曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题复习答案考研资料

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其中 与 ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合 项 表示耦合的强度，设 比较小，把 H 中的
看成微扰，而 取为
它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为
令
则能量表示式可改为
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二、散射态微扰论 1．散射态的描述 （1）散射（微分）截面、散射总截面和散射振幅的定义
图 10.1 设一束粒子以稳定的入射流密度 （单位时间穿过单位截面的粒子数）入射．由于靶 粒子的作用，设在单位时间内有 个粒子沿 方‘向的立体角 中出射．显然，
即
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（3）必然有 个实根，记为
.这一系列值即一级修正能量，它相应的
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准确到一级微扰修正的能量为
.
（根 代人方程（36），即可求得相应的解，记为
于
是得出新的零级波函数
如 个根 无重根，则原来的 重简并能级 将完全解除简并，分裂为 条．但如 有部分重根．则能级简尚未完全解除．凡未完全解除简并的能量本征值，相 应的零级波函数仍是不确定的．
由式（6）可以看出，对于 情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?） 以 N=1 为例，能级为二重简并，能量本征值为
相应的本征函数为 记
与
（或者它们的线性叠加）．为表示方便，
并选 与 为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰 W= 元如下：
的矩阵
可得出能量的一级修正为

曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习网>免费在线试用20％资料全国547所院校视频及题库资料考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试目录隐藏第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记1.2课后习题详解1.3名校考研真题详解第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记2.2课后习题详解2.3名校考研真题详解第3章力学量用算符表达3.1复习笔记3.2课后习题详解3.3名校考研真题详解第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记4.2课后习题详解4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记5.2课后习题详解5.3名校考研真题详解第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记6.2课后习题详解6.3名校考研真题详解第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记7.2课后习题详解7.3名校考研真题详解第8章自旋8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3名校考研真题详解第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3名校考研真题详解第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解第11章量子跃迁11.1复习笔记11.2课后习题详解11.3名校考研真题详解第12章其他近似方法12.1复习笔记12.2课后习题详解12.3名校考研真题详解内容简介隐藏本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。

本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。

因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。

（2）详解课后习题，巩固重点难点。

本书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

（3）精编考研真题，培养解题思路。

第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。

第10章微扰论10.1 设非简谐振子的Hamilton量表示为为实数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）．解：能量的本征值和归一化本征态（无简并）为利用Hermite多项式的递推关系得对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为能量的二级修正值为由式（6）可知，只当m取（n－3），（n－1），（n＋1），（n＋3）四个值时才有贡献，即由此可得在准确到二级近似下体系能量值为在准确到一级近似下，能量本征函数为10.2 考虑耦合谐振子（λ为实常数，刻画耦合强度）．（a）求出的本征值及能级简并度；（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）；（c）严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换，令称为简正坐标，则H可化为两个独立的谐振子。

【详细分析和解答见《量子力学》卷Ⅰ，518～521页】答：Hamilton量为其中与ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合项表示耦合的强度，设比较小，把H中的看成微扰，而取为它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为令则能量表示式可改为由式（6）可以看出，对于情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?）以N=1为例，能级为二重简并，能量本征值为相应的本征函数为与（或者它们的线性叠加）．为表示方便，记并选与为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰W=的矩阵元如下：可得出能量的一级修正为因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为能级简并被解除，类似还可以求其他能级的分裂，如下图所示．本题还可以严格求解，作坐标变换，令其逆变换为容易证明因此，Schrodinger方程化为令即于是方程（13）变为是两个彼此独立的谐振子，其解可取为相应的能量为当时，由式（14），得此时例如，N=1的情况，（n1，n2）=（1，O）与（0，1），相应的能量分别为能级分裂这与微扰论计算结果式（8）一致．10.3 一维无限深势阱（0<x<a）中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。

