沪教版高二下册数学高二下册学案圆与方程

圆与方程 总体目标 本章在第三章“直线与方程”的基础上，学习圆的有关知识——圆的标准方程、圆的一般方程；继续运用“坐标法”研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系的有关知识，用坐标表示简单的空间的几何对象。 通过本章的学习，要达到如下目标： 1．回顾确定圆的几何要素，在直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 4．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。 5．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。 研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一，判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个角度入手：一个角度是利用义务教育阶段所介绍的平几方法；另一个角度，将两曲线是否有公共点的问题，转化为判断它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题。在判断直线与圆、圆与圆的位置关系时，常常采用这两种方法． 在学习本章时，要不断地体会“数形结合”的思想方法，注意“数”与“形”的结合：在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，用代数方法加以证明，不应割断它们之间的联系。 学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。在学习中，要重视数学概念的理解、典型例题的分析、以及结论的形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法；要抓住各种数学活动的机会，在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法；还要关注“观察”、“思考”、“探究”等栏目的内容，使自己真正参与到数学活动中来，发挥自己学习的主动性，使学习过程成为“再创造”的过程，从中体验数学发现和创造的历程，体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，从而形成和发展自己的数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力。

4．1．1 圆的标准方程 学习目标 主要概念： 圆――到定点的距离等于定长的点的轨迹。

圆的标准方程――222)()(rbyax，其中圆心为),(ba，半径为r。 教材分析 一、重点难点 本节教学重点是掌握圆的标准方程，难点是根据条件运用待定系数法建立圆的标准方程。 二、教材解读 本节教材的理论知识有问题提出、方程推导、思考交流三个板块组成。在回顾确定直线的要素――两点或一点和倾斜角确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素――圆心位置和半径大小，然后根据两点间的距离公式推导出圆的标准方程。 第一板块 问题提出 解读 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 因圆是平面内与定点的距离等于定长的点的集合，其中定点为圆心，定长为半径，故要确定圆，关键是确定圆心的位置及半径的大小 第二板块 方程推导 解读

如何推导以点),(ba为圆心，r为半径的圆的标准方程？

根据圆的定义，利用两点间的距离公式，得到圆上任意一点),(yx到定点),(ba的距离等于定长r所

满足的条件222)()(rbyax。 对于圆的标准方程，要能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，反之，从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径。 根据圆的标准方程，要求圆的标准方程只要求出圆心的坐标),(ba及半径r的值，即需寻找三个量rba,的方程组，为此要确定圆需三个独立条件。

在求圆的标准方程时，要注意圆心坐标的顺序、符号，特别是方程的右边是半径的平方，不要误认为是半径。 第三板块 思考交流 解读 1、

222)()(rbyax是否

为圆的方程？

1、只有满足如下两点，才可称方程222)()(rbyax是以),(ba为圆心，r为半径

的圆的方程：(1)若点),(yx在以),(ba为圆心，r为半径的圆上，则),(yx必须满足方程222)()(rbyax；(2)满足方程

222)()(rbyax的点一定在以),(ba为圆心，

r为半径的圆上。

2、如何判断点P),(00yx

在圆222)()(rbyax

外、圆上、圆内？

2、判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离d与半径r的大小关系。d>r点P在圆外；d=r点P在圆上；d即点P),(00yx在圆222)()(rbyax外的条件是22020)()(rbyax；在圆22)()(byax=

2r上的条件是22020)()(rbyax；在圆

222)()(rbyax内的条件是

22020)()(rbyax。 3、课本P.126例3提出了如下问题：比较例2和例3，你能归纳求任意ABC外接圆的方程的两种方法吗？

3、通过对例2和例3的比较，一方面可加深对不同的解题方法在实质上的理解，促使学习者养成解题后反思的良好习惯；另一方面要求学习者在问题解决之后，要进行一些简单的归纳。归纳是一种重要的数学思想方法。 新教材不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，其目的在于提供充分的数学活动和交流的机会，引导学习者转变学习方式，在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法，充分让学习者参与到数学活动中来，体现了课程改革的重要目标之一。 拓展阅读 数学是研究事物的空间形式和数量关系的科学，在客观世界中，数与形是有机联系在一起的，大量几何问题的研究离不开代数的各种知识。解析几何就是用代数方法研究几何图形的学科，而代数、三角中的大量数量关系又可以借助于几何图形的直观研究方便地得到解决。例如 ：已知

4)4()3(22yx，求22yxz的最

大值。本题表面上是一个代数问题，若我们改变一下思考角度，从已知条件

4)4()3(22yx和所求式子22yxz出发，联想它们的几何意义，借助于几何图

形来解，不仅直观而且比纯代数方法简便。只要过原点和圆4)4()3(22yx的圆心O(3,4)作直线(如图)，交圆于A、B两点，2||OB即22yxz的最大值(2||OA即

22yxz的最小值)。

因此，我们在解题时，必须先审好题，充分理解题意，把握住题目的本质，这样完成解答就不难了。象刚才一题，初看这是一道代数题，而其本质却是一道几何题。你想不到这一点，解题就比较困难；你想到了这一点，题目就变得十分简单。这种解题的方法，我们称作为构造法，这里是构造图形解题。图形构造解题过程的模式是：

构造图形解题方法主要表现在从第一步(题设条件特点分析)向第二步(构造图形)的飞跃。 构造法是数学解题中的常用方法之一，除了构造图形外，还可构造函数、构造模型、构造反例等，但在运用构造法解题时，要注意两点：一是要明确目的，即为什么目的而构造；二是要弄清楚题设条件的特点，以便依据特点，确定方案实现构造。 网站点击

题设条件 几何作图、几何意义 构造理在图形中寻求或间接推 所求

OB O

AX

Y 典型例题解析 例1：(1)已知一个圆的直径的端点是A(-1,2)、B(7,8)，求该圆的方程。

(2) 已知一个圆的直径的端点是A),(11yx、B),(22yx，求该圆的方程。 点拨求出圆心、半径或利用求轨迹方程的方法求解。 解答(1) A(-1,2)、B(7,8)是圆的直径的两个端点， ∴圆心C为线段AB为中点，即C(3,5)。

又圆的半径5)25()13(22r

∴圆的方程为25)5()3(22yx

(2)设P),(yx是所求圆上的任一点，则11xxyykAP，22xxyykBP ， AB为圆的直径，∴BPAP，故

1

BPAPkk

，

即22xxyy111xxyy，∴))((21xxxx))((21yyyy=0 (※) 当P与A或B重合时，也满足方程(※) 故圆的方程为))((21xxxx))((21yyyy=0 总结本题第(1)小题是课本第127页练习中第3题的改变题，第(2)小题是课本第130页习题4.1A组的第5题，将此两题放在一起的目的有二：一是体现从特殊到一般的认识规律；二是想说明在解题时，要根据具体问题的特点灵活地选择解题方法，如第(2)小题也按第(1)小题的方法做就显得繁琐。 变式题演练 圆C：2)3()1(22yx关于直线01yx对称的圆C的标准方程是_____。

答案：2)2()4(22yx 例2：的交点与为何值时，直线032022kyxkyxk在圆922yx外？ 点拨求出两直线的交点坐标，利用交点在圆外寻求k的不等式。

解答由032022kyxkyx得两直线交点P的坐标为)3,4(kk

P在圆

9

22yx外，∴P到圆心(0，0)的距离大于半径3，

即3)3()4(22kk，解得53k或53k ∴当53k或53k时，的交点与直线032022kyxkyx在圆922yx外