将a b =-代入得：20b c -+=，则结论②正确；Q 抛物线的对称轴为12x =，32x \=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ，又Q 当12x ³时，y 随x 的增大而减小，且3522<，12y y \>，则结论④错误；由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+，12m ¹Q ，214b c am bm c +>++\，即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．7．（2021·四川广安中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -³+，④30a c +<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-，∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．8．（2021·湖南株洲中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >【答案】D【分析】由图像可得0a <，0c >，当1x =，y a b c =++，并与x 轴交于OP 之间，得0a b c ++<，据悉可得()0M ac a b c =++>，据此求解即可．【详解】解：由图像可知，图像开口向下，并与y 轴相交于正半轴，∴0a <，0c >，当1x =，211y a b c a b c =++=++g g ，∵1OP =，并由图像可得，二次函数2y ax bx c =++与x 轴交于OP 之间，∴0a b c ++<∴()0M ac a b c =++>，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．9．（2021·齐齐哈尔中考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图像可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a-=-，根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．10．（2021·湖北鄂州中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．【详解】解：①由图象可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x = 2b a-=1，且图象与x 轴交于点（﹣1，0），∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a ，∴根据图象，当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，故②错误；③根据图象，当x =﹣2时，y =4a ﹣2b +c =4a +4a +c =8a +c ＜0，故③正确；④∵抛物线经过点()3,n -，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()5,n ，∴抛物线2y ax bx c =++与直线y =n 的交点坐标为（﹣3，n ）和（5，n ），∴一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C ．本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．11．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、于x 轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，故①正确；∵抛物线与x 轴没有交点∴24b ac -＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）1933a b c a b c ++=ìí++=î∴8a+2b=2∴4a +b =1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x 交于这两点∴()21ax b x c +-+＜0可化为2ax bx c x ++<，根据图象，解得：1＜x ＜3故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．12．（2021·四川达州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图像开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <0abc \>故①正确；②122b x a =-=得=-a b 0a b \+=③2y ax bx c =++Q 经过()2,0420a b c \++=又由①得c <04230a b c \++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等\ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b=-Q 20a c \+=即12c a=- \ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确；⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++0a >Q\ 函数有最小值1142a b c ++\ 21142am bm c a b c ++³++化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．13．（2021·湖北随州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c ->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ^．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可【详解】①从图像观察，开口朝上，所以0a >，对称轴在y 轴右侧，所以0b <，图像与y 轴交点在x 轴下方，所以0c <0,0a b a b c--><\，所以①不正确；②点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点(0,)C c ，且2OB OC=设(2,0)B c -代入2y ax bx c =++,得：2420ac bc c -+=0c ¹Q \241b ac -=，所以②正确；③Q ()2,0A -，(2,0)B c -设抛物线解析式为：(2)(2)y a x x c =++过(0,)C c 4c ac \= 14a \=，所以③正确；④如图：设,AN BM 交点为P ，对称轴与x 轴交点为Q ，顶点为D ，根据抛物线的对称性，APB △ 是等腰直角三角形，()2,0A -Q ，(2,0)B c -22AB c \=-，112PQ AB c ==- 又对称轴2(2)12c x c -+-==+ (1,1)P c c \+- 由顶点坐标公式可知24(1,)4ac b D c a-+ 14a =Q 2(1,)D c cb \+- 由题意21c b c -<-，解得1b > 或者1b <-由①知0b <\1b <-，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0），a 的符号由抛物线的开口决定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．14．（2021·天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1，∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a -a -2＞0，∴a ＞2＞0，∴b =a +2＞0，∴abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∴△=24(3)b a c --=28b a +＞0,∴230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；∵b =a +2，a ＞2，c =1，∴a +b +c =a +a +2+1=2a +3，∵a ＞2，∴2a ＞4，∴2a +3＞4+3＞7，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．15．（2021·四川遂宁中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ¹）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y 轴的交点得到a ，b ，c 的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x 轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得12b a-=，则12a b =-，根据1x =-可得0a b c -+<，代入变形可对③进行判断；当1x =时，y a b c =++的值最大，即当(1)x m m =¹时，即a b c ++>2am bm c ++，则可对④进行判断；由于方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴b ＞0，∴abc ＜0，①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点∴24b ac ->0∴24b ac >，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴12b a-=，∴12a b =-由图象得，当1x =-时，0y a b c =-+<，∴102b bc --+<∴23c b <，故③正确；④当1x =时，y a b c =++的值最大，∴当(1)x m m =¹时，a b c ++>2am bm c ++，∴()a b m am b +>+（1m ¹），∵b ＞0，∴2()a b m am b +>+（1m ¹），故④正确；⑤∵方程|ax 2+bx +c |=1有四个根，∴方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，∴所有根之和为2×（-b a）=2×2a a =4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．（2013·山东德州中考）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．。

