概率统计整理
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P46.2.下列随机实验各包含几个基本事件？ (1)将有记号a、b的两只球随机放入编号为I、II、III的三个盒子里(每个盒子可容纳两个球) (2)观察3粒不同种子的发芽情况 (3)从5人中任选2名参加某项活动 (4)某人参加一次考试，观察其得分(按百分制记分)情况 (5)将a、b、c3球装入3个盒子中去，使每个盒子各装1个球 3.设A=“3件产品中至少有1件不合格品”、B=“3件产品都是合格品”，问A+B、AB各表示什么事件？ 4.若要击落飞机必须同时击毁两个发动机或击毁驾驶舱，记A1=“击毁第一个发动机”，A2=“击毁第二个发动机”，B=“击毁驾驶舱”，试用A1、A2表示“飞机被击落”事件 5.设A1，A2，A3，A4是四个随机事件，试用这几个事件表示下列个事件 (1)这四个事件都发生 (2)这四个事件都不发生 (3)这四个事件至少有一个发生 (4)A1，A2都发生，而A3，A4都不发生 7.将一枚均匀硬币连续掷10次，求下列事件的概率： (1)A=“前5次出正面，后5次出反面” (2)B=“前两次交替出现” (3)C=“有一次出正面” 9.从一副扑克牌(52张，不计大小王)中任取4张，求取得的4张花色都不相同的概率 18.在10件产品中，有6件正品，4件次品.甲从10件中任取一件(不放回)后，乙再从中任取一件.记A=“甲取得的正品”.B=“乙取得正品”，求P(A)、P(B/A)、P(B/A) 19.甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道，甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12% (1)已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率 (2)已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率 (3)求甲、乙两市至少有一个城市为雨天的概率 20.在某电路中，电压超过额定值的概率为P1，在电压超过额定值的情况下，用电仪器被烧坏的概率为P2，求因电压超过额定值，而使用电仪器被烧坏的概率 21.甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑球.今从两袋中各任取一个球，求下列事件的概率 (1)A=“取得2个红球” (2)B=“取得的两个球颜色相同” P45.2射击室内有9支枪，其中两支已试射过，7支未试射过.射手用已试射过的枪射击时，命中率为0.8，用未试射过的枪射击时，命中率为0.1，今从室内任取一支枪对目标射击，解下列问题： (1)求命中目标的概率 (2)若已见命中目标，求使用的枪是已试射过的概率 P90.1.将一枚骰子抛掷两次(或同时掷两枚骰子)，用X表示出现点数之和，求X的分布律 2.从100件同类产品(其中有5件次品)中，任取3件，求3件中所含次品数X的分布律 3.在一个盒中有8个二极管，已知其中有4个正品，4个次品，使用时，从盒中一个接一个地取出来进行测试，直到取得一个正品为止.求在取二极管时，已取出的二极管的个数X的分布律
4.有同类产品100件(已知其中有5件次品)，每次从中任取1件，连续抽取20件： (1)有放回抽取时，求抽的次品数X的分布律 (2)无放回抽取时，求20件中所含次品数Y的分布律
5.已知离散型随机变量的分布律为 (1)P[X=k]=𝑘C1k=1,2…,10 (2)P[Y=k]=C2(23)kk=1,2,3 试分别求C1，C2
6.某射手每发击中目标的概率为0.8，今把靶独立重复射击20次(每次1发) (1)求恰好击中2发的概率 (2)求中靶发数不超过2发的概率 (3)求至少击中2发的概率
7.某个大楼有5个同类供水设备，已知在任何时刻每个设备被使用的概率均为0.1 (1)求同一时刻，恰有2个设备被使用的概率 (2)求同一时刻至多有3个设备被使用的概率 (3)求同一时刻至少有1个设备被使用的概率
10.某长生产的棉布，每米上的瑕点数X服从参数𝜆=3的泊松分布，今任取1m棉布 (1)求棉布上无瑕点的概率 (2)求棉布上有2~3个瑕点的概率
12.设随即变量X的分布函数为 F(𝑥){1−(1+𝑥)𝑒−𝑥𝑥≥00 𝑥<0
