哈三中2019-2020学年度上学期 高二学年第二模块数学（文）考试试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A. 1(,1)2-- B. 1(,1)2C. (1,2)--D. (1,2)【答案】A 【解析】 【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.【详解】22221452100()(1)24x y x y x y +++-=∴+++=因此圆心坐标为1(,1)2--.故选：A【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A.125B. 125-C. 512D. 512-【答案】D 【解析】∵sin a =513-,且a 为第四象限角, ∴212113cosa sin a =-=，则512sina tana cosa ==-， 故选D.3. 四张卡片上分别写有数字1,2,3,5，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】因为从这四张卡片中随机抽取两张共有6种基本事件，取的两张卡片上的数字之和为奇数有（1，2），（3，2），（5，2）三种基本事件，因此所求概率为3162=. 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4. 已知椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. 5y x =±B. 2y x =±C. y x =D. y = 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，所以得21125a -=+，得24a =，从而可得到双曲线方程，进而可得其渐近线方程.【详解】解：因为椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，所以21125a -=+，解得24a =，所以双曲线方程为22145x y -=，所以双曲线的渐近线方程为2y x =± 故选：B【点睛】此题考查椭圆和双曲线的焦点，双曲线的渐近线，属于基础题.5. 在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.12B.13C.4D.4【答案】C 【解析】 【分析】由直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，可知圆心到直线的距离小于半径，从而可求出k的取值范围，然后利用几何概型求概率的方法可得答案. 【详解】解：因为直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，1<，解得44k -<<，所以所求概率为2424= 故选：C【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，几何概型，属于基础题. 6. 已知,αβ均为锐角，1sin())6363ππαβ-=+=，cos()αβ+=（ ）A.B.【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和余弦公式求解.【详解】因为,αβ均为锐角，所以2 (,),(,) 663663ππππππαβ-∈-+∈因为31sin(),cos()663ππαβ-=+=，所以622cos(),sin()66ππαβ-=+=，因此cos()cos()cos()cos()sin()sin()666666ππππππαβαβαβαβ+=-++=-+--+ 6132263=⨯-⨯=-故选：A【点睛】本题考查两角和余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（）A.332πB.3πC.32πD.32π【答案】A【解析】【分析】先分别求圆面积以及内接正六边形的面积，再根据几何概型概率公式求解.【详解】设圆半径为1，则圆面积以及内接正六边形的面积分别为23,61π，所以所求概率为23614π=33故选：A【点睛】本题考查几何概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 已知角α的终边上的一点(1,2)P ，则sin()3sin 22cos sin()παααπα+++-的值为（ ） A.14B.34C.54D.74【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式以及弦化切进行化简，再根据三角函数定义得tan α值，最后代入求解.【详解】sin()3sin cos 3sin 13tan 22cos sin()2cos sin 2tan πααααααπαααα++++==+-++ 又因为角α的终边上的一点(1,2)P ，所以2tan 21α==， 所以sin()3sin 132722cos sin()224παααπα+++⨯==+-+. 故选：D【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解能力，属中档题. 9. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).A. 90B. 75C. 60D. 45【答案】A 【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 考点：频率分布直方图.10. 在满足不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的平面内随机取一点()00,M x y ，设事件A ＝“002y x <”，那么事件A 发生的概率是（ ）A.14B.34C.13D.23【答案】B 【解析】 【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率.【详解】如下图，作出不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域（阴影部分ABC ），易知()1,2A ，()1,0B -，()3,0C ，该区域面积为()131242⎡⎤--⨯=⎣⎦. 事件A ＝“002y x <”，表示的区域为阴影部分AOC ，其面积为13232⨯⨯=. 所以事件A 发生的概率是34.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题.11. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），满足()03f ，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由()03f =，求得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再结合三角函数的性质，求得7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，即可求解. 【详解】因为()03f =()2sin 3f x ϕ==3sin ϕ=， 又因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()g x 的图象关于直线34x π=对称，34632k ππππωπ⎛⎫∴-+=+⎪⎝⎭，k ∈Z ， 即7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，令1k =，得2ω=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12. 已知圆222:(1)E x y r ++=（圆心为点E ）与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，若此抛物线的焦点为F ，且,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，则sin AEF ∠=（ ）【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件得||||1OA OB ==,再与抛物线方程联立求,A B 坐标，最后解三角形得结果. 【详解】因为,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，所以1||||||12OA OB EF ===,设11(,)A x y ，则22111x y +=，2114y x =，所以2111410,2x x x +-==-，因此||sin ||AF AEF EF ∠=====故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，将答案填在答题卡相应的位置上．13. 已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】扇形的面积为2211342422r α=⨯⨯=. 故答案为：24【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】曲线C上的点到直线l的距离为|2sin()4|42sin()ππφφ+--+==≤=故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.15. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】34【解析】【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153204=.