第八节函数与方程命题导航考试要点命题预测(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.1.考向预测:主要考查确定函数零点的个数及其所在的区间,利用零点解决参数问题.2.学科素养:主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使①f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与②x轴有交点⇔函数y=f(x)有③零点.2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有④f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间⑤(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得⑥f(c)=0,这个⑦c也就是方程f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.▶提醒(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点⑧(x1,0),(x2,0)⑨(x1,0)无交点零点个数⑩两个一个无4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));(iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.知识拓展(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.(4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.(5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(✕)(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(✕)(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(✕)(4)若函数f(x)在(a,b)上的图象是连续的,且函数在(a,b)上单调,且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.(✕)(5)对于任意的a∈R,函数f(x)=e x+a一定有零点.(✕)(6)对于任意的a∈R,函数f(x)=ln x+a一定有零点.(√)2.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案C3.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3 答案 B4.在下列区间中,函数f(x)=3x -x 2有零点的是( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1]D.[-1,0] 答案 D5.根据表格中的数据,可以判定方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为( )x -1 0123e x 0.37 1 2.72 7.3920.09 x+2 12 3 4 5A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) 答案 C6.若函数f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a 的取值范围是 . 答案 (13,1)函数零点所在区间的判断典例1 (1)设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)( ) A.在区间(1e ,1),(1,e)内均有零点B.在区间(1e ,1),(1,e)内均无零点C.在区间(1e ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间(1e ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 (2)已知函数y=(12)x -2与y=x 3图象的交点坐标为(x 0,y 0),则x 0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 (1)D (2)B解析 (1)令f(x)=0,得13x=ln x.作出函数y=13x 和y=ln x 的图象,如图,显然y=f(x)在(1e ,1)内无零点,在(1,e)内有零点.故选D.(2)设f(x)=(12)x -2-x 3,显然此函数是减函数,f(1)=(12)1-2-13=1>0, f(2)=(12)2-2-23=-7<0,即f(1)f(2)<0,∴f(x)在区间(1,2)内存在零点,且是唯一零点.∴x 0∈(1,2).故选B. 方法技巧确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定区间上.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看图象的交点所在区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.1-1 函数f(x)=ln x-2x 2的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 B 易知f(x)=ln x-2x 2在定义域(0,+∞)上是增函数,又f(1)=-2<0, f(2)=ln 2-12>0.根据零点存在性定理,可知函数f(x)=ln x-2x 2有唯一零点,且在区间(1,2)内. 故选B.1-2 若x 0是方程(12)x=x 13的解,则x 0属于区间( ) A.(23,1) B.(12,23) C.(13,12)D.(0,13)答案 C 令g(x)=(12)x, f(x)=x 13, 则g(0)=1>f(0)=0,g (12)=(12)12<f (12)=(12)13, g (13)=(12)13>f (13)=(13)13, ∴13<x 0<12.确定函数的零点命题方向一 判断零点个数典例2 (1)函数f(x)=3sin π2x-lo g 12x 的零点个数是( )A.2 B .3 C.4 D.5(2)若a 满足x+lg x=4,b 满足x+10x=4,函数f(x)={x 2+(a +b)x +2,x ≤0,2,x >0,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数是( )A.1 B .2 C.3 D.4 答案 (1)D (2)C解析 (1)由f(x)=0得3sin π2x=lo g 12x,在同一平面直角坐标系内画出函数y=3sin π2x 和y=lo g 12x 的图象,如图所示,从图象上看,两个函数的图象有5个交点,所以原函数有5个零点,故选D.(2)由已知,得lg x=4-x,10x =4-x.在同一平面直角坐标系中作出y=10x ,y=lg x 以及y=4-x 的图象,其中y=10x ,y=lg x 的图象关于直线y=x 对称,直线y=x 与y=4-x 的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)={x 2+4x +2,x ≤0,2,x >0.