(1)求P[X≤1] (2)求X的概率密度函数 13.设随机变量X的概率密度函数为 𝑓(𝑥)={𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑥≥00 𝑥<0(常数𝜆>0) (1)求P[X≤1𝜆] (2)求常数C，使P[X>C]=12 14.设随机变量X在[0,5]上服从均匀分布，求P[X>4] 15.设随机变量X~N(3,22) (1)求P[22] (2)确定常数C，使P[X≤C]=P[X>C]，并用图形说明其意义 (3)求α，使P[|X-α|>α]=0.1 16.由自动机床生产的某种零件长度X(单位:cm)服从参数μ=10.05cm，σ=0.06cm的正态分布.规定长度在10.05±0.12内为长度合格，求这种零件长度不不合格率 P111.3设(X,Y)的联合分布律为 XY 1 2 3 1 1/4 1/8 1/8 2 1/8 1/8 1/4 分别求(X,Y)关于X、Y的边缘分布律 4.设(X,Y)的联合密度为 𝑓(𝑥,𝑦)={𝐴𝑒−(2𝑥+𝑦) 0>𝑥,𝑦>00 其他 (1)求常数A (2)求P[X<2,Y<1] (3)求𝑓𝑥(𝑥),𝑓𝑦(𝑦),𝑓𝑥/𝑦(𝑥/𝑦) P118.1已知(X,Y)的分布律为 XY -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 问X与Y是否相互独立 解：P[X=-1]= 18+18+18=38 P[Y=-1]= 18+18+18=38 P[X=-1]P[Y=-1] ≠P[X=-1,Y=-1] ∴X与Y不相互独立 2.已知(X,Y)的联合密度为 𝑓(𝑥,𝑦)={4𝑥𝑦 0≤𝑥≤1,0≤𝑦≤10 其他 判断X、Y是否独立 解：𝑓𝑋(𝑥)=∫4𝑥𝑑𝑦10=2𝑥 𝑓𝑌(y)=2y 𝑓(𝑥,𝑦)=4𝑥𝑦=𝑓𝑌(y) 𝑓𝑋(𝑥) ∴X、Y相互独立 3.已知(X,Y)的联合密度为 𝑓(𝑥,𝑦)={𝑥2+𝑥𝑦3 0≤𝑥≤1,0≤𝑦≤20 其他 问X、Y是否独立 解：𝑓𝑋(𝑥)=∫(𝑥2+𝑥𝑦3)𝑑𝑦20 =∫𝑥2𝑑𝑦20+∫𝑥𝑦3𝑑𝑦20 =2𝑥2+23𝑥 𝑓𝑋(𝑥)={2𝑥2+23𝑥 0≤𝑥≤10 其他 𝑓𝑌(y)=∫(𝑥2+𝑥𝑦3)𝑑𝑥20 =∫𝑥2𝑑𝑥10+∫𝑥𝑦3𝑑𝑥10 =13𝑥3|01+16𝑦𝑥2|01 =16𝑦+13 𝑓𝑌(y)={16𝑦+13 0≤𝑥≤10 其他 𝑓(𝑥,𝑦)≠𝑓𝑋(𝑥) 𝑓𝑌(y) ∴X、Y不相互独立 P132.2设二维随机变量的联合密度函数为 𝑓(𝑥,𝑦)=𝐶(1+𝑥2)(1+𝑦2) −∞<𝑥<+∞,−∞<𝑦<+∞ (1)求常数C (2)求P[0≤X≤1,0≤Y≤1] (3)求边缘密度函数𝑓𝑥(𝑥)与𝑓𝑦(𝑦) (4)问X与Y是否相互独立 解：(1)∫∫𝑓(𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦=1+∞−∞+∞−∞ C∫1(1+𝑥2)(1+𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦+∞−∞ =C∫11+𝑥2𝑑𝑥+∞−∞+∫11+𝑦2𝑑𝑦+∞−∞ =C∙arctan𝑥|−∞+∞∙arctan𝑦|−∞+∞ =C[𝜋2−(−𝜋2)]2 =1 ∴C=1𝜋2 (2)P[0≤X≤1,0≤Y≤1] =∫∫1𝜋2∙10101(1+𝑥2)(1+𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 =1𝜋2∫11+𝑥2𝑑𝑥10∫11+𝑦2𝑑𝑦10 =1𝜋2(arctan𝑥|01)(arctan𝑦|01) =1𝜋2x𝜋4x𝜋4 =116 (3)𝑓𝑋(𝑥)=∫1(1+𝑥2)(1+𝑦2)𝑑𝑦+∞−∞ =1𝜋2∙11+𝑥2∫11+𝑦2𝑑𝑦+∞−∞ =1𝜋2∙11+𝑥2∙𝜋
=1𝜋(1+𝑥2) 𝑓𝑌(y)=∫1(1+𝑥2)(1+𝑦2)𝑑𝑥+∞−∞
=1𝜋2∙11+𝑦2∫11+𝑥2𝑑𝑥+∞−∞
=1𝜋2∙11+𝑦2∙𝜋
=1𝜋(1+𝑦2) (4)𝑓(𝑥,𝑦)=1𝜋2∙1(1+𝑥2)(1+𝑦2) 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)=1𝜋(1+𝑥2)∙1𝜋(1+𝑦2)
=1𝜋2∙1(1+𝑥2)(1+𝑦2)
𝑓(𝑥,𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) ∴X与Y相互独立
12.设随机变量(X,Y)的分布律为 XY -2 -1 0 -1 1/12 1/12 3/12 1/2 2/12 1/12 0 3 2/12 0 2/12 (1)X+Y的分布律 (2)X-Y的分布律 (3)在X=-1的条件下,求Y的条件分布律 (4)在Y=-1的条件下,求X的条件分布律 (5)X、Y是否相互独立 解：(1)、(2) X+Y -3,-2,-1,-3/2,-1/2,1,3 Pk 1/12,1/12,3/12,2/12,1/12,2/12,2/12 X-Y -1,0,1,3/2,5/2,3,5 Pk 3/12,1/12,1/12,1/12,2/12,2/12,2/12 (3)P[Y=-2/X=-1]= P[Y=−2,X=−1]P[X=−1] =1/125/12 =15 P[Y=-1/X=-1]= P[Y=−1,X=−1]P[X=−1] =1/125/12 =15 P[Y=0/X=-1]= P[Y=0,X=−1]P[X=−1] =3/125/12 =35 (4) P[X=-1/Y=-1]= P[X=−1,Y=−1]P[Y=−1] =1/125/12 =15 P[X=12/Y=-1]= P[X=−1,Y=−1]P[Y=−1] =1/125/12 =15 P[X=3/Y=-1]= P[X=−1,Y=−1]P[Y=−1] =05/12 =0
(5)P[X=-1]P[Y=-2]= 25144≠P[X=-1/Y=-2]
∴X、Y不相互独立
