数值分析第五版欧拉法与改进欧拉法对比

微分方程的数值解法与近似求解技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

在实际问题中，我们常常遇到无法直接求解的微分方程，这时候就需要借助数值解法和近似求解技巧来解决。

本文将介绍微分方程的数值解法和近似求解技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，通过离散化微分方程，将其转化为差分方程，从而得到近似解。

欧拉法的基本思想是将微分方程中的导数用差商代替，然后通过迭代逼近真实解。

以一阶常微分方程为例，欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\]其中，\(y_n\)表示第n个点的近似解，\(x_n\)表示对应的自变量的取值，h为步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程中的导数。

2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用两个近似解的平均值来计算下一个点的近似解，从而提高了数值解的精度。

改进的欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n, y_n)))\]3. 二阶龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过计算多个近似解的加权平均值来提高数值解的精度。

其中，二阶龙格-库塔法是最简单的一种。

二阶龙格-库塔法的迭代公式如下：\[k_1 = hf(x_n, y_n)\]\[k_2 = hf(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})\]\[y_{n+1} = y_n + k_2\]二、近似求解技巧1. 线性化方法线性化方法是一种常用的近似求解技巧，通过将非线性微分方程线性化，然后使用线性方程的求解方法来得到近似解。

以二阶线性微分方程为例，线性化方法的基本思想是将非线性项进行线性化处理，然后使用线性微分方程的求解方法来得到近似解。

求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。

常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。

求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。

二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。

它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。

欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。

欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。

2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。

它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。

改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。

3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。

它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。

RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。

数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。

本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。

是应用数学的重要分支之一。

建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。

二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。

三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。

第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告Euler 方法与改进的Euler 方法的应用一、问题背景在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。

大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。

这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。

二、数学模型在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。

定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。

另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。

在本文中主要讨论的是给定初值条件的简单Euler 方法和改进的Euler 方法来求解常微分方程。

三、算法及流程Euler 方法是最简单的一种显式单步法。

对于方程()y x f dxdy ,= 考虑用差商代替导数进行计算，取离散化点列nh x x n +=0，L n ,2,1,0=则得到方程的近似式()()()()n n n n x y x f hx y x y ,1≈-+ 即()n n n n y x hf y y ,1+=+ 得到简单Euler 方法。

具体计算时由0x 出发，根据初值，逐步递推二得到系列离散数值。

简单Euler 方法计算量小，然而精度却不高，因而我们可以构造梯形公式()()[]η=++=+++0111,,2y y t f y t f h y y n n n n n n 其中()N a b h -=。

这是一个二阶方法，比Euler 方法精度高。

但是上述公式右边有1+n y ，因而是隐式差分方程，可以用迭代方法计算1+n y 。

欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题简介通过求解简单的初值问题：dudx =f (x ,u )(1)u (x 0)=u 0(2)引⼊欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。

前期准备数值解法的基本思想就是先对x 和u(x)在区间[x0,∞)上进⾏离散化，然后构造递推公式，再进⼀步得到u(x)u(x) u(x)u(x)u(x)u(x)在这些位置的近似取值。

取定步长h ，令x n =x 0+nh (n =±1,±2,⋯)得到离散的位置：x 1,x 2,⋯,x n ,u(x)在这些点精确取值为：u (x 1),u (x 2),⋯,u (x n )利⽤数值解法得到的这些点的近似取值，u 1,u 2,⋯,u n欧拉法欧拉法的核⼼就是将导数近似为差商。

将导数近似为向前差商，则有：du dxx =x n≈u x n +1−u x nh代⼊(1)式，有：u x n +1=y x n +hf x n ‖u x n⽤u n +1和 u n 代替u (x n +1)和u (x n )，得：u n +1=u n +hf x n ,u n因此，若知道u 0我们就可以递归出u 1,u 2,⋯如果将导数近似为向后差商:du dxx =x n≈u x n −u x n −1h类似的，就可以得到：u n −1=u n −hf x n ,u n这样，若知道u 0我们就可以递归出u −1,u −2⋯改进的欧拉法对(1)式在[x n ,x n +1]上积分，可得：u x n +1=u x n +∫xn +1x nf (x ,u )dx其中，n =0,1,⋯⽤不同⽅式来近似上式的积分运算，就会得到不同的递推公式。

