分块矩阵的初等变换及应用

1 分块矩阵的初等变换及应用 钱拓宽 （绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000）

摘要：矩阵的初等变换与初等矩阵是矩阵理论的重要方法.在处理一些矩阵问题有着重要的作用，将分块矩阵的初等变换到分块矩阵上，使分块矩阵也有类似的初等变换和初等矩阵，从而在处理分块矩阵时起到事半功倍的效果.关于分块矩阵和初等矩阵有不少文章有所涉及，但是他们都不够全面本文做了一些总结性的工作. 关键词：分块矩阵；初等变换；应用

1、分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到 定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置; （2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个）（ih阶）阶）（（il左(右)保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个）（ih阶）阶）（（il矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵tsijA）（的初等分块矩阵是指:

（1）))((kjiPi=sslliiEEKEE11

或ijkP=iilliijjEOEEOE （2） )(HPil=ssllEHE或)(HPik=iiEHE11 其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子； 2

(1) ))((kjiPi=sslliiEEKEE11

(2) 或))((kjiPk=lllliiEEKEE11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1 (1)交换tsijA）（的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵ijLP,其中

ijLP中的元素iiE为ｈ(i)阶单位矩阵, jjE为ｈ(j)阶单位矩阵,

当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rrE为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换tsijA）（的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵ijkP,其中iiE为ｌ(i)阶单位矩阵, jjE为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rrE为ｌ(ｒ)阶单位矩阵； (2) tsijA）（的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于tsijA）（左乘一个ｍ阶分块矩阵）（HPiL中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; tsijA）（的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于tsijA）（右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵）（HPik,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵； (3) tsijA）（的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于tsijA）（左乘一个初等分块矩阵））（（kjiPL;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于tsijA）（右乘））（（kjiPk. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵tsijA）（施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 Ajih），（）（1,

其中 h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+„+h(j)[h(i)+h(i+j)+„+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+„+l(j)[l(i)+l(i+j)+„+l(j-l)], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.

证明: HHPi）（,AkjiP））（（显然成立.

下证），（）（jihirLP1,iiE所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至jjE前,共进行ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+„+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至jjE前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把iiE所在的行移至jjE所在的行前,共进行 3

ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+„+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把jjE移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+„+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ),故），（）（jihirLP1;同理），（）（jilirRP1.

所以有APilj=iljPA=(-1)),(lihA或ilkAP=AilkP=（-1）),(jilA AHPil)(=)(HPilA=HA或A)(HPik=HA Akjipl))((=)((kjiPlA=A))((kjiAPK=A))((kjiPk=A 定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变. 证明: 对于(1),相当于对nmijaA)(进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据

定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把nmijaA)(行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立. 定理4 (1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当rank(Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)=ｍ时有唯一解,当rank(Ａ)= rank(Ａ,Ｂ)当rank(Ａ)< rank(Ａ,Ｂ)时无解; (2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当rank(Ａ)= ）（TTBArank,=ｎ时有唯一解,当rank(Ａ)= ）（TTBArank,当rank(Ａ)< ）（TTBArank,时无解. 证明: (1)设rank(Ａ)= rank(Ａ,Ｂ)

QOOOIPAr，QOOBBPB21

其中rI为ｒ阶单位矩阵, 1B为ｒ阶方阵,设QBBBBQXo43211, 则有: QOOOIPAXro QBBBBQ43211= 4321BBBBOOOIPr = QOOBBP21=B 所以oX为ＡＸ=Ｂ的解,其中3B, 4B是任意的. 当rank(Ａ)= rank(Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ(mI Ｏ)Ｑ,Ｂ=( 1B 2B),显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: QBBQXo）（211;当rank(Ａ)< rank(Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解.

同理可证(2)成立(当rank(Ａ)= rank( tA, TB)定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果rank( ijA)= rank( ijA,ivA)= rank (TijA,TivA), 则称ijA为极大元. 定理5 分块矩阵22　ijA）（可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是: 它有一个极大元. 证明: 充分性.不妨设11A为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使

QOOOIPAr11QOBOAPA2121，QOOAAPA2'1'12, 4

令Ｋ=-Ｐ4321AAAA1P,其中3A, 4A为适当阶数的任意矩阵.则 K11A+ 21A=P4321AAAA1PPOOOIrQ， 所以22　ijA）（ 第一行左乘Ｋ加到第二行,得22121211AKAOAA.同理,令Ｋ＇=-1Q4231，，，，AAAAQ, 则11AＫ′+12A =0,所以22121211AKAOAA的第一列右乘Ｋ′后加到第二列, 得221211AKAOOA. (如先进行列变换,再进行行变换,得222111AKAOOA，, 因为2221AKA=2'21'22'11'1AAAAAAAA+22A=21'AK+22A,故两种运算顺序结果相同) 必要性.反证法,不妨设rank(11A)≠rank(TA11,TA21)或rank(TA11,TA221)rank(21A),则由定理4, X11A=-21A或X21A=-11A无解,从而不存在Ｋ,使22　ijA）（对角化.同理,当rank(11A)≠rank(11A,12A)或rank(11A,12A)≠rank(12A)时,不存在'K使 -A11K'=A12或-'12KA=11A成立. 定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化. 定理6 矩阵nmA的一种分块方法tsijA)(可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元. 证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立; 设ｓ ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使tsijA）（的前ｅ行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩阵,记为22　ijB）（.显然11B为极大元,根据定理4, 22　ijB）（可以化成对角形:







2221BKBOOB

,又）（）（111feijAB,它的每行、列都有极大,故由假设11B可以对

角化,从而feijA）（）（1可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, ）（）（1feijA可以对角化.由此命题成立. 下面讨论对角化后的非零块iiA进一步化简的方法.

设QOOOIPAiii,121PBOBILii与211CCOIQRRi.根据定理1,

iL,iR为iiA的左(右)保秩因子,显然也是iiA所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的

分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘iL,右乘iR后, iiA可以化成OOOIi