2023-2024学年乌鲁木齐高一上册期中考试数学试题一、单选题1．若集合2}2{|0A x x x =+-≤，{|24}B x x =∈-<<Z ，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}|21x x -<≤C ．{|21}x x -<<D ．{}0,1,2【正确答案】A【分析】求出集合A 、B ，根据交集的运算即可求出答案.【详解】解220x x +-≤可得21x -≤≤，所以{|21}A x x =-≤≤.又{}{|24}1,0,1,2,3B x x =∈-<<=-Z ，所以{}1,0,1A B =- 故选：A.2．下列函数中与1y x =-是同一函数的是（）A ．y =B ．21x y x=-C ．211x y x -=+D ．1y =【正确答案】D【分析】求出已知函数的定义域，然后根据判断两函数是同一函数的标准，即定义域相同，对应法则相同，对各个选项逐个化简判断即可求解．【详解】函数1y x =-的定义域为R ，1y x ==-，所以与已知函数的解析式不同，故A 错误，21x y x=-定义域为()(),00,∞-+∞U ，与已知函数的定义域不同，故B 错误，211x y x -=+定义域为()(),11,-∞--+∞ ，与已知函数的定义域不同，故C 错误，11y x =-=-，且定义域为R ，与已知函数是同一函数，故D 正确，故选：D ．3．已知函数21,0()21,0x x x f x x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()3f x =，则x 值为（）A ．1-或1B ．C ．1或D 或1【正确答案】C【分析】分别根据0x ≤以及0x >时的解析式，列出方程，求解方程即可得出答案.【详解】因为21,0()21,0x x x f x x ⎧+≤=⎨+>⎩.当0x ≤时，2()1f x x =+，解213x +=，可得x =x =)；当0x >时，()12xf x =+，解123x +=，可得1x =.综上所述，x =1x =.故选：C ．4．设,a b ∈R ，则“lg lg 0a b +=”是“1ab =”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由lg lg 0a b +=lg 01ab ab ⇒=⇒=且0a >且0b >，故选：A ．5．三个数20.320.3,log 0.3,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <<.B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b<c<a【正确答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解，即可比较大小.【详解】解：2000.30.31<<= ，则01a <<，22log 0.3log 10<= ，则0b <，0.30221>= ，则1c >，所以b a c <<.故选：B.6．函数3x y -=与()3log y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析两个函数的定义域与单调性，可得出合适的选项.【详解】函数133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为R 上的减函数，排除AB 选项，函数()3log y x =-的定义域为(),0∞-，内层函数u x =-为减函数，外层函数3log y u =为增函数，故函数()3log y x =-为(),0∞-上的减函数，排除D 选项.故选：C.7．已知0x >，0y >且211x y+=，若228x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围时（）A ．(-∞，1)(9-⋃，)∞+B ．(-∞，][19-⋃，)∞+C ．(9,1)--D ．[9-，1]【正确答案】A【分析】由已知先利用基本不等式求出2x y +的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．【详解】因为0x >、0y >，且211x y+=，()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22x y y x =且211x y+=，即3x y ==时取等号，此时2x y +取得最小值9，若228x y m m +<-有解，则298m m <-，解得9m >或1m <-，即实数m 的取值范围为(-∞，1)(9-⋃，)∞+．故选：A ．8．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与二次函数的单调性即可求解.【详解】因为当1x ≤-时，函数2()2f x x a =-+为单调递增函数，又函数()f x 在R 上是单调函数，则需满足0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤，所以实数a 的范围为50,3⎛⎤⎥⎝⎦，所以满足范围的选项是选项B.故选：B ．9．设函数(1)f x -是定义域在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上递减，则(1)f -，(π)f ，(3)f -的大小关系是（）A ．(π)(1)(3)f f f >->-B ．(π)(3)(1)f f f >->-C ．(π)(3)(1)f f f <-<-D ．(π)(1)(3)f f f <-<-【正确答案】C【分析】令()()1g x f x =-，则()()1f x g x =+.由已知可得出()g x 在[)0,∞+上递减，根据()f x 与()g x 的关系，即可得出大小关系.【详解】令()()1g x f x =-，则()()1f x g x =+.且()g x 是定义域在R 上的偶函数，在[)0,∞+上递减.所以()(1)0f g -=，()()ππ1f g =+，()()()322f g g -=-=.