第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ1、φ2、φ3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi 子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态的构造方式如下：Bose子体系态（共6种，均为交换对称态）有Fermi子体系态（反对称态）只有3种：当全同粒子体系的粒子数超过两个时，一般来说，对于粒子间的交换完全对称的状态（适用于Bose子）数目与完全反对称的状态（适用于Fermi子）数目之和，总是小于没有对称性限制的体系状态（适用于经典粒子）总数．亦即，后者除了完全对称态和完全反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态．例如，由三个全同粒子组成的体系，如可能的单粒子态有3种，则在Boltzmann统计、Bose统计、Fermi统计下，体系的可能态数目分别为27、10和1．4.3 设体系由3个粒子组成，每个粒子可能处于3个单粒子态（φ1，φ2和φ3）中任何一个态，分析体系的可能态的数目，分三种情况：（a）不计及波函数的交换对称性；（b）要求波函数对于交换是反对称；（c）要求波函数对于交换是对称．试问：对称态和反对称态的总数为多少?与（a）的结果是否相同?对此做出说明．解：（a）不计及波函数的交换对称性，其可能态的数目为33＝27；（b）要求波函数对于交换是反对称的，其可能态的数目为1；（c）要求波函数对于交换是对称的，其可能态的数目为1＋6＋3＝10（参见《量子力学教程》4.5.4节，94页的例题）．对称态和反对称态的总数＝10＋1＝11，而不计及交换对称性的量子态的数目（即（a）的结果）为27，两者并不相同．原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的限制所造成．4.4 设力学量A不显含t，H为体系的Hamilton量，证明证明：对于不显含t的力学量A，有上式两边再对t求导，则有即4.5 设力学量A不显含t，证明在束缚定态下证明：定态是能量本征态，满足对于束缚态，是可以归一化的，即取有限值．而对于不显含t的力学量A，因此4.6 表示沿z方向平移距离口的算符．证明下列形式波函数（Bloch波函数）：是D x（a）的本征态，相应本征值为证明：利用可得而对于形式为的波函数所以，即是D x（a）的本征态，相应本征值为e-ika．4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为En和，n为标记包含Hamilton 量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数．设H含有一个参数A，证明此即Feynman-Hellmann定理．【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，5.1题．】5.1 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为E n和（n为量子数或编号数），设λ为Hamilton算符H含有的任何一个参数．证明（1）这称为Feynman-Hellmann定理．以后简称F-H定理．证明：满足能量本征方程（2）其共轭方程为（2'）视λ为参变量，式（2）对λ求导，得到（3）以左乘式（3），利用式（2'）和归一化条件，即得式（1）．4.8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为丨n>和E n，n为一组完备好量子数．证明，力学量（算符）F随时间的变化，在此能量表象中表示为【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，2.1题．】2.1 给定总能量算符H（，，p），以表示其本征值和本征函数．态矢量简记为按照Heisenber9运动方程，力学量算符A（r，p）的时间变化率为（1）定义能量表象中矩阵元（2）证明（3）其中。

Nne 2 Hn (
x)
xn
=
1
[
n2n−1 +
n
+ 2
1n+1
]
d dx
n
= [
n2n−1 −
n
+ 2
1n
+1
]
其中 =
。
2.2 课后习题详解
2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数，如 a=b=c，讨论能级的简并度。 解：在匣子内
,n
=
1，2，3,…
该本征能量表达式说明说明：并非任何 E 值所相应的波函数都满足本问题所要求的边
条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的（disorete）．
（2）无限深方势阱本证波函数
归一化波函数表示为
2．有限深对称方势阱 设
a 为阱宽，V0 为势阱高度．以下讨论束缚态（0＜E＜V0）情况． 束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取 sinkx 或 coskx 形式． （1）偶宇称态．
E
=
En
=
(n +
1)h, n 2
=
0,1, 2,…
此即谐振子的能量本征值．可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级
的间距为 ．
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2.一维谐振子本征波函数
一维谐振子波函数常用的关系式如下
n
=
− 1 2 x2

2．势阱中的束缚态 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称．以下分别讨论． （1）偶宇称态 归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取 C 为实数）

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第 1 章 波函数与 Schrödinger 方程
一、选择题
1．光子和电子的波长都为 5.0 埃，光子的动量与电子的动量之比是多少?（ ）[中
南大学 2009 研]
A．1
B．3×1010
C．3.3×10-11
D．8.7×10-21
涉图像位置．C 项，电子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝．D 项，题中提到狭
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缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间 距相当，干涉图样不会消失．
4．题 2 中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离（ ）．[中 南大学 2009 研]
A．干涉图样向装探测器的狭缝移动 B．干涉图样中相邻最大值之间距离改变 C．干涉图样பைடு நூலகம்失 D．干涉图样变弱
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【答案】C
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【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量 P h 不
确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭缝射出的光波将不再是相干光，而干涉
2．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由．[南京大学 2009 研]
图 1-1
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A．向上移动距离 d
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B．向下移动距离 d
C．向上移动距离 d／2
D．向下移动距离 d／2
【答案】B
【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为 a，偏下的光线为 b，未

