高二【数学(人教A版)】《圆的标准方程》【教案匹配版】最新国家级中小学课程全高清

必修二4.1.1圆的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．(3)会判断点与圆的位置关系．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．(3)增强学生用数学的意识．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．●重点难点重点：圆的标准方程及点与圆的位置关系．难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程．重难点突破：以圆的定义为切入点，结合坐标法，让学生导出圆的标准方程，考虑到不同条件下求圆的标准方程的难度，教学时，可借助具体实例，通过让学生“看一看、想一想、练一练”等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解圆的标准方程中三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时化解难点．【课前自主导学】课标解读1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)圆的标准方程1．在平面内，圆是如何定义的？【提示】在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合．2．在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？【提示】能．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.点与圆的位置关系【问题导思】点A(1,1)，B(3,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2什么关系？【提示】|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r【课堂互动探究】直接法求圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为点A(－2,3)，半径为2；(2)经过点A(5,1)，圆心为点C(8，－3)．【思路探究】只要有确定的圆心与半径，就可以写出圆的标准方程．【自主解答】(1)圆的标准方程为：(x＋2)2＋(y－3)2＝2.(2)法一圆的半径为|AC|＝5－82＋1＋32＝5，圆心为(8，－3)．∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.法二设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，∵点A(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2013·咸阳高一检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1【解析】设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.【答案】 A点与圆的位置关系 已知一个圆的圆心在点C (－3，－4)，且经过原点．(1)求该圆的标准方程；(2)判断点P 1(－1,0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．【思路探究】 直接法求圆的标准方程――→分析点与圆心的距离同半径的关系―→下结论 【自主解答】 (1)∵圆心是C (－3，－4)，且经过原点， ∴圆的半径r ＝－3－02＋－4－02＝5，∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.(2)∵－1＋32＋0＋42＝4＋16＝25＜5，∴P 1(－1,0)在圆内；∵1＋32＋－1＋42＝5，∴P 2(1，－1)在圆上； ∵3＋32＋－4＋42＝6＞5，∴P 3(3，－4)在圆外．判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系作出判断：①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d<r，点在圆内．(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．a<－1或a>1B．－1<a<1C．0<a<1 D．a＝±1【解析】由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，解得－1<a<1.【答案】 B待定系数法或几何法求圆的标准方程 求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．【思路探究】 思路一：设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，利用A ，B 及圆心所在位置求参数a ，b ，r .思路二：设圆的圆心坐标C (a,2－a )，利用|AC |＝|BC |求a 及圆的半径．思路三：利用圆的几何性质：弦AB 的中垂线与直线x ＋y －2＝0的交点必为圆心，求圆的标准方程．【自主解答】 法一 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎨⎧1－a2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a,2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴a －12＋2－a ＋12＝a ＋12＋2－a －12，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三 由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－－1－1－1＝－1，∴弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)， 即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)， 圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.1．给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法： (1)用待定系数法，其一般步骤如下：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ②根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组； ③解方程组，求出a ，b ，r 的值；④将a ，b ，r 的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．如本题法三．2．求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直．把本例条件“圆心在直线x＋y－2＝0上”换成“圆心在x轴上”，求相应问题．【解】∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为(a,0)，由题意可知(a－1)2＋1＝(a＋1)2＋1，解得a＝0，∴圆的半径r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为x2＋y2＝2.【易错易误辨析】求圆的标准方程时以“形”代“数”致误已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．【错解】如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|OA|2＝52－42＝3.∴C点坐标(3,0)，∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.【错因分析】上述求解的错误在于以“形”代“数”只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解．【防范措施】借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．【正解】由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3，如图所示．∴圆心坐标为(3,0)或(－3,0)．∴所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.【课堂小结】1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．【当堂达标检测】1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)【解析】结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．【答案】 B2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 2【解析】以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.【答案】 B3．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【解析】由题意知，圆心到直线的距离即为圆的半径，即r＝|1＋1－4|12＋12＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.【答案】 A4．已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【解】 由已知条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处，∴圆心M 的坐标为(0,1)， 半径r ＝12|PQ |＝12×－5－52＋6＋42＝5 2.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50.∵|AM |＝2－02＋2－12＝5<r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝1－02＋8－12＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝6－02＋5－12＝52>r ，∴点C 在圆外.【课后知能检测】 一、选择题1．(2014·温州高一检测)点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都不对【解析】 将点P 的坐标代入圆的方程的等号的左边，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P 在圆外． 【答案】 B2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9【解析】 由题意可知，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，故选D. 【答案】 D3．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝25 D ．(x ＋4)2＋y 2＝25 【解析】 由题意，圆的半径r ＝0－32＋4－02＝5，则圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.【答案】 A4．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 【解析】 圆心为AB 的中点(－1,1)，半径为12|AB |＝123＋52＋－2－42＝5，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.【答案】 B5．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 【解析】 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝2－02＋－3－02＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. 【答案】 B 二、填空题6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．【解析】 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，由点P (－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，解得r 2＝25.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝257．点P (1，－1)在圆x 2＋y 2＝r 的外部，则实数r 的取值范围是________． 【解析】 由题意得12＋(－1)2>r ，即r <2，又r >0，故r 的取值范围是(0,2)． 【答案】 (0,2)8．(2014·苏州高一检测)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________．【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知a －52＋－12＝ a －12＋－32，解得a ＝2.所以圆心为(2,0)，半径长为10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.【答案】 (x －2)2＋y 2＝10 三、解答题9．求以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程． 【解】 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2，所以直线与两坐标轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，|AB |＝0－22＋4－02＝20，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20，以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20. 10．已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围： (1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部．【解】 (1)∵点A 在圆内部，∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，即2a ＋5<0，解得a <－52. 故a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－52. (2)将点A (1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－52，故a 的值为－52.(3)∵点A 在圆的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2，即2a ＋5>0，解得a >－52. 故a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >－52. 11．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？【解】 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎨⎧a 2＋1－b2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，3－a2＋4－b2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边，(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程．故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上.。