由()g x 在[)0,∞+上递减，可得()()()02π1g g g >>+，即()()()13πf f f ->->.故选：C ．10．已知函数()8(0,1)2x xa a f x a a --=+>≠在区间[],ab 上的最小值为10-，则函数()f x 在区间[],b a --上的最大值为（）A ．10B ．26C ．10-D ．与a 有关【正确答案】B【分析】依题意，可得()f x 在区间[],a b ，区间[],b a --上均为单调函数，利用奇函数()(0,1)2x xa a g x a a --=>≠在区间[],ab 上的最小值为18-，可求得()g x 在区间[],b a --上的最大值，进而可得答案．【详解】()8(0,1)2x xa a f x a a --=+>≠ ，x y a =与x y a -=-单调性相同，()f x ∴在区间[],a b ，区间[],b a --上均为单调函数，又()(0,1)2x xa a g x a a --=>≠，满足()()g x g x -=-，即()g x 为奇函数，()8(0,1)2x xa a f x a a --=+>≠ 在区间[],ab 上的最小值为10-，()(0,1)2x xa a g x a a --∴=>≠在区间[],ab 上的最小值为10818--=-，()g x ∴在区间[],b a --上的最大值为18，∴函数()f x 在区间[],b a --上的最大值为18826+=.故选：B11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为[]1,2-，则0ax bcx b+≥-的解集为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由题意可得1-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且a<0，再利用韦达定理求出2b ac a =-⎧⎨=-⎩，代入所求不等式求解即可．【详解】 关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为[]1,2-，1∴-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且a<0，∴1212b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得2b a c a =-⎧⎨=-⎩，∴不等式0ax b cx b +≥-可化为02ax aax a -≥-+，即1021x x -≤-，转化为(1)(21)0x x --≤，且210x -≠，解得112x <≤，即不等式0ax b cx b +≥-的解集为1,12⎛⎤⎥⎝⎦．故选：B ．12．已知二次函数()()22,R f x mx x n m n =-+∈，若函数()f x 的值域是[0,)+∞，且(1)2f ≤，则222211m n n m +++的取值范围是（）A ．[]0,12B ．[]1,13C ．[]2,12D ．[]3,13【正确答案】B【分析】根据二次函数的性质可得1mn =，且0m >，又因为f （1）2≤，所以14m m+≤，再结合基本不等式求解即可．【详解】解： 二次函数()()22,R f x mx x n m n =-+∈的值域是[0,)+∞，Δ440mn ∴=-=，解得1mn =，且0m >，又(1)22f m n =-+≤ ，1n m =，14m m∴+≤，()22222622222222222111111111111m n m n m m m m n m n m m m m m m +∴+=+=+==+-+++++++由14m m+≤，0m >，可得221214m m ≤+≤，221113m m ∴≤+≤即222211m n n m +++的取值范围是[]1,13．故选：B ．二、填空题13．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【正确答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故3.本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．14．函数x m y a n +=+(0a >且)1a ≠恒过定点(1,2)-，m n +=__．【正确答案】4-【分析】由已知，根据指数函数的性质即可求解．【详解】令0x m +=可得x m =-，此时有1y n =+.由题意可得1m -=，12n +=-，所以1m =-，3n =-，所以4m n +=-．故4-．15．若函数4,1()(21)1,1x x f x x a x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是__．【正确答案】3a ≥【分析】先根据基本不等式求出1x ≥时()f x 的取值范围，然后根据a 的范围得出()f x 在(),1-∞上的单调性，求出值域．根据题意，即可得出答案.【详解】因为函数4,1()(21)1,1x x f x x a x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩.当1x ≥时，有4()4f x x x=+≥，当且仅当2x =时等号成立.当210a -=，即12a =时，有4,1()1,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪-<⎩，不满足题意；当210a -<，即12a <时，()()211f x a x =--在(),1-∞上单调递减，有()()122f x f a >=-，不满足题意；当210a ->，即12a >时，()()211f x a x =--在(),1-∞上单调递增，有()()122f x f a <=-.要使()f x 的值域是R ，则应有224a -≥，所以3a ≥.综上所述，当3a ≥时，()f x 的值域是R .故答案为.3a ≥16．