二次函数图像与系数c b a ,,的关系知识点总结：（1） 由抛物线的开口方向判断a 的正负；（2）由对称轴x=a b 2->0（或<0）确定b 的正负（口诀：左同右异）； （3）抛物线与y 轴的交点确定c 的正负； （4）由对称轴x=a b 2->1（或<1）可确定2a+b 的正负；由对称轴x=a b 2-＞-1（或＜-1） 可确定2a-b 的正负（或取值）；（5） 令x=1观察图像可得a+b+c 的正负（或取值），令x= -1可得a-b+c 的正负（或取值）；同理可推得4a+2b+c 、4a-2b+c 、9a+6b+c 、9a-6b+c 等代数式的正负（或取值）（6） b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0，反之亦然。

例题讲解：例 1.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：① abc >0；② a -b +c <0；③a +b +c <0；④ b +2a <0； 。

其中所有正确结论的序号有______变式练习1-1：已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4变式练习1-2：（2013•烟台）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a-b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（-5，y 1），（2,25y ）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）A 、①②B 、②③C 、①②④D 、②③④变式练习1-3：（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a bc＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的是_________。

二次函数与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，它是一类形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。

二次函数在数学建模、物理学、经济学等领域有广泛的应用。

本文将从不同系数对二次函数的影响出发，探讨二次函数与系数的关系。

我们来讨论二次函数中的系数a。

系数a决定了二次函数的开口方向和开口程度。

当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。

同时，a的绝对值越大，图像开口的程度越大。

这是因为二次函数的图像可以看成是一个抛物线，而a则决定了抛物线的凸性。

例如，当a为正数时，抛物线的凸面朝上，形状较为平缓；而当a为负数时，抛物线的凹面朝上，形状较为陡峭。

我们来讨论二次函数中的系数b。

系数b决定了二次函数图像的位置。

具体而言，b控制了抛物线的平移。

当b大于0时，二次函数的图像向左平移；当b小于0时，二次函数的图像向右平移。

这是因为b的正负决定了抛物线的顶点位置。

当b为正数时，顶点向左移动；当b为负数时，顶点向右移动。

同时，b的绝对值越大，平移的距离越大，图像的位置越远离原点。

我们来讨论二次函数中的系数c。

系数c决定了二次函数图像与y 轴的交点。

具体而言，c的值就是二次函数与y轴的交点的纵坐标。

当c大于0时，交点在y轴上方；当c小于0时，交点在y轴下方。

当c的绝对值较大时，交点离原点的距离较远；当c的绝对值较小时，交点离原点的距离较近。

二次函数的系数对其图像有着重要的影响。

系数a决定了抛物线的开口方向和开口程度；系数b决定了抛物线的平移；系数c决定了抛物线与y轴的交点。

通过调整这三个系数的值，我们可以得到各种不同形状和位置的二次函数图像。

这种灵活性使得二次函数在模拟和描述各种实际问题时具有重要的作用。

在实际应用中，二次函数常常被用于建模和预测。

例如，在物理学中，二次函数可以用来描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用来描述成本与产量的关系。