当x ≤0时,由x 2+4x+2=x,得x=-1或x=-2;当x>0时,x=2,所以方程f(x)=x 的解的个数是3.2-1 函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点个数为( )A.1 B .2 C.3 D.4答案 B 易知函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数⇔方程|log 0.5x|=12x =(12)x的根的个数⇔函数y 1=|log 0.5x|与y 2=(12)x的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.2-2 已知函数f(x)={x +1,x ≤0,log 2x,x >0,则函数y=f(f(x))+1的零点个数是( )A.4 B .3 C.2 D.1答案 A 由f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,由f(-2)=f (12)=-1,得f(x)=-2或f(x)=12. 若f(x)=-2,则x=-3或x=14; 若f(x)=12,则x=-12或x=√2.综上可得函数y=f(f(x))+1的零点个数是4,故选A.命题方向二 求零点典例3 已知函数f(x)={e x -1-1,x <2,log 3x 2-13,x ≥2,则f(x)的零点为( ) A.1,2 B.1,-2 C.2,-2 D.1,2,-2 答案 A解析 当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0, 即e x-1=1,解得x=1,满足题意; 当x ≥2时,令f(x)=log 3x 2-13=0,则x 2-13=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2.因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.2-3 已知f(x)={xlnx,x >0,x 2-x -2,x ≤0,则其零点为 .答案 1,-1解析 当x>0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0, 解得x=1;当x ≤0时,由f(x)=0, 即x 2-x-2=0,解得x=-1或x=2(舍). 综上,函数的零点为1,-1.函数零点的应用典例4 (1)若函数f(x)=2x -2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)(2)若函数f(x)=(m-2)x 2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是 .答案 (1)C (2)(14,12)解析 (1)因为函数f(x)=2x -2x -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x -2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(2)依题意,结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足{m ≠2,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,即{m ≠2,[m -2-m +(2m +1)](2m +1)<0,[m -2+m +(2m +1)][4(m -2)+2m +(2m +1)]<0, 解得14<m<12. 方法技巧根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.3-1 已知函数f(x)=4x +a ·2x+1+4没有零点,则实数a 的取值范围是 .答案 (-2,+∞)解析 设2x=t,则t 2+2at+4=0在(0,+∞)上无解,分离参数得a=-4-t 22t=-(2t +t2),则-(2t +t 2)≤-2,当且仅当t 2=2t ,即t=2时取等号,因为直线y=a 与y=-(2t +t2)的图象在(0,+∞)上没有交点,所以a>-2.3-2 m 为何值时,函数f(x)=x 2+2mx+3m+4: (1)在(-1,3)上有两个零点? (2)有两个零点且均比-1大? 解析(1){-1<-m <3,f(-1)>0,f(3)>0,Δ>0⇒{-3<m <1,1-2m +3m +4>0,9+6m +3m +4>0,4m 2-4(3m +4)>0⇒m ∈(-139,-1).(2)设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2,由题意得{-b2a >-1,f(-1)>0,Δ>0⇒{-m >-1,1-2m +3m +4>0,Δ>0⇒m ∈(-5,-1).1.若函数f(x)=(m-2)x 2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是 . 答案(14,12)解析 依题意,可知m 需满足{m ≠2,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,即{m ≠2,(m -2-m +2m +1)(2m +1)<0,(m -2+m +2m +1)[4(m -2)+2m +2m +1]<0, 解得14<m<12.2.已知f(x)=x 2+(a 2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a 的取值范围. 解析 解法一:设方程x 2+(a 2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 1-1)(x 2-1)<0,∴x 1x 2-(x 1+x 2)+1<0,又易知x 1+x 2=1-a 2,x 1x 2=a-2,∴a-2+a 2-1+1<0,即a 2+a-2<0,解得-2<a<1.解法二:函数f(x)的大致图象如图所示,则有f(1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,解得-2<a<1,故实数a 的取值范围是(-2,1).A 组 基础题组1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )A.y=lo g 12x B.y=2x -1 C.y=x 2-12D.y=-x 3答案 B 2.已知f(x)=x 2+6x+c 有零点,但不能用二分法求出,则c 的值是( )A.9B.8C.7D.6答案 A 函数f(x)=x 2+6x+c 有零点,但不能用二分法求出,说明此二次函数图象与x 轴只有一个交点,即Δ=36-4c=0,解得c=9,故选A.3.函数f(x)=x 2-1x -1在区间(k,k+1)(k ∈N)内有零点,则k=( )A.1B.2C.3D.0答案 A 因为k ∈N 时,函数f(x)=x 2-1x -1在区间(k,k+1)上单调递增,且f(1)=12-11-1=-1<0,f(2)=22-12-1=52>0,所以函数f(x)=x 2-1x -1在区间(1,2)上有零点,即k=1,故选A.4.已知函数f(x)=(15)x-log 3x,若x 0是函数y=f(x)的零点,且0<x 1<x 0,则f(x 1)的值( )A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0答案 A 由题意,可得函数f(x)=(15)x -log 3x 在(0,+∞)上是减函数,当0<x 1<x 0时,有f(x 1)>f(x 0).又x 0是函数f(x)的零点,因此f(x 0)=0,所以f(x 1)>0,即f(x 1)的值恒为正值,故选A.5.已知函数f(x)=6x -log 2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案 C 因为f(1)=6-log 21=6>0, f(2)=3-log 22=2>0, f(4)=32-log 24=-12<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(2,4),故选C.6.