高二数学圆的标准方程教案 人教版教学目的：1.使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程， 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径2.能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程3.能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程 教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 教学方法：启发式 教 具：幻灯 教学过程：一、复习引入：1.圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2.求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明) 二、讲授新课：1、建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程2、圆的标准方程：问题1．已知圆心为),(b a C ，半径为r ， 如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出： 222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 三、例题精讲：例1.求以C(2,4)为圆心，以5 为半径的圆的标准方程． 申1：求以C(2,4)为圆心，过点(5,8)的圆的标准方程．答案：22(2)(4)25x y -+-=申2：求以C(2,4)为圆心，且过两直线370x y ++=与3x-2y-12=0交点的圆的标准方程． 分析：交点为(2,3)-从而可得圆的方程：22(2)(4)49x y -+-=申3：求过点(5,2),(3,2)A B 且圆心在直线230x y --=是的圆的标准方程．分析：求圆心及半径，圆心为l 与AB 的中垂线的交点先求AB 的中垂线为4x =故圆心C(4，-5)从而求出半径可得圆的方程：22(4)(5)10x y -+-=申4：求以C(1,3)为圆心且和直线0743=--y x 相切的圆的标准方程 解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。

教学设计4．1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1．教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．2．教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．3．学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．4.教学目标(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③增强学生用数学的意识．(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．5．教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．二、教法分析高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．(三)、培养思维，提高能力，激励创新在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，使能力与知识的形成相伴而行．五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．。

第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

《圆的标准方程》教学设计张娟娟内蒙古霍林郭勒市第三中学一、教材分析本章介绍的内容是解析几何中基本知识之一，是进一步学习圆锥曲线的基础。

在这一章中，我们将要学到圆的标准方程和一般方程，要搞清两种形式的几何及代数特点，涉及题目主要是利用待定系数法求两种形式的方程；直线与圆的位置关系，主要是直线与圆相交、相切、相离，判断的方法可以用点到直线的距离及一元二次方程根的判别式，相关的题目涉及最多的是与切线有关的内容；圆与圆的位置关系，主要是利用两圆圆心之间的距离与半径之和、差的关系判断两圆的各种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），其中牵扯到一种比较重要的圆系；即过两圆公共弦的圆系；空间直角坐标系，主要是介绍空间直角坐标系的基础知识及空间两点间距离公式，在本章中还介绍了了一种比较重要的数学思想方法----数形结合。

