欧拉法-改进欧拉法-斐波那契法原理及流程图
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方法说明
欧拉(Euler)法是解常微分方程初值问题
最简单的数值方法，其具体做法是，将区间[a，b]进行N等分：
，步长.并将式写成等价的积分形
式
（）
再对式右端积分用矩形公式计算，则有
,
在式右端取，舍去余项。则得
,
作为的近似值。
在式右端取，舍去余项，则得
𝑦2=𝑦1+𝑦𝑦（𝑦1，𝑦
1
）
作为的近似值．
一般地，在式右端取舍去余项，则得
作为的近似值．式为欧拉法计算公式．
我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中
过点的积分曲线就是初值问题式的解．
欧拉法的几何意义是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此
切线与直线的交点为，再过点引以为斜率的切
线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以
为斜率的切线，此切线与直线交点为．于是便得到
过点的一条折线，见图．过的积分曲线则用此折线来代
替．因此，这种方法亦称折线法．
图
例：
用欧拉法求微分方程
[]
2',(0)1,0.1,0,1x
yyyhy区间为=-==
欧拉法流程图如下:
欧拉法程序如下：
clear;
clc;
x1=0;
x2=1;
h=;
x0=0;
y0=1;
N=(x2-x1)/h;%要计算的次数
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));
end
X=x
x0+h=>x1
y0+h*f(x0,y0)=>y1
n=1
输出x1,y1
n=1+n
x1=> x0
y1=> y0
结束
n=N
读入
开始
计算
Y=y
2
改进欧拉法求微分方程
方法说明
由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差．改进欧拉法(又
称改进折线法)是采取梯形公式来计算式右端积分，则有
（）
在式右端取，舍去余项，则得
将作为的近似值．
在式右端再取，舍去余项，则得
将作为的近似值．
一般地，在式右端取，舍去余项．则得
将作为的近似值．
式为改进欧拉法计算公式．
流程图如下：
例：用改进欧拉法求微分方程[]2',(0)1,0.1,0,1xyyyhy区间为=-==
改进欧拉法程序如下：
clear;
clc;
x1=0;
x2=1;
h=;
x0=0;
y0=1;
p(1)=0;
N=(x2-x1)/h;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));
p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1));
y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2;
end
X=x
Y=y
3斐波那契法求极值
方法说明
斐波那契法原理类似于黄金分割法，只是搜索区间的缩短率不再采用黄
金分割数。如图所示，只要在[a,b]内取两点x1,x2,并计算出f(x1),f(x2),
通过比较，可将区间[a,b]缩短为[a,x2]或[x1,b]。因为新的区间内包含一
个已经计算过函数值的点，所以再从其中取一个试点，又可将这个新区间再
缩短一次，不断地重复这个过程，直至最终的区间长度缩短到满足预先给定
的精确度为止。
图
现在的问题是，怎样选取试点，在保证同样精确度的情况下使得计算f(x)
函数值的次数最少在计算函数值的次数一定的情况下，最初区间与最终区间
的长度之比可作为取点方式优劣的一个标准。计算n次函数值，如何取点使
最终区间最小或者最终区间长度为1，计算n次函数值，初始区间最多为多
长为此，引入Fibonacci数列：
F
0=F1
=1
F
n=Fn−1+Fn−2
, n≥2
表
系
所以当试点个数n确定之后，最初的两个试点分别选为:
x1=a+Fn−2Fn(b−a);
x2=a+Fn−1Fn(b−a).
显然x1,x2关于区间[a,b]对称，即有x1-a=b-x2,如图所示
图