已知函数22,3()9,3x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，123x x x <<，有123()()()f x f x f x ==，则12322x xx ++的范围是__．【正确答案】(11,13)【分析】画出函数的图象，123()()()===f x f x f x k ，结合图象可得02k <<.然后求解即可推出12224x x +=.进而得出3x 的范围，即可．【详解】作出函数22,3()9,3x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的大致图象如图：当3x ≤时，()222xf x =-=，解得2x =，令123()()()===f x f x f x k .由图象可知，当02k <<时，满足题意.且11<x ，212x <<.又由12()()f x f x =知，122222x x-=-，所以122222x x -=-，即12224x x +=.所以1233242x xx x ++=+.由3092x <-+<，可得379x <<，所以311413x <+<.故(11,13)．三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}|3231A x R x =∈-≤-≤，集合1|224x B x R ⎧⎫=∈≤<⎨⎬⎩⎭.(1)求A B ⋂，A B ⋃；(2)求()R A B ⋃ð.【正确答案】(1){|01}A B x x ⋂=≤<，{|22}A B x x ⋃=-≤≤(2)(){|2R A B x x ⋃=>ð或1}x <【分析】（1）解一元一次方程、指数不等式求集合A 、B ，再根据集合的交、并运算求A B ⋂，A B ⋃.（2）由集合补运算求R A ð，再由集合并运算求()R A B ⋃ð即可.【详解】（1）由题意得，{|02}A x x =≤≤，{|21}B x x =-≤<∴{|01}A B x x ⋂=≤<，{|22}A B x x ⋃=-≤≤；（2）由（1）知：(){|2R A x x =>ð或0}x <∴(){|2R A B x x ⋃=>ð或1}x <.18．化简求值：(1)()()20.52303274920.008π18925--⎛⎫⎛⎫-+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)5log 350.5551log 352log log log 145;50---【正确答案】(1)109(2)1【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；（2）根据对数的运算性质可求出结果.【详解】（1）原式=223712123525--⎛⎫⎛⎫-+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4722519325-+⨯+=47393-+=109.（2）原式=555log 351log 50log 143++--53550log 214⨯=-5log 1252=-35log 52=-32=-1=.19．(1)当0a >时，解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++>；(2)已知0x >，0y >，当1x y +=时，证明：224y x x y +≥，并指出取等号条件．【正确答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）先解出2(1)10ax a x -++=的两个根，对根的大小分类讨论，再结合一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据“1”的代换，结合基本不等式的解法，即可证明．然后列出等号成立的条件，求解即可.【详解】（1）由已知0a >，解2(1)10ax a x -++=可得1x =或1x a=.当11a=时，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠；当11a>时，即01a <<时，不等式的解集为{|1x x <或1x a ⎫>⎬⎭；当11a <时，即1a >时，不等式的解集为1|x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.综上所述，当01a <<时，不等式的解集为{|1x x <或1x a ⎫>⎬⎭；当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠；当1a >时，不等式的解集为1|x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.（2）因为0x >，0y >，1x y +=，所以2222()()y x y x x y x y x y +=++2222y x x y x y y x =+++4≥+=，当且仅当22221y xx y y x x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎪⎩，即12x y ==时，等号成立．20．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()81737W x x x=+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本）(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【正确答案】(1)()2153,0628134,6x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩(2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．【分析】（1）根据已知条件及年利润=年销售收入-固定成本-变动成本即可求解；（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．