二、学情分析本章是在在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

本课是本单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

三、教学目标与重、难点（1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

（2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

（3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。

教学重点圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程教学难点根据条件求圆的标准方程。

四、教学过程（一）引入新课前面我们已经学过直线方程的概念，直线斜率及直线方程的常见表达形式，我们知道了关于、的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课就让我们一起来学习最常见的曲线----圆的方程第一节：圆的标准方程。

第四章圆的方程4.1 圆的方程【高考要求】①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④了解用代数方法处理几何问题的思想．【教学目标】1、回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和一般方程2、掌握圆的标准方程和一般方程3、圆的方程的应用【教学重点】1、掌握圆的标准方程和一般方程2、圆的方程的应用4.1.1圆的标准方程（第1课时）【课前导学】阅读教材第118页，完成下列学习Array一、复习圆的静态定义：___________________________________二、圆的标准方程1、建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程2、圆的标准方程：圆的两个要素分别为______和______，当两个要素确定后，圆就唯一确定了.在平面直角坐标系中，圆心C 的位置用坐标(,)a b 表示，半径r 的大小等于圆上任意点(,)M x y 与圆心(,)C a b 的距离，圆心为A 的圆就是集合{}P M MC r ==由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为____________________ ①①式两边平方，得____________________ ⑴若点(,)M x y 在圆上，有上述讨论可知，点M 的坐标适合方程⑴；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程⑴，这就说明点M 与圆心C 的距离为r ，即点M 在圆心为C 的圆上.我们把方程________________________称为圆心为圆心为),(b a C ，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是___________________3、圆的标准方程的两个基本要素：_________________圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决.【预习自测】1、写出下列圆的标准方程（1）圆心在)4,3(-C ，半径长是5（2）圆心在)3,8(-C ，且经过点)1,5(M2、点P （5a+1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ ）A ｜a ｜＜1 Ba ＜131 C ｜a ｜＜51 D ｜a ｜＜131 3、圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是（ ）A (2，-1)，，-1)， 5 C (-2，1)，，1)， 5【典型例题】例 1. △ABC 的三个顶点的坐标分别是()()(5,1),7,3,2,8A B C --,求它的外接圆的方程△ABO 的三个顶点的坐标分别是(0,0),(0,15),(8,0)O A B -，求它的内切圆的方程例2. 已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(B ，且圆心C 在直线01:=+-y x l 上，求圆心为C 的圆的标准方程。

高二数学圆的标准方程教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．(三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r 三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．例2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．这时，教师小结本题：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到)．此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．五、布置作业1．求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．4．赵州桥的跨度是，圆拱高约为，求这座圆拱桥的拱圆的方程．作业答案：1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 322．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：≤y≤0)六、板书设计。