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在能量本征态 下逐项计算平均值，并利用公式
即得
式（3）加式（4），再减式（5）和（6），即得式（1）．
注意：如
和 并无简单关系．如 F 为厄米算符，即
，则
，
这时
，式（1）就变成《量子力学习题精选与剖析》[下]题 2.4 式（1）．
类似有
AC＋CA＝0
（b）由于
，可知其本征值为±1，又按假定，A 本征态无简并，所以，在 A 表象
中 A 的对角矩阵表示为
设 B 的矩阵为
由 AB＋BA＝0，得
即
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所以
，即
又由
，有
所以 bc＝1，因而 B 的矩阵表示为
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在 sz 表象中可以表示为
证明：按假设， 不妨取
．基矢的正交完备性表现为
可以验证，假想的自旋算符的 2 维矩阵表示分别为
与《量子力学教程》8.1 节，（21）式（Pauli 矩阵）比较． 【参见《量子力学教程》8.1 节，（21）式．】
7.9 设 F 为体系的一个可观测量（厄米算符），H 为体系的 Hamilton 量，证明在能量 表象中的下列求和规则：
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第 7 章 量子力学的矩阵形式与表象变换
7.1 设矩阵 A、B、C 满足
（a）证明
；
（b）在 A 表象中（设无简并），求出 B 和 C 的矩阵表示．
解：（a）对
分别右乘 B 和左乘 B，利用
，得
（1）＋（2）得
AB＋BA＝0
式（2）取共轭，得到 和式（2）相加，即得式（1）。

第4章 力学量随时间的演化与对称性4.1 复习笔记一、力学量随时间的演化1．守恒量对于力学量A ，其平均值随时间变化关系式如下A tH A i dt A d ˆ]ˆ,ˆ[1∂∂+=η 故对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，力学量A 对应算符不显含时间t ，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变．则把A 称为量子体系的一个守恒量．2．能级简并与守恒量的关系（1）守恒量与简并关系的定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F 和G ，即[F ，H]＝0，[G ，H]＝0，但[F ，G ]≠0，则体系能级一般是简并的．推论 如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级部简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态．（2）位力（virial ）定理当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力virial ）定理．设粒子处于势场V （r ）中，Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 则位力定理表述如下位力定理推论：若势场函数V(r)为r 的n 次齐次式，则有推论V T 2n =二、波包的运动，Ehrenfest 定理设质量为m 的粒子在势场V （r ）中运动，用波包ψ（r ，t ）描述．设粒子的Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 作如下定义：则Ehrenfest 定理表述如下：三、Schr ödinger 图像与Heisenberg 图像（1）（1）式这种描述方式称为Schrödinger 图像（picture ）．亦称Schrödinger 表象． 在Schtodlnger 图像中，态矢随时间演化，遵守Schrödinger 方程，而算符则不随时间的变化；与此相反，在Heisenberg 图像中，则让体系的态矢本身不随时间的变化而算符切随时间的变化，遵守Heisenberg方程．四、守恒量与对称性的关系1．对称性变换[Q，H]＝0 （2）凡满足式（2）的变换，称为体系的对称性变换．物理学中的体系的对称性变换，总是构成一个群，称为体系的对称性群（symmetrygroup）．2．对称性对应守恒量体系在Q变换下的不变性[Q，H]＝0，应用到无穷小变换，就导致F就是体系的一个守恒量．这充分说明对称性变换Q必定对应一个守恒量F．典型的两个例子是：平移不变性对应动量守恒，空间旋转不变性对应角动量守恒．五、全同粒子体系与波函数的交换对称性1．全同粒子体系的交换对称性（1）全同性原理全同性原理：任何可观测到，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性．凡满足P ijψ＝ψ的．称为对称（symmetric）波函数；满足P ijψ＝-ψ的称为反对称（anti—symmetrle）波函数．（2）玻色子与费米子凡自旋为 整数倍（s＝0,1，2，…）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，如π介子（s＝0）．光子（s＝1）．在统计方法上，它们遵守Bose统计，故称为Bose 子．凡自旋为h的半奇数倍（s＝1/2，3/2，…）的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，如电子，质子，中子等．它们遵守Fermi统计，故称为Fermi子．2．两个全同粒子组成的体系Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态．Pauli原理是一个极为重要的自然规律，后来从量子力学波函数的反对称性来说明Pauli原理的是Heisenberg，Fermi和Dirac的贡献．3．N个全同Fermi子组成的体系设N个Fermi子分别处于k2<k z<…<k N态下，则反对称波函数可如下构成（3）P代表N个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为slater行列式，是归一化因子．4．N个全同Bose子组成的体系Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态．设有n i个Bose子处于k，态上（i＝1，2，…，N），则该体系的归一化的对称波函数可表为4.2 课后习题详解4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi 子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态。