【详解】（1）由题可知，()()63L x x W x =--，所以()221163,0653,0622818134,663737,6x x x x x x x L x x x x x x x x ⎧⎛⎫⎧--+<<-+-<< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪==⎨⎨⎛⎫⎪⎪--+≥--+-≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩；（2）当06x <<时，()()221119535222L x x x x =-+-=--+，由二次函数的性质知，对称轴为5x =，开口向下，所以当5x =时，()L x 取得最大值为()21191955222--+=；当6x ≥时，()81343416L x x x =--+≤-+=，当且仅当81x x =，即9x =时，等号成立，因为19162>，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．21．已知函数()20.51x f x a =-+．(1)求()2f ；(2)探究()f x 的单调性，并证明你的结论；(3)若()f x 为奇函数，求满足2()(3)f ax f x <的x 的范围．【正确答案】(1)85a -;(2)单调递减函数，证明见解析；(3)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）令2x =即可求解；（2）先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，再根据单调性的定义证明即可；（3）由已知求出1a =，然后根据函数的单调性得出不等式，解出即可求解．【详解】（1）令2x =，则()22820.515f a a =-=-+.（2）因为0.510x +>恒成立，所以函数()f x 的定义域为R ，函数()f x 在R 上为单调递减函数.证明如下：12,x x ∀∈R ，且12x x <，则()()1212220.510.51x x f x f x a a ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()121220.50.50.510.51x x x x -=++，因为12x x <，所以120.50.5x x >，所以120.50.50x x ->.又()()120.510.510x x ++>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在R 上为单调递减函数.（3）由已知()220.50.510.51xx x f x a a -⋅-=-=-++，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()220.52200.510.51xx x f x f x a a a ⋅-+=-+-=-=++，所以1a =，所以()210.51x f x =-+.由（2）知，函数为R 上的单调递减函数，则由不等式2()(3)f ax f x <可得，23x x >，解得103x <<，所以不等式的解集为1(0,3．22．设常数a ∈R ，函数2()12x a f x a=+-．(1)当0a ≥时，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2)当0a <时，若函数()f x 在区间[],m n ()m n <上的值域是2,2m n ⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析；(2)()3-+.【分析】（1）当0a ≥时，结合函数奇偶性的定义，分类讨论函数()y f x =的奇偶性；（2）根据单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增.由题意可得出m ，n 是方程2122x xa a +=-的两个不等的实根，整理可转化为2(2)(1)20x x a a -+-=有两个不等的实根，换元得到一元二次方程，求解即可得出答案.【详解】（1）①当0a =时，()1f x =.故对于任意的实数x 都有()()f x f x -=，此时函数()f x 为偶函数；②当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为{}|0x x ≠.因为2112()()2112x xx x f x f x --++-===-+-，所以，此时函数()f x 为奇函数；③当0a ≠且1a ≠时，函数的定义域为2{|log }x x a ≠.所以，此时函数的定义域不关于原点对称，故函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数．综上，当0a =时，函数()f x 为偶函数；当1a =时，函数()f x 为奇函数；当0a ≠且1a ≠时，函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数．（2）因为2()12x a f x a=+-，当0a <时，函数定义域为R .12x x ∀<，则()121222()1122x x a a f x f x a a -=+----()()211222222x x x x a a a -=⋅--.因为12x x <，所以1222x x <，所以21220x x ->.又0a <，所以120x a ->，220x a ->，所以()12()0f x f x -<，所以()12()f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.则由题意可得2122m m a a +=-，2122n n a a+=-，所以m ，n 是方程2122x x a a +=-的两个不等的实根，即2(2)(1)20x x a a -+-=有两个不等的实根.令20x t =>，则方程2(1)0t a t a -+-=有两个不相等的正实根，故2Δ(1)40100a a a a ⎧=++>⎪+>⎨⎪->⎩，解得30a -+<<，所以，实数a的取值范围为()3-+.。