【教案设计】课题：《圆的标准方程》教材：普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修2 §4.1.1一、教学目标：(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据不同条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；③增强学生用数学的意识.(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.三、教学方法与手段1.教学方法采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入.2.教学手段多媒体课件进行辅助教学.四、教学过程整个教学过程是由八个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申（一）创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？通过对这个实际问题的探究，根据半圆的对称性建立平面直角坐标系,构建数学模型.把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程求D点的纵坐标来解决．同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题．【设计意图】用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.（二）深入探究——获得新知问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？2．如果圆心为(,)a b ，半径为时圆的方程又如何呢？这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，由勾股定理得到圆心在原点、半径为4的圆的标准方程2224x y +=后，引导学生归纳出圆心在原点、半径为r 的圆的标准方程222x y r +=.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、勾股定理法、图形变换法.坐标法：引导学生根据圆的定义，圆上的点到圆心的距离等于常数,即两点距离公式推导圆心不在原点的标准方程.推导过程： 圆是这样一些点的集合P=｛M|︱MC ︱=r ｝已知圆心Ｃ(,)a b 半径r根据两点间的距离公式，圆上任意一点M 的坐标（x, y ）r =化简，得到圆的标准方程 ()()222x a y b r -+-=图形变换法:借助多媒体的演示,让学生体会平移的过程，让学生了解利用图像平移的知识也可推导圆心不在坐标原点的标准方程.得出圆的标准方程后,我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节..（三）应用举例——巩固提高I ．直接应用 内化新知问题三 1．写出下列各圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为3；（2）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,3).2．写出圆22(2)36x y ++=的圆心坐标和半径.我设计了两个比较简单的小问题，可以安排学生口答完成.【设计意图】目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为形成待定系数法求圆的标准方程打下基础,并为后续探究圆的切线问题作准备.II ．灵活应用 提升能力问题四 求过原点O 和点P(1,1)，且圆心在直线l:2310x y ++=上的圆的标准方程.设计这一题难度明显增大，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆. 教学中应该突出对问题的分析过程，在分析过程中，要强调图形在分析问题中的辅助作用，引导学生根据题意画出图形.根据确定圆的要素-----圆心位置和半径长,借助图形,结合题设条件可以发现关键是找出圆心位置.圆心位置一旦确定,就可以利用距离公式确定半径大小,从而求出圆的标准方程.让学生自主探究出圆心位置，最后可得出：直线l 与线段OP 垂直平分线l ＇的交点即为圆心位置.解题过程：∵O （0，0），P （1，1）∴线段OP 的中点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭直线OP 的斜率10110op k -==- 因此线段OP 的垂直平分线 l ′的方程是111022y x x y ⎛⎫-=--+-= ⎪⎝⎭即 102310x y x y +-=++= 的解 圆心C 的坐标是方程组43x y ==- 所以圆心C 的坐标是(4,3)-解此方程组，得圆Ｃ的半径 5r OC === 所求圆的标准方程是()()224325x y -++=【设计意图】有利于培养学生逻辑思维能力和加深对数形结合思想的理解,提高分析问题、解决问题的能力，养成良好的解题习惯,并且对数学思维的严谨性具有良好的效果.再一次为学生的发散思维创设了空间,又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮. III ．实际应用 回归自然问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m ，拱高OP=4m ，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01m ）.由于圆拱是圆的一段弧,引导学生根据对称性建立直角坐标系,构建数学模型,再应用待定系数法求出圆的三个参数a 、b 、r ,继而确定圆的方程,从而求出点2P 的纵坐标.要想求出22A P 的长度,还要求出O 点的纵坐标.这样问题就会迎刃而解.但为使求解过程简单,圆心最好设在坐标原点.解题过程: 由题意建立直角坐标系,设圆心C 在坐标原点,如图所示设圆的半径为r 即CA=r 由已知得AO=10，CO=r-OP=r-4222Rt CA =CO +AO CAO ∆在中，()2222941014.52r r r =-+==即 解得222C 14.5y +=圆的方程x2P 点的横坐标为-2，代入圆C 方程可得2P 点纵坐标为14.36∵CO=14.5-4=10.5 即2A 点的纵坐标为10.5∴ 22A P =14.36-10.5=3.86 所以,支柱22A P 的长度大约为3.86米.【设计意图】问题五同时与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生数学建模的习惯和用数学的意识.在教学中,我力求从生活走进数学，使数学回归生活.（四）反馈训练——形成方法问题六 求以点C(1 ,3)为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的标准方程.【设计意图】接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计一个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地,一个展示自己的舞台.让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.（五）小结反思——拓展引申1．课堂小结问题七 通过本节的学习，你学到了哪些内容？最大的体验是什么？掌握了哪些学习数学的方法？【设计意图】为了发挥学生的主体作用,通过三个小问题让学生从知识、方法、体验三方面,自己对圆的标准方程的形式加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法.2．分层作业（A ）巩固型作业：教材P120：练习1.（B ）思维拓展型作业：已知圆的方程为2225x y +=，求过圆上一点A(4,-3)的切线方程.3．激发新疑问题八 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程2268200x y x y +-++=表示什么图形？【设计意图】在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.(六)板书设计【设计意图】 遵循简洁、明显,突出重点的设计意图,板书演示如下:五、教学反思在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合.灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标.这堂课展示了一个完整的数学探究过程，提出问题、自主探究，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习.在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识圆及现实意义，这对接受和理解圆的方程大有裨益！【教案说明】（一）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破.（二）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的.另外，我重点设计了两次思维发散点，分别是问题二和问题四，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动，高效的完成本节的学习任务.（三）培养思维提升能力激励创新为了培养学生的理性思维，我在问题一中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，分层次探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神.本节是一个“动眼观察，动脑思考，动手做题，共同提高”的动态生成过程.对生成性课堂的突出事件,因势利导,随机应变,适当调整教学环节；同时,教学反应性评价与反馈性评价相结合,促进学生的自我评价,勇于贯彻“成功教育，一贯教育”的理念，把握评价时机、评价主体和形式的多样化，从而结合课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态.。

