数学物理方法数学物理方程的定解问题

数学物理方法复习整理数学物理方法一、本课程的教学内容第1章典型数学物理方程及定解问题第2章分离变量法第3章积分变换法第4章行波法和降维法（达朗贝尔法）第5章数理方程差分法第6章格林函数法第7章bessel方程与函数二、章节重点第一章典型的数学和物理方程及定解问题1。

术语解释：(1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性；(2).dirichlet、neumann定解问题；（3）傅立叶热传导定律和胡克弹性定律；（4）演化方程，势方程，拉普拉斯方程，泊松方程；2.简述二阶线性偏微分方程的分类方法。

3.推导一维波和热传导方程。

4.写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。

5.书1.4习题：1，3，4，7，8，96.书中示例1.1.1、1.1.3、1.1.6和1.2.1第二章分离变量方法1。

名词解释：(1)特征值、特征函数、sturm-liouville问题；(2)驻波、腹点、节点、基频、固有频率；(3)三角函数系正交性；(4)fourier级数；（5）矩形和圆形区域上的拉普拉斯问题；2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。

3.第2.7册练习：1,4,6,8,15,16（p65-67）。

4.书籍示例：2.1.1、2.1.2、2.2.1。

第三章积分变换方法1。

术语解释：(1)fourier变换；(2)laplace变换；（3）傅里叶变换，线性性质，位移性质；（4）拉普拉斯变换，线性性质，平移性质，微分性质；2.简述用积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本步骤。

3.写出傅里叶变换和拉普拉斯变换的存在条件。

4.用傅里叶变换方法导出了无限弦振动的达朗贝尔公式。

5.第3.6册练习：1（1）（2）、6、9（1）（2）、12、13（p93-94）。

6.书籍示例：3.1.1；3.1.2； 3.3.1、2、3、4、6；例3.4.1、3.4.2、3.4.3解的像函数。

第四章行波法与降维法(d’alembert法)1．名词解释：（1）无限长弦自由振动的达朗贝尔公式；（2）行波速度；(3)特征变换，特征线；(4)球对称性，降维法；2.简要描述达朗贝尔公式的物理意义。

u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简

（ 1） u dS 0 n （ 2） u( M 0 ) 满足球面 (圆 )平均值公式：
1 u( M 0 ) = 4π ε
1 u( M 0 ) = 2π ε
2
ò
, ) ¶B ( M 0 ε
u( M )dS , n = 3 ，
ò
, ) ¶B ( M 0 ε
u( M )dS , n = 2
2 2
v S (u n )dS S (uv n )dS V div(uv)dV V uv u vdV u S (v n )dS S (vu n )dS V div(vu )dV V vu u vdV
d q
x
第三章 偏微分方程的定解问题 第五节 Green函数法
例3.5.1求三维球域
{( x, y, z ) : x 2 y 2 z 2 R 2 }
球内的格林函数
P
R o
M0
的Laplace方程第一边值问题的Green函数。
解：M0点处放置正电荷电量
M1点处负电荷电量
要求： C 1 , P 4 rPM1 4 rPM 0
u(M 0 )
B (0, R )
R
0
f ( M ) G ( M , M 0 )dS n
0
1
第三章 偏微分方程M 0 ( 0 , 0 ), M ( , ) B(0, R), M 1 (
R2
0
,0 )
rMM1 1 G(M , M 0 ) ln n 2 rMM 0 M B (0, R )
u(M 0 )

f ( M ) G ( M , M 0 )dS G ( M , M 0 )F ( M )dV n

两个自变量的方程的分类
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
2 a12 − a11a22 > 0 2 a12 − a11a22 = 0 2 a12 − a11a22 < 0
双曲型 抛物型 椭圆型
线性、非线性？ 线性、非线性？ 阶数？ 阶数？ 齐次、非齐次？ 齐次、非齐次？
utt − a u xx = 0
2
utt − a2uxx = f (x,t)
输运方程：一维扩散问题； 输运方程：一维扩散问题；热传导问题
ut − a u xx = f ( x, t )
2
ut − a 2u xx = 0
恒定场方程：二维温度分布问题、 恒定场方程：二维温度分布问题、静电场问题
∇ 2u = ∂u ∂u + 2 =0 2 ∂x ∂y
定解问题＝泛定方程 定解条件 定解问题＝泛定方程+定解条件
数学物理方法
定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性； 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性； 若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
数学物理方程的分类
数学物理方法
分离变量(傅立叶级数) 分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程， 基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的 常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。 一、三类典型线性偏微分方程 波动方程：一维弦振动；杆的纵振动； 波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；电波传播