数学物理方法-第七章 数学物理方程的定解问题PPT精品文档20页

物质。
Q(x)
一、初始条件
• 在初始时刻给定物理量的分布：u(x,t)|t=0=φ(x). 表示t=0 时刻空间所有点的物理量的值是给定的。 • 由于多数运动方程含有对时间的二阶导数，因此我们还需 要知道初始时刻的“速度”分布，即物理量的一阶导数分 布值， ut(x,t)|t=0=ψ(x). • 稳恒状态：当系统的物理量不随时间发生变化，即
• 物理意义：作坐标变换X=x-at, T=t， 则f2(x-at)=f2(X)， 与时间无关！故f2(x-at)描述的是沿x正方向以速度a传播 的行波； • 同样， f1(x+at)描述沿x负方向以速度a传播的行波。 • u=f1(x+at)+f2(x-at)描述以速度a向两个方向传播波的叠加。 • 函数f1和f2是由初始条件决定的，决定沿正方向和负方向 传播的波形，即两个波的形状不会发生改变。 • 当两个波发生重叠时，整体的波形将发生改变。 • 注意到坐标变换实际上是伽利略变换。
B. 在一根均匀弦的中间有一个振动源？
C. 在两种不同材料之间的热传导方程及衔接条件？
§7.3 达朗贝尔公式
• 我们已经获得了一些关于连续介质运动的偏微分方程，以 及定解条件，现在的问题是如何求解这些方程。
• 本课程主要介绍级数求解法、积分求解法、积分变换法。
• 对于常微分方程的一般解法，先从方程本身求出通解，通 解中会含有一些积分常数，然后利用附加条件来确定这些 常数。偏微分方程也可以采用这种方法来求解。 • 我们首先介绍一种特殊的通解方法。
1. u1(x0,t)=u2(x0,t) u1t(x0,t)=u2t(x0,t); 2. u1xx(x0,t)-u2xx(x0,t)=(a12+ a22)u1tt(x0,t) ??

热传导问题：研究在热传导过程中温度
u（x，y，z；t）的空间分布和随时间变化
基本物理量： 温度 u（x，y，z；t）
温度梯度
u
u
i
u
j
u
k
x y z
（热方流向强： 度指向q温（度x增，大y，的z方；向t））
（单位时间内通过单位横截面积的热量）
基本定律：能量 守恒定律 热传导定律 q Ku
Sdx
2u t 2
utt a2uxx 0
2u Y 2u
t 2 x2 0 a2 Y
若杆受迫振动，设单位长度单位面积上所
受纵向外力为F（x，t）
YS
ux x
dx
2u
F（x，t）Sdx Sdx
Y 2u F（x，t）
2u t 2
t 2 x2
0
utt a2uxx f（x，t）
二、输运方程（抛物型二阶线性偏微分方程）
方向进入 dV 的净流量:
y
dQ y
（D y
u）dxdydz y
z dz z
y dy y
dQz
（D z
u）dxdydz z
x x dx x
（1） dV 内无物质源时
u t
dxdydz
（D x
u） x
（D y
u） y
（D z
uz ）dxdydz
ut
D（
2 x 2
2 y 2
2 z 2
）u
0
无源扩散方程： ut a2u 0 a2 D
u t
a（2
2 x 2
2 y2
2 z 2
）u
f（t；x，y，z）
ut a2u f
1、物质的扩散方程

同一问题不同环境下，其方程形式相同，即方程反映的是 物理过程变化的规律。
本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问 题和这些问题的几种常见解法。
二、边界问题----边界条件
对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方程， 必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境不同， 即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它们的解 不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的状态。 体现边界状态的数学方程称为边界条件。 三、历史问题----初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分 别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。虽 然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程的解 不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。体现历 史状态的数学方程称为初始条件。
描写微观粒子运动的 Schrodinger方程和 Dirac 方程
等等
第七章
数学物理定解问题
重点
1、从实际问题中建立数学物理方程的基本3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示
形式、以及解的物理意义。
第七章 数学物理定解问题
一、数学物理方程
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在各 个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之， 是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量守 恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定 律。
u
例1 弦在阻尼介质中振动，单位长 T1
度的弦所受的阻力为
a1
B
F=-Rut 推导弦的振动方程。
dsRu t
a2
T2
x x+dx
x
解：如图 选坐标系,以dx段为研究对象，弦无纵向振动
X 方向：T 2 cosα2 T1 cosα1=0

( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
T sin 2 T 2 cos
2 2
T1 cos 1 0 u
2
T1 sin 1 F ( x , t ) ds ( ds )
t
2
其中 为单位长度弦的质量， ( x , t ) 为单位 F
长度的弦所受的横向外力，ds 为 B 段弦的长度。 因研究的弦振动为微小振动， 所谓微小振动是指 弦 上 质 点离 开平 衡 位置 的 最大 位移 远 小于 波 在 弦中传播的波长，
2
【讨论】
数学物理方程导出的主要步骤： (1)选取一个坐标系，选择适当物理量。 (2)建立一个理想模型，理想情况下物理量才具有较好 的数学性质，如“柔软的弦”表明 u ( x , t ) 具有连续的 偏导数。 (3)找出该物理过程所遵循的运动规律，取一微元为代 表，将物理规律应用于该微元，列出方程。 (4)作适当的近似，并化简最后得出描述该物理过程的 数学物理方程。 (5)所得方程的正确性必须由实验验证，数学上的演 绎、推导只表明理论的自恰
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a