若使⽤左端点计算矩形⾯积并取近似：∫x n +1x nf (x ,u )dx ≈hf x n +1,u x n +1代⼊上式得：{|()()()()(())()|()()()()()(())u n +1=u n +hf (x n ,u n )若使⽤梯形的⾯积做近似：∫x n +1x nf (x ,y )dx ≈h2f x n ,u x n+f x n +1,ux n +1得到：u n +1=u n +h2f x n ,u n +f x n +1,u n +1欧拉法虽然精度偏低，但它是显式的，可直接得到结果。

数值计算方法复习题9习题九1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题（1）；（2）准确解：（1）；（2）；欧拉法：，，，改进的欧拉法：，，，2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。

，，，3. 用欧拉法计算下列积分在点处的近似值。

0.5000,1.1420,2.5011,7.24504. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。

（1），2（2），3；（3），4（4），45.用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位).解: 直接将Eulerr法应用于本题，得到由于，直接代入计算，得到6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较.解：用改进Euler法求解公式，得计算结果见下表用梯形法求解公式，得解得精确解为7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项.证明根据局部截断误差定义，得将右端Taylor展开，得故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。

8.用四阶R-K方法求解初值问题取步长h=0.2.解直接用四阶R－K方法其中计算结果如表所示：9.对于初值问题解因f'(y)=-100，故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时，(2)用梯形法解时，绝对稳定区间为，由因f对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。

(3)用四阶R-K方法时，10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?解：用四阶显式Adams公式先要算出，而，其余3点可用四阶R-K方法计算。

由，得由计算得再由四步四阶Adams显式方法得11.用四步四阶的Adams显式方法求解初值问题取h=0.1.(1)用形如的线性二步法解(2)试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.解本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，要确定参数，可令解得而方法得局部截断。

第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。

近似值的误差〔为准确值〕：近似值的误差限：近似值相对误差〔较小时约等〕：近似值相对误差限：函数值的误差限：近似值有n位有效数字：第二章：插值法其中：2.拉格朗日插值次插值基函数：引入记号：余项：3.牛顿插值多项式：阶均差〔把中间去掉，分别填在左边和右边〕：余项：4.牛顿前插公式〔令，计算点值，不是多项式〕：阶差分：余项：5.泰勒插值多项式：阶重节点的均差：6.埃尔米特三次插值：其中，A的标定为：7.分段线性插值：第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. 属于维空间：2.范数：3.带权内积和带权正交：4.最正确逼近的分类〔范数的不同、是否离散〕：最优一致〔-范数〕逼近多项式：最正确平方〔-范数〕逼近多项式：最小二乘拟合〔离散点〕：5.正交多项式递推关系：6.勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：7．切比雪夫多项式：递推关系：正交性：在上有个零点：在上有个零点：〔最优一致逼近〕首项的系数：8.最正确平方逼近：法方程：正交函数族的最正确平方逼近：9.最小二乘法：法方程：正交多项式的最小二乘拟合:第四章数值积分与数值微分1.求积公式具有次代数精度求积公式〔多项式与函数值乘积的和〕，对于次数不超过的多项式成立，不成立2.插值型求积公式时的余项4.牛顿-柯特斯公式：将划分为等份构造出插值型求积公式5.梯形公式：当n=1时，6.辛普森公式：当n=2时，7.复合求积公式：复合梯形公式：复合辛普森公式：8.高斯求积公式〔求待定参数和〕：〔1〕求高斯点〔〕：令与任何次数不超过的多项式带权正交，即那么，由个方程求出高斯点。

〔2〕求待定参数：，也为次数不超过的多项式。

9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为的勒让德多项式的零点即为求积公式的高斯点。

10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为的切比雪夫多项式的零点即为求积公式的高斯点。

第五章解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数：2.条件数：第六章解线性方程组的迭代法1.迭代法：2.迭代法收敛：存在。