第5章中心力场5.1 复习笔记一、中心力场中粒子运动的一般性质1．角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心势中运动，则Hamilton量表示为则该粒子的能量本征方程可表示为上式左边第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项称为径向动能算符。

径向波函数满足的方程：（1）有时作如下替换是方便的．令：则满足：（2）（8）式在解题中的实际应用会更多。

径向方程（1）中不出现刻画本征值的磁量子数m，因此能量本征值E与m无关，所以能级有m简并．2．径向波函数在r→0邻域的渐近行为求解径向方程（1）时，处只有的解才是物理上可以接受的．或等价地，要求径向方程（2）的解：满足3．两体问题化为单体问题引入如下的约化质量，可以将两体问题化为单体问题。

化为单体问题后，单体应该满足如下方程，其中式23是在两体质心系中列出的方程。

（3）式（3）中第一式描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程．Ec是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构无关．式（3）中第二式描述相对运动．E是相对运动能量．二、无限深球方势阱质量为 的粒子在半径为n的球形匣子中运动．这相当于1．l＝0的情况粒子的能量本征值为相应的归一化波函数可表示为2．l ≠0的情况 粒子的能量本征值表为与l E ,n 相应的径向本征函数表示为：三、三维各向同性谐振子考虑质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，ω是刻画势阱强度的参量．三维各向同性谐振子的能量本征值如下：与之相应的径向波函数经归一化后，n表示径向波函数的节点数（不包括r＝0， 点）．r讨论：1．能级简并度对于给定能级E的简并度为N2．Cartesian坐标系中求解如采用直角坐标系，它们的共同本征态为：即三个一维谐振子的能量本征函数之积．相应的能量本征值为：能级简并度为：四、氢原子具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程及边界条件式中μ边电子的约化质量，)/1/(p e e m m m +=μ其中p e m m 和分别为电子和质子质量。