故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，P是双曲线C右支上的一点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 的直线平行于直线PQ 交1PF 于点T ，若1222F F PT =，则双曲线的离心率为__________．【答案】2 【解析】 【分析】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，利用正弦定理证明12||||F M PF =,再根据双曲线定义解得||MP ,即得PT ，代入条件解得离心率. 【详解】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，如图，因为O 为NQ 中点,所以12||||,||||,MT TP F N F Q ==,因为11221122||sin sin ||||sin sin ||F M F NM F QP F P F N F MN F PQ F Q ∠∠===∠∠,所以12||||F M F P =，因此12||||||2,2||2||PM F P F P a PT a PT a =-==∴= 12222222F F c a e =∴=∴=2【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线1,2:3,2x l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与抛物线24x y =交于,A B 两点，设点(1,3)M -.（1）求直线l 的普通方程和极坐标方程； （2）求||||MA MB ⋅和||AB .【答案】（1）40x y -+=，cos sin 40ρθρθ-+=； （2）22MA MB =，||AB =【解析】 【分析】（1）根据加减消元得直线l 的普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ==得极坐标方程； （2）将直线参数方程代入抛物线方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果.【详解】（1）1,2:403,2x t l x y y ⎧=-+⎪⎪∴-+=⎨⎪=+⎪⎩因此极坐标方程为cos sin 40ρθρθ-+=（2）1,23,x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24x y =得2220t --=所以12|||||||22|22MA MB t t ⋅==-=，12||||AB t t =-===【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛.（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（2）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为12345,,,,A A A A A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. 设“编号为12,A A 的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件A ，求事件A 发生的概率.【答案】（1）2,1,2； （2）710. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样方法确定抽取人数；（2）先确定从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛总事件数，再确定事件A 所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）从这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为189185,5,5,189181891818918⨯⨯⨯++++++即2,1,2；（2）从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛共有10种基本事件，其中编号为12,A A 的两名运动员都不选的事件有3个，因此事件A 所包含事件数为7，从而所求概率为710. 【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值． 【答案】（1）1:2sin C ρθ=；2:4sin C ρθ=-；（23【解析】 【分析】(1)直接由条件求出1C 与2C的极坐标方程即可;(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-. (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-, 则12sin [4sin()]sin 233ABC S ππθθ∆=--23sin (sin cos cos sin )33ππθθθ=--233sin cos sin θθθ=-+33sin(2)62πθ=+-. 所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆面积最大值为32.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.20. 某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）试求出a 的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（2）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的概率是多少？ 【答案】（1）a =0.014，众数95，中位数2903； （2）815. 【解析】【分析】（1）根据所有频率和为1求a 的值，根据组中值以及频率确定众数，根据频率为0.5求中位数；（2）先确定成绩在[120，150]的同学人数以及成绩在[130,140)中人数，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）(0.0020.00420.0060.0120.0160.0180.024)1010.014a a +⨯++++++⨯=∴=由频率分布直方图得区间[90,100]对应人数最多，所以众数为901002+=95， 设中位数为x ，则90290(0.0040.0140.0160.024)100.5103x x -+++⨯⨯=∴= 所以中位数为2903；（2）成绩在[120，150]的同学人数有50(0.0020.0040.006)106⨯++⨯=， 成绩在[130,140)中人数500.004102⨯⨯=，从6人抽取2人共有15种方法，其中抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的抽法有248⨯=种，因此所求概率为815. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.21. 已知函数()2cos (3sin cos )1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 最小正周期并用五点作图法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象；（2）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式，并求当2[,]123x ππ∈-时，函数()g x 的最小值及此时的x 值.【答案】（1）π，图象见解析；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小值12x π=-时取到. 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期，最后根据五点作图法画出图象；（2）根据函数图象变换规律得()g x ，再根据正弦函数性质求最值.【详解】（1）()2cos cos )12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+所以周期为2π2π=， 列表如下：作图如下：（2）函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到()2sin(2())2sin(2)666g x x x πππ=-+=-,27[,]2[,]123636x x πππππ∈-∴-∈-因此当2,6312x x πππ-=-=-时，()g x 取最小值为32() 3.⨯-=- 【点睛】本题考查五点作图法、正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查综合分析求解能力，属中档题.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为33，过椭圆C 焦点且与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴交点为P ，若点(8,0)Q -，且OM PQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】（1）22196x y +=； （2）:260l x ±+=.【解析】 【分析】（1）根据通径长以及离心率列方程组，求解得结果；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立方程组解得M 点坐标，与y 轴联立解得P 点坐标，再根据向量垂直坐标表示解得直线l 的斜率。