函数f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内的零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C 由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞).在同一平面直角坐标系中作出函数y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.7.方程2x +3x=k 的解在[1,2)内,则k 的取值范围是 .答案 [5,10)解析 令f(x)=2x +3x-k,则f(x)在R 上是增函数.当方程2x +3x=k 的解在(1,2)内时, f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.当f(1)=0时,k=5.综上,k 的取值范围是[5,10).8.函数f(x)=e x +12x-2的零点有 个.答案 1解析 ∵f(x)在R 上单调递增,又f(0)=1-2<0, f(1)=e-32>0,∴函数f(x)有且只有一个零点. 9.已知关于x 的方程2kx 2-2x-5k-2=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k 的取值范围是 .答案 (-∞,-43)∪(0,+∞)解析 关于x 的方程2kx 2-2x-5k-2=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1.则k ≠0.根据函数的零点存在性定理知,当k>0时,只需满足f(1)=-3k-4<0⇒k>-43,即k>0,当k<0时,只需满足f(1)=-3k-4>0⇒k<-43,综上所述,k ∈(-∞,-43)∪(0,+∞).10.若函数f(x)=4x -2x -a,x ∈[-1,1]有零点,则实数a 的取值范围是 .答案 [-14,2]解析 ∵函数f(x)=4x -2x -a,x ∈[-1,1]有零点,∴方程4x -2x -a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x -2x在[-1,1]上有解.方程a=4x -2x 可变形为a=(2x -12)2-14,∵x ∈[-1,1],∴2x ∈[12,2],∴(2x -12)2-14∈[-14,2]. ∴实数a 的取值范围是[-14,2].11.已知函数f(x)={2x -a,x ≤0,x 2-3ax +a,x >0有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 . 答案 (49,1] 解析 依题意,要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x ≤0时,方程2x -a=0,即2x =a 必有一个根,此时0<a ≤1;当x>0时,方程x2-3ax+a=0有两个不等的实根,即方程x2-3ax+a=0有两个不等的正实根,于是有{Δ=9a2-4a>0,3a>0,a>0,解得a>49,因此,满足题意的实数a需满足{0<a≤1,a>49,即49<a≤1.B组提升题组1.设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0答案A因为函数f(x)=e x+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时,a∈(0,1).又g(x)=ln x+x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln2+1>0,所以g(b)=0时,b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,所以f(b)>0.综上可知,g(a)<0<f(b).2.已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2x·log2x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c答案D令f(x)=2x+log 2x=0,则log2x=-2x.令g(x)=2-x-lo g12x=0,则log2x=-2-x.令h(x)=2x log2x-1=0,则2x log2x=1,log2x=12=2-x.所以函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2x log2x-1的零点可以转化为求函数y=log2x与函数y=-2x,y=-2-x,y=2-x的图象的交点,如图所示,可知0<a<b<1,c>1,∴a<b<c.故选D.3.若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x ∈[0,1]时, f(x)=x,则函数y=f(x)-log 3|x|的零点个数是( )A.8B.4C.3D.2答案 B 由题意知, f(x)是周期为2的偶函数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=log 3|x|的大致图象,如图.观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log 3|x|有4个零点.4.已知函数f(x)=log 2(2x +1).(1)求证:函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;(2)若g(x)=log 2(2x -1)(x>0),且关于x 的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]上有解,求m 的取值范围. 解析 (1)证明:任取x 1,x 2∈(-∞,+∞),且令x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=log 2(2x 1+1)-log 2(2x 2+1)=log 2 2x 1+12x 2+1,∵x 1<x 2,∴0<2x 1+12x 2+1<1,∴log 2 2x 1+12x 2+1<0,∴f(x 1)<f(x 2),∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(2)∵g(x)=m+f(x),∴m=g(x)-f(x)=log 2(2x -1)-log 2(2x +1)=log 2 2x -12+1=log 2 (1-22x +1),∵1≤x ≤2,∴2≤2x ≤4,∴log 2 13≤log 2(1-22x +1)≤log 2 35,故m 的取值范围为[log 213,log 235].素养拓展,关于函数f(x)=14x +2的性质的说法正确的是( )A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)的值域为(0,+∞)C.方程f(x)=x 有且只有一个实根D.函数f(x)的图象是中心对称图形答案 ACD6.已知λ∈R,函数f(x)={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)解析 当λ=2时,不等式f(x)<0等价于{x ≥2,x -4<0或{x <2,x 2-4x +3<0,即2≤x<4或1<x<2,故不等式f(x)<0的解集为(1,4).易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,此时λ>4.②两个零点为1,4,此时1<λ≤3.综上,λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞).。