上式中任何一式的左侧的 3 个二体自旋算符中任何两个都构成 2 电子体系的一组 CSCO．例如，{σ1x,σ2x,σ1y,σ2y）的共同本征态，列于表 8．2 中[采用（σ1z,σ2z）表象]，
这就是著名的 Bell 基． 表 8.2 Bell 基
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对于 j = l −1/ 2(l 0) ，
（1）
（2）方程的解以及光谱双线粗细结构原因
（2）
电子能量本征值与量子数
都有关，记为 ，是（2j＋1）重简并．可以得出
即 j = l +1/ 2 能级略高于 j = l −1/ 2(l 0) 能级．但由于自旋轨道耦合很小，这两条能级 很靠近．这就是造成光谱双线粗细结构的原因．
本征态 SM 可以表示为
以它们为基矢的表象，称为角动量耦合（coupling）表象．
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（4）分离态与纠缠态
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由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，则
称为可分离态（separablestate）．反之，为纠缠态（entangled state）．例如，（S1z ，
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2．反常 Zeeman 效应 考虑磁场后能量本征值为
（3） 与 则是求解径向方程（1）和（2）得出的本征函数和本征值．当无外磁场 时（B＝0），能级 是（2j＋1）重简并．当加上外磁场时，如式（3）所示，能级 将依赖于磁量子数 mj，一般说来， 能级分裂为（2j＋1）条．（2j＋1）为偶数，这就 造成了反常 Zeeman 分裂现象．
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第2章 一维势场中的粒子一、选择题一维自由电子被限制在x 和x ＋Δx 处两个不可穿透壁之间，Δx ＝0.5埃，如果E 0是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）[中南大学2009研]A ．2E 0B ．3E 0C ．4E 0D ．8E 0 【答案】C【解析】一维无限深方势阱中能级公式为2222n 2a n E μπ =，则可知，较高级能量与基态能量比值为412212=⎪⎭⎫⎝⎛=E E ，由题意，基态能量为01E E =，则第一激发态能量为024E E =二、填空题1．自由粒子被限制在x 和x ＋1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理．如果没有给出其他资料，则粒子在x 和x ＋1／3之间的概率是______．[中南大学2010研]A ．025B ．033C ．011D ．067 【答案】B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为2．上题中，按照量子力学．处于最低能态的粒子在x 和x ＋l/3之间被找到的概率是______．[中南大学2010研]A ．019B ．072C ．033D ．050 【答案】A【解析】取x 为原点，则有波函数为ax a x πsin 2)(=ψ 所求概率即19.04331)2sin 23(1sin 2)(3030322≈-=-==ψ=⎰⎰ππππlll l x l x l l x l dx x P三、计算题1.在一维情况下，若用P ab （t ）表示时刻t 在a ＜x ＜b 区间内发现粒子的几率． （a ）从薛定谔方程出发，证明＝J （a ，t ）-J （b ，t ），其中J （x ，t ）是几率流密度．（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关．[华南理工大2009研] 解：（a ）设t 时刻粒子的波函数ψ（x,t)，波函数满足薛定谔方程：22(,)2ˆ(,)(,)(,)i x t H x V x x t t t t μψψψ-∇⎛⎫∂== ⎪∂+⎝⎭（1）对（1）两端取复共轭得，***22ˆ(,)(,)(,(,))2i x t H x t x t t V x t μψψψ-⎛⎫∂-== ⎪∂⎝⎭∇+ （2）做运算*(,)(1)(,)(2)x t x t ψψ⨯-⨯得()()∙**2*222**2(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,2)i x t x t x t x t x t x t t x t x t x t x t ψψψψψψψψψμψμ-∇∇-∇∇∂⎡⎤=⎣⎦∇-∂=-上式两边同除以i 移项得，()∙***(,)(,)(,)(,)(,)(,)02x t x t x t x t x t x i t t ψψψψψμψ-∇∇∂⎡⎤-=⎣⎦∇∂ 则几率流密度公式为**(,)2i j x t mψψψψ∇∇⎡⎤=⎣⎦（x,t)（x,t)-（x,t)（x,t)， 上式可表示为∙*(,)(j x t ,)0（，）x t x t tψψ∂⎡∂-∇⎤=⎣⎦，两端积分得： ∙*a b a b (,),0j ()（x,t)x t x t t ψψ∂⎡⎤-∇=⎣⎦∂⎰⎰又由于t 时刻在区间（a ，b ）内发现粒子的几率为：*b ()ba aP t dx ψψ=⎰（x,t)（x,t)代入上式可得，b ()(,)(,t ）a dP t J a t J b dt=- （b ）对于定态波函数=()iEtx eψϕ-（x,t)，代入几率流密度方程**(,)2i j x t mψψψψ∇∇⎡⎤=⎣⎦（x,t)（x,t)-（x,t)（x,t)可得， **()2()()()()x x i j x mx x ϕϕϕϕ∇∇⎡⎤=⎣⎦- 是一个与t 无关的量，故定态的几率流密度与时间无关．2.证明ψ（x ）＝A （2α2x 2-1）是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量．式中A 为归一化常数，[华南理工大2009研]解：已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为22/2()()x n n n x N eH x αψα-=，12n E n ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,1,2,,n n N ==22012()1,()2,()42,...H x H x x H x x ααααα===-本题中波函数2222/22222/2()(21)42)2(x x A x A x e x eααψαα--=--=()22/2222()22x A A H x e x N ααψ-== 所以()x ψ是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n ＝2，因此容易得到其，本征能量为252E ω=3.质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动．（a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程． （b ）当粒子处于状态ψ（x ）＝ψ1（x ）＋ψ2（x ）时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率．其中ψ1（x ）和ψ2（x ）分别是基态和第一激发态．（c ）若上式的ψ（x ）是t ＝0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数．[华南理工大学2010研]解：（a ）如图建立坐标系，图2-1设0,0(),0,x aV x x x a <<⎧=⎨∞<>⎩，哈密顿算符222()2d V x dx H μ-+= 波函数()x ψ满足薛定谔方程22()()()2V x x E x ψψμ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦当0,x x a <>时，()x ψ＝0；当0x a <<时，222()()2d x E x dxψψμ-= 令22Ek μ=，则 222()()0d x k x dxψψ+=的通解可表示为 ()sin cos x A kx B kx ψ=+利用边界条件(0)0,()0a ψψ==得，0,1,2,3,...，k=n B n aπ== ()sin x A kx ψ= 由归一化可解得A =,0(),0,n0n n x ax a x x x a πψ<<=<>⎩对应的定态能量为2222,1,2,2nn E n aπμ==（b ）当粒子处于态()()()1212x x x ψψ=+时，能量的可能值及几率为： 2212,2E a πμ=几率1/4 ； 22222,E aπμ=几率3/4（c ）任意时刻t 的波函数可以表示为下面形式()(),n iE tn n x t C x eψψ-=∑，其中()()*,0n n C x x dx ψψ=⎰，在此题中112C =，1C =故任意时刻t 的波函数()()()121213,22iE t iE t x t x ex e ψψψ--=+，其中2212,2E aπμ=22222,E aπμ=4．粒子的一维运动满足薛定谔方程：．（1）若ψ1（x ，t ）和ψ2（x ，t ）是薛定谔方程的两个解，证明与时间无关．（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式．[华南理工大学2011研]解：（1） 证：)2.........()2(),1........()2(22221221ψψψψV mt i V mt i +∇-=∂∂+∇-=∂∂取式（1）之复共轭，得........)2(*122*1ψψV mt i +∇-=∂∂-。

