量子力学选择题3

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。

求其定态能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。

四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2)0(1。

在不含时微扰H 'ˆ作用下，总哈密顿算符Hˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=**21100E E E H βαβα。

求受微扰后的能量至一级。

五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的xS ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。

A —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？4、简述定态微扰理论。

第二章 波函数与薛定谔方程（2）一、填空题1、一维谐振子处于其能量本征态n ψ,则其动能的平均值为__________；势能的平均值为___________________。

2、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x )，其定态薛定谔方程为 ，与ψn (x )相对应的能量为 。

3、一般来说，把无限远处为零的波函数所描写的状态称为 ，体系能量最低的态称为 。

4、线性谐振子的x x dx d H αμωμ++-=22222212ˆ ，α为实数，则其能n E = 。

5、粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 ，第一激发态的波函数为 。

6、基态是指 的状态，一维线性谐振子的基态波函数为 。

7、一维线性谐振子的第一激发态的能量为 、第一激发态的波函数为 。

8、t =0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ 。

9、 称为隧道效应。

答案：粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象10、 的状态称为束缚态，其能量一般为 谱。

10、处于第3激发态的线性谐振子的经典禁区为 。

二、选择题1、在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a B.πμ22228 n a C.πμ222216 n a D.πμ222232 n a. 2、在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0B.x a =C.x a =-D.x a =2 3、线性谐振子的能级为A.,...)3,2,1(,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ω . B.(),....)2,1,0(,1=+n n ω .C.,...)2,1,0(,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ω . D.(),(,,,...)n n +=1123 ω 4、线性谐振子的能量本征方程是A.2222221[]22d x E dx μωψψμ-+= . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.2222221[]22d x E dx μωψψμ+=- 5、线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0B.x =±μωC.x =μωD.x =±μω.6、一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大7、一维谐振子处于01A B ψϕϕ=+，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B AC.1=+B AD.B A =8、对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是 A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。

、如果原子本身处于激发态，在没有外界光照时，也可能跃迁到某些较低能级而放出光来，（B）自发和受激吸收（C）光的吸收是可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是ˆx p μω+ˆx p μω-1=- （2）,a a a +⎡⎤⎣⎦,a a a a +++⎤=⎦（3）ˆH 、2题各15分，第3、,要求有具体计算步骤）的矩阵为： ⎤⎥理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）1. 单值的，平方可积的2. 线性算符，厄米算符3. 平均值 几率分布4. 4 200ψ，211ψ，210ψ，211ψ-5. 平均场 积三、 证明题（共15分）证明：（1）[][]ˆˆˆˆ,,21111ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,2222ˆˆˆˆ,,122a a x p x p i i i x x x p p x p pi i x p p x μωμωμωμωμωμωμωμωμωμω+⎡⎤⎫⎛⎫⎡⎤=-+⎥⎪ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=- 其中利益[]ˆˆ,xp i = （6分） （2）[],,,a a a aa a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （4分）（3）可以求得：()ˆxa a +=+ ()ˆpa a +=-系统Hamilton 为()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H x a a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭（5分）四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=（2分） 利用三角函数积化和、差，将()x ψ改写 ()2cos x xx a a ππψ=21cosx x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 22sin 2sin cos x x x a a aπππ⎤=+⎥⎦3sin sin x x a a ππ⎤=+⎥⎦ 3x x a a ππ⎤=⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ （4分）()x ψ是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在()1xx aπψ=出现几率为12，能量为22122E ma π=部分处在()33x x a πψ=，出现几率为12，能量为223292E ma π= （2分） (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E ma π=+= （3分）（3）粒子随时间变化的波函数为 ()222292223,sin 2n i i iE tt t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎭∑ （4分） 2、解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（3分）cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭，其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b ee ϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- （4分）当1λ=时，对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时，对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （2分） （2）在ˆz s本征态1/2χ下，n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭（3分）故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（3分）3、解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1） 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E （2分）又二级能量公式是： 2'(2)(0)(0)nkkn k nn kH E E E ≠=-∑（2分）所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEE E E E ==+=----∑（2分） 2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n nnH H H a E E E E E E E E E ==+=----∑（2分） 22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H Hb a E EEEEE E E E E E ==+=+-----∑（2分） 4．解：（1）利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为 222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）（2）证明：2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x e ψπ=，本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x e ψπ=，本征值为z p -∞<<∞ （4分） （3）选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P （2分）。

量子场论考试题及答案一、单项选择题（每题 2 分，共 10 题）1. 量子场论中，场的量子化是将哪个经典理论推广到量子理论？A. 经典力学B. 经典电磁学C. 经典场论D. 相对论答案：C2. 量子场论中，哪个粒子是自旋为1/2的费米子？A. 光子B. 电子C. 胶子D. W和Z玻色子答案：B3. 量子场论中，哪个粒子是自旋为1的矢量玻色子？A. 电子B. 胶子C. W和Z玻色子D. 光子答案：D4. 量子场论中，哪个粒子是自旋为0的标量玻色子？A. 胶子B. Higgs玻色子C. W和Z玻色子D. 光子答案：B5. 量子场论中，哪个粒子是自旋为1的矢量费米子？A. 电子B. 胶子C. 中微子D. 夸克答案：C6. 量子场论中，哪个粒子是自旋为1的标量玻色子？A. 胶子B. Higgs玻色子C. W和Z玻色子D. 光子答案：B7. 量子场论中，哪个粒子是自旋为2的张量玻色子？A. 胶子B. 引力子C. W和Z玻色子D. 光子答案：B8. 量子场论中，哪个粒子是自旋为1的旋量玻色子？A. 胶子B. W和Z玻色子C. 光子D. Higgs玻色子答案：B9. 量子场论中，哪个粒子是自旋为1/2的旋量费米子？A. 胶子B. W和Z玻色子C. 光子D. 夸克答案：D10. 量子场论中，哪个粒子是自旋为1/2的旋量费米子？A. 胶子B. W和Z玻色子C. 光子D. 电子答案：D二、多项选择题（每题 2 分，共 10 题）11. 量子场论中，以下哪些粒子是规范玻色子？A. 光子B. 胶子C. W和Z玻色子D. 引力子答案：ABC12. 量子场论中，以下哪些粒子是费米子？A. 电子B. 胶子C. W和Z玻色子D. 夸克答案：AD13. 量子场论中，以下哪些粒子是标量玻色子？A. 胶子B. Higgs玻色子C. W和Z玻色子D. 光子答案：BD14. 量子场论中，以下哪些粒子是矢量玻色子？A. 电子B. 胶子C. W和Z玻色子D. 光子答案：BCD15. 量子场论中，以下哪些粒子是张量玻色子？A. 胶子B. Higgs玻色子C. W和Z玻色子D. 引力子答案：D16. 量子场论中，以下哪些粒子是旋量玻色子？A. 胶子B. W和Z玻色子C. 光子D. Higgs玻色子答案：B17. 量子场论中，以下哪些粒子是旋量费米子？A. 胶子B. W和Z玻色子C. 光子D. 夸克答案：D18. 量子场论中，以下哪些粒子是自旋为1/2的？A. 电子B. 胶子C. W和Z玻色子D. 夸克答案：AD19. 量子场论中，以下哪些粒子是自旋为1的？A. 电子B. 胶子C. W和Z玻色子D. 光子答案：BCD20. 量子场论中，以下哪些粒子是自旋为0的？A. 胶子B. Higgs玻色子C. W和Z玻色子D. 光子答案：B三、判断题（每题 2 分，共 10 题）21. 量子场论是量子力学和经典场论的结合。