。
2.1.2 分块矩阵与广义初等变换[3]
分块矩阵可以解释为矩阵中的矩阵,而对这个矩阵进行初等变换, 相应的初等矩阵也要变为可计算的分块矩阵,所进行的变换陈维广义初等变换.其目的在于简化计算和证明.
定义 1 矩阵 称为分块矩阵,如果元素A ij 为 阶矩阵,其中m 1+m 2+m 3+…+m r =M 注释：定义规定分块矩阵为与同行的矩阵有相同的行数,位于同列的元素有相同的列数.它们的行数之和构成分块矩阵的行数, 列数之和构成分块矩阵的列数. 分块矩阵的运算满足矩阵的运算定义,由于它的特殊性,故此给出各自的定义.
•
设 A,B 为两个分块矩阵,则定义它们的加法为 A+B=(A ij + B ij )
条件：A,B 为同阶矩阵而且A ij , B ij 也为同阶矩阵.
•
设 A=(A ij )rxt , B=(B ij )txs 为两个分块矩阵,则定义它们的乘法为A X B=(C ij )
其中∑==
t
j kj ik
ij B A
C 1
的列数t 等于B 的行数而且A ij x B ij 也存在.
同样地,广义初等变换与广义初等矩阵可简单叙述如下：
定义 2 广义初等变换是对分块矩阵进行以下的变换的统称.
• 交换矩阵的两行(列)； • 将某行(列)左(右)乘可逆矩阵；
•
将某行(列)左(右)乘矩阵加到另一行(列)上；
定义 3 设E nXn 为分块的单位矩阵,对其进行一次广义初等变换所得到的矩阵称为广义初等矩阵[4]
.
例子 1 广义初等矩阵具体形式
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛0000m
n n m
E E E E , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n m
E P E E 000
0, ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛En Q E E E m
n m
000 广义初等矩阵(变换)的作用如同一般的初等矩阵(变换),遵守"左行右列"原则. 例子 2 设 ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=D C B A M
那么 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A E
E m n 00
, ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A En P 00 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛D QB C QA B A D C B A En Q E m 0
2.1.3 分块矩阵的初等行（列）变换的定义
[5]
与普通矩阵的初等行变换类似，分块矩阵也有三种类型的初等行变换：1.把一个块行的左P 倍（P 是矩阵）加到另一个块行上；2.换两个块行的位置；3.用一个可逆矩阵左乘 某一块行。
2.1.4 分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵的关系
把单位矩阵分块得到的矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛I I 00经过一次分块矩阵的初等行（列）变换得到的
矩阵称为分块初等矩阵。例如：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I P I 0, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O I I 0, ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛I Q 00是三种不同类型的分块初等矩阵（其中Q 是可逆矩阵）通过直接计算可以验证：用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对这个分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换。
分块矩阵的初等行（列）变换有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵可以得到一个等式，把两者结合起来可以发挥出很大的威力。
2.1.5 分块矩阵的初等变换与矩阵的秩[6]
由于分块初等矩阵是可逆矩阵，因此据可逆矩阵的性质和上述结论得到：分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩这个结论在求矩阵的秩时很有用。
2．2 分块矩阵的相关应用
2.2.1 利用矩阵分块的方法计算行列式[7]
利用初等变换可使分块矩阵的行列式的计算得到简化.为讨论分块矩阵行列式的计算，先讨论分块初等矩阵的行列式，它们的行列式有下列的计算公式。
引理 分块初等矩阵的行列式有以下性质：
(1)︱E(i,j)︱=(-1)x ，其中i=r i (r i+1+…+r j ) + r j (r i+1+…+r j-1), (i(2)︱E(i(P))︱=︱P ︱，其中P 是r i 阶可逆矩阵； (3)︱E(j(P),i)︱=1，其中P 是r i x r j 矩阵.