p = h/λ
1
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = h 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2h2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3,L)
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3,L
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（能量密度）

第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为，F＋与F－均为厄米算符．证明：因为即和均为厄米算符而F＋与F－显然均为厄米算符．3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．解：对于l＝r×P，有同理所以是厄米算符，对于r·P，有所以r·P不是厄米算符，而相应的厄米算符为类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：（参见3.8题），本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：3.3 设F（x，p）是x和p的整函数，证明整函数是指F（x，p）可以展开成．证明：利用类似可证明．3.4 定义反对易式，证明证明：所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为A＝（A x，A y，A z）＝（A1，A2，A3）等等，A、B的标积和矢积定义为等等，试验证下列各式：A·（B×C）＝（A×B）·C （3）[A×（B×C）]α＝A·（BαF）－（A·B）Cα（4）[（A×B）×C]α＝A·（BαC）－Aα（B·C）（5）证明：式（3）左端写成分量形式，为其中εαβγ为Levi—CiVita符号，即ε123＝ε231＝ε312＝1ε132＝ε213＝ε321＝－1 （6）εαβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同式（3）右端也可化成故得验证式（4），以第一分量为例，左端为[A×（B×C）]1 ＝A2（B×C）3 A3（B×C）2＝A2（B1C2－B2C1）－A3（B3C1－B1C3）＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A383）C1 （8）而式（4）右端第一分量为A（B1C）－（A·B）C1＝A1B1C1＋A2B1C2＋A3b1C3－（A1B1＋A2B2＋A3B3）C1＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A3B3）C1和式（8）相等，故式（4）成立．同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）这正是经典物理中的三重矢积公式．3.6 设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】4.2 设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B] （1）[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B] （2）证明：式（1）右端等于（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B] 这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．3.7 设F是由r与p的整函数算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】4.3 以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明证明：利用对易式以及题4.2式（2），即得此即式（1）。

第2章一维势场中的粒子2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动，即求粒子的能量本征值和本征波函数，如a=b=c，讨论能级的简并度。