在前一阶段的学习中，我们学习了直线与方程，请同学们回忆一下：
问题1：在直线与方程的学习
中，我们都研究了哪些问题？
问题2：类比直线方程的研究
过程，我们如何研究圆的方程呢？
追问(1)：直线方程是如何建立的呢？怎样在坐标系中确定一条直线呢？ 追问(2)： 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 需要两个几何要素，圆心与半径。

圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小，二者缺一不可。

问题3：设圆心A (a,b)，半径为r,如何建立关于圆的关系式呢？ 追问1：圆上任一点M(x,y )满足什么性质呢? 在平面解析几何中，用距离定义曲线是比较常见的。

由于|MA |=r ,用两点距离公式代入可得：22()()x a y b r -+-=，平方化简得：222()()x a y b r -+-=，记为方程(1)。

追问2：方程（1）一定表示圆的方程吗？我们应该从哪个角度分析呢？ 从曲线和方程的概念出发，说明方程与圆的等价性。

问题4： 与直线方程比，圆的标准方程有什么特点？ 直线方程是二元一次方程，而圆的方程则是二元二次；直线方程点斜式方程中含有三个参数：定点坐标和斜率；圆的方程也含有三个参数，圆心坐标和半径。

另外，我们为什么称为圆的标准方程?是因为该方程结构优美，可直接得到圆心和半径。

问题5： 圆心在原点，半径为r 的圆的方程是什么？ 追问：x 2＋y 2=m 2一定表示圆心在圆点的圆吗 等式右方含有参数，要对m 进行讨论，当m ≠0时，表示半径为|m |的圆，而当m =0时，就只能是一个点了。

实际上，当m 大小变化时，该方程表示一组圆，可以称为“同心圆”。

（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？由学生回答，然后引入课题设置情境引入课题概念形成确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P= {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件22()()x a y b r-+-=①化简可得：(x–a)2 + (y–b)2= r2②引导学生自己证明(x–a)2 + (y–b)2 = r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.通过学生自己证明培养学生的探究能力.应用举例例1 写出圆心为A(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，2(5,1)M--是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2 + (y–b)2 = r2的关系的判断方法：（1）(x0–a)2 + (y0–b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0–a)2 + (y0–b)2= r2，点在圆上.（3）(x0–a)2 + (y0–b)2＜r2，点在圆内.引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x+ 3)2+ ( y+ 3)2=25.把M1 (5，–7)，M2(5-，–1) 的坐标代入方程(x–2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2(5-，–1)的坐标代入方程(x–2)2+ (y+3)2=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.例 2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例2 解：设所求圆的方程是(x–a)2 + (y–b)2 = r2. ①因为A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2 + (y–b)2= r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)6––4––2––––2 –––4––––55AM222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b r a b r a b r⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩ 解此方程组，得22325a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩ 所以，△ABC 的外接圆的方程是(x – 2)2 + (y +3)2=25. 例3 已知圆心为C 的圆C . 经过点A (1，1)和B (2，–2)，且圆心在l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C 的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、r 得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本P127 第1、3、4题师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点A (1，1)和B (2，–2)，由于圆心C 与A 、B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA |或|CB |.(教师板书解题过程)例3 解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(32，12-)，直线AB 的斜率k AB =2121---= –3， 因为线段AB 的垂直平分线l ′的方程是y +113()232x =-，Bm A C即x –3y –3 = 0. 圆心C 的坐标是方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解. 解此方程组，得32x y =-⎧⎨=-⎩ 所以圆心C 的坐标是(–3，–2) .圆心为C 的圆的半径长r =|AC |=22(13)(12)+++=5.所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x + 3)2 + (y +2)2=25.归纳总结 1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法. 教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系课外作业布置作业：见习案4.1第一课时学生独立完成 巩固深化备选例题例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2(a ≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2； （2）圆心为(–2，1)，半径为|a |.例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x – a )2 + (y – b )2 = r 2由条件知222222(2)(3)(2)(5)230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解方程组得21210a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2= 10 解法2：12AB k =，AB 的中点是(0，–4)， 所以AB 的中垂线方程为2x + y + 4 = 0 由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩因为圆心为(–1, –2 )又r=所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10.例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.PA PB PC||||因为|PA|＜|PB|＜|PC|所以圆的半径||==r PB故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.。