数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。

以下是每章节课后习题的答案。

第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。

它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。

2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。

误差分为绝对误差和相对误差。

3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。

第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。

它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。

2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。

它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。

3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。

它由两部分组成：指数和尾数。

指数表示数的大小，尾数表示数的精度。

第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。

它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。

2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。

它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。

它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。

2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。

它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。

3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。

它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。

第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。

2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。

第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似 解与精确解之间的误差。

近似值的误差：（.为准确值）：e*-x*-x近似值的误差限一： 1疋近似值相对误差（较小时约等）近似值相对误差限 ：函数值的误差限 :苗⑺“ Ifool 叱）近似值；一士心:化叙…®）"八■有n 位有效数字:第二章：插值法P (对J =0.1/*%?] Oo + %呵+…+偽！曙=九 % +如股+…+ %!珥=Y1 % +舸斗1 +…+ %坊=儿 2•拉格朗日插值 (x- x k )6J n+1(x k ) .次插值基函数: (X- x)-(x-x fc -i)(x-曲十 1)…a — X JJ ) (Xk - X 0)-(X k - X k_i) (x k - x k¥1)-(x k - X…)1•多项式插值其中:P(x) = a()+ OjX + …+ a n ^I>k — O.L —.n = _xl(r -n+l引入记号:^n+l(X)={X-Xo)(A?-粗)…(#- Xj余项：=f(x} - SG)=:;:;詁+W > 5 e 3：3•牛顿插值多项式： ^nW = /（^0）+f 必珀（"叼）+・”+/■［和巧严如（龙-坯”心-*_』〔阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边） ：店”“皿］丿杯Fmr gd余项:4•牛顿前插公式（令心'小，计算点值，不是多项式）：PQ +t h ）=/o +帧 + 忖A 讥 + - + 心1）：：*%°〔阶差分：AVo = A n "7i -余项：严（和E 3J5•泰勒插值多项式:•阶重节点的均差:6.埃尔米特三次插值：p （x ） -f （^X Q ）十打和尤』仗—如+f 1叼公1也］（JC-衍）（工一 Xi ） +人（尤-叼）（黑-衍）o — x 2）其中，A 的标定为：咋沪f （社）7.分段线性插值:第三章：函数逼近与快速傅里叶变换p n (x) = 7(X Q ) + f(x Q )(x -和)+ “•+警(U血屯“匈1.-:-属于’.维空间：5(玄)=。

摘要: 通过《数值分析》这门课程我们学习了求解常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的方法分为单步法和多步法,单步法主要有欧拉方法。

改进的欧拉方法和龙格法,多步法主要有Adams 法等方法,关于一阶常微分方程初值问题求解⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy用数值方法求的是)(k x f 的近似值k y .所以本文主要用改进的欧拉方法和Adams 法分别作为单步法和多步法的为代表进行误差分析等比较.方法介绍： 一．单步法 1、欧拉公式：1、方法构造的思想：微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy),()(000y x f dx x dy = 再用前项差代替一阶导数hx y x y dxdyx x )()(010-≈=,则 ),()((0001y x f hx y x y ≈- 此时x 0, y 0均已知y(x 0)= y 0,则由此式可近似求出y(x 1)的近似值y,⎪⎩⎪⎨⎧+=+≈=),(),()()(0001000100y x hf y y y x hf y x y y x y 般的利用在n x 处的微分方程可得:),(1n n n n y x hf y y +=+， ,2,1,0=n 于这个差分格式我们称为欧拉公式.特点 (1).单步方法; (2)显示格式 (3)局部截断误差()2h ο因而是一阶精度.2.改进欧拉方法⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy对其从k x 到1+k x 进行定积分得: ⎰+=-+1))(,()()(1k kx x k k dx x y x f x y x y将右端的定积分用梯形公式来进行近似计算:)),(),((2111+++++=k k k k k k y x f y x f hy y二.多步法前面讲的方法：欧拉方法、改进欧拉方法、龙格－库塔方法均是单步方法，即在每一步要计算1+n y 时，只要前面一个值n y 已知的条件下秒可以计算出1+n y 了。