解：在匣子内即其中采用直角坐标系，方程的解可以分离变量。

再考虑到边条件能量本征函数可表示为再考虑到可以求出粒子的能量本征值为而归一化的能量本征函数为对于方匣子a=b=c，能级的简并度为满足条件的正整数解的个数。

【参阅：《量子力学》，卷Ⅱ，PP．420～421，练习2】2.2 设粒子处于一维无限深方势阱中，证明处于能量本征态的粒子，讨论的情况，并与经典力学计算结果比较．证明：设粒子处于第n个本征态，其本征函数为在经典情况下，在区域（0，a）中粒子处于dx范围中的概率为，所以当，量子力学的结果与经典力学计算值一致．2.3 设粒子处于一维无限深方势阱中处于基态（n=1，见2．2节式（12）），求粒子的动量分布．解：基态波函数测量粒子的动量的概率分布为。

【参阅：《量子力学》，卷I，PP．87～88，练习4和练习5】2.4 设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为A为归一化常数，（a）求A；（b）求测得粒子处于能量本征态的概率特别是作图，比较与曲线．从来说明两条曲线非常相似，即几乎与基态完全相同，解：（a）根据归一化条件可得，所以（b）用展开，，只当n=1，3，5，…时，才不为0，特别是，非常接近于1．考虑到归一化条件，，可知概率几乎为0，即与概率几乎完全相同．（c）图2-1（实线）（虚线）2.5 同上题，设粒子处于基态（n=1），．设t=0时刻阱宽突然变为2a，粒子波函数来不及改变，即试问：对于加宽了的无限深方势阱是否还是能量本征态?求测得粒子处于能量本征值的概率．解：对于加宽了的无限深方势阱，能量本征值和能量本征态分别为可见不再是它的能量本征态，．由于势阱突然变宽，粒子波函数和能量来不及改变，粒子能量仍保持为，而可以按展开，经过计算可得所以粒子处于，即能量仍为的概率为．2.6 设粒子（能量E＞0）从左入射，碰到下图所示的势阱，求透射系数与反射系数．图2-2解：考虑上图所示势阱中粒子，可证明粒子碰到侧壁的透射系数为其中反射系数为其中不难验证概率守恒关系式2.7 利用Hermite多项式的递推关系（附录A3，式（13）），证明谐振子波函数满足下列关系：并由此证明，在态下证明：已知所以利用本征函数的正交性，可得．。

则可定义算符 Â 的函数 F（Â）为
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（2）算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式：
式中 c1 与 c2 为任意常数．
7．转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
（h 是一个普适常数，不为 0），则有
2．（l2,lz）的共同本征态 称为球谐（spherical harmonic）函数，它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的．l 称为轨道角动量量子数．m 称为磁量子数．
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式中
称为 Levi—Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出，即
5．逆算符 设
能够唯一地解出 ψ，则可以定义算符 Â 之逆 Â－1 为
6．算符的函数与标积 （1）算符函数 给定一函数 F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，
3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）
（1）对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
，它们的共同本征态记为
也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数 a 之后，就能够确定体系的唯一一个可能状
态，则我们称（Aˆ1，Aˆ2， ）构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数．
8．复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*．定义为

只有一个本征态 E ），则 E 必为 F 的本征态．
（2）位力（virial）定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力 virial）定 理．设粒子处于势场 V（r）中，Hamilton 量为
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Bose 子不受 Pauli 原理限制，可以有任意数目的 Bose 子处于相同的单粒子态．设有 ni 个 Bose 子处于 k，态上（i＝1，2，…，N），
则该体系的归一化的对称波函数可表为
4.2 课后习题详解
4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×） （a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×） （b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○） （c）设 Hamilton 量为守恒量，则体系处于定态；（×） （d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×） （e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×） （f）一维粒子的能量本征态无简并；（×） （g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）
3．N 个全同 Fermi 子组成的体系 设 N 个 Fermi 子分别处于 k2<kz<…<kN 态下，则反对称波函数可如下构成
（3）
P 代表 N 个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为 slater 行列式，
是归一化因子．
4．N 个全同 Bose 子组成的体系
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4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3 中的任何一个 态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同 Bose 子；（b）两个全同 Fermi 子；（c）两个不同粒子．