2017_2018学年高中数学课时作业152.1直线与直线的方程北师大版必修2

课时作业两条直线的交点基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．直线＋－＝与＋－＝的交点是( )．(，－) ．(－)．(－) ．(－，－)解析：由(\\(＋－＝＋－＝，))得(\\(＝＝－.))答案：．下列直线中，与直线－－＝相交的是( )．－－＝．＝．＝＋．＝－＋解析：因为直线－－＝的斜率为，所以与直线－－＝相交的直线的斜率不为，排除，，，故选.答案：．已知三条直线＝，＋＝，＋＋＝交于一点，则坐标(，)可能是( )．(，－) ．(，－)．(－) ．(－)解析：由(\\(＝＋＝，))得(\\(＝＝.))由三条直线相交于一点，可知×＋×＋＝即＋＋＝，结合选项可知项正确．答案：．若直线＋－＝与直线－－＝的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )．(－)．(－，＋∞)．(－∞，)．(－∞，－)∪(，＋∞)解析：因为直线＋－＝与直线－－＝相交，所以≠－.由(\\(＋－＝－－＝))，解得(\\(＝(＋)＝(－＋)))，即两直线的交点坐标为.由题意可得(\\((＋)>,(－＋)>))，所以(\\(＋>－>))，解得－<<.答案：．无论、取何实数，直线(－)＋(＋)－＝都过一定点，则点坐标为( )．(－)解析：直线(－)＋(＋)－＝整理为(＋)－(－＋)＝，解方程组(\\(＋＝－＋＝，))得交点坐标为.因此无论，取何实数直线必经过点.答案：二、填空题(每小题分，共分)．已知直线＋＋＝与直线－＋＝的交点在轴上，则的值为．解析：因为两直线的交点在轴上，且直线－＋＝与轴的交点是，所以点在直线＋＋＝上，则×＋×＋＝，解得＝－.答案：－．经过直线：＋＋＝和：－＋＝的交点及点()的直线的方程为．解析：由(\\(＋＋＝－＋＝))，解得(\\(＝－()＝()))，即直线和的交点为.又直线过点()，所以直线的方程为＝，即－＋＝.答案：－＋＝．直线过点(－)且倾斜角为°，直线过点()且与直线垂直，则直线与直线的交点坐标为．解析：由题知，直线的方程为＝(＋)，因为直线与垂直，所以直线的斜率＝－，所以直线的方程为＝－(－)，联立与的方程(\\(＝(())＋＝－()－，))得交点坐标是(，)．答案：(，)三、解答题(每小题分，共分)．()求经过两直线－－＝和＋＋＝的交点且与直线＋－＝平行的直线的方程；()求经过两直线：－＋＝和：＋－＝的交点，且与直线：－＋＝垂直的直线的方程．解析：()由(\\(－－＝＋＋＝))，解得(\\(＝－()＝－()))，所以交点为.因为直线与直线＋－＝平行，所以直线的斜率为－，所以直线的方程为＋＝－，＋＋＝.()法一：解方程组(\\(－＋＝＋－＝，))得()．因为的斜率为，且⊥，所以直线的斜率为－，由斜截式可知的方程为＝－＋，即＋－＝.。

解析：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝ .
∴若这两条直线垂直，则k＝ .
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
|
11．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：因为直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，
所以 ＝1，所以a＝0，
又直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，所以－ ＝1，所以b＝－2，因此a＋b＝－2.
答案：B
12．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
答案：B
5．下列直线中，与已知直线y＝－ x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是()
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－ ，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
A．－8 B．0
C．2 D．10
解析：由题意可知kAB＝ ＝－2，所以m＝－8.
答案：A
4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(6，y)，且l1⊥l2，则y＝()
A．－2 B．1
C．2 D．4
解析：因为l1⊥l2，且直线l1的斜率k1不存在，所以直线l2的斜率k2＝0，则y＝1.

课时作业35 直线与直线的方程时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．过点P (－1,2)且方向向量为a ＝(－1,2)的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．x －2y ＋5＝0 C ．x －2y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0【答案】 A【解析】 因为方向向量a ＝(－1,2)， 所以直线的斜率k ＝－2，又过点P (－1,2)， 所以由点斜式求得直线方程为2x ＋y ＝0.2．直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的范围是( ) A ．k ≥－1B ．k ≤1C ．－1≤k ≤1且k ≠0D ．k ≤－1或k ≥1 【答案】 C【解析】 令x ＝0，得y ＝k ； 令y ＝0，得x ＝－2k ，∴三角形面积S ＝12|xy |＝k 2，又S ≤1即k 2≤1.∴－1≤k ≤1，又∵k ＝0时不合题意．故选C.3．(2011·山东济宁)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12【答案】 D 【解析】如图，l 过P (2,1)，k P A ≤k ≤k PB ， k P A ＝3－11－2＝－2，而k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.4．若点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的公共点，则相异两点(a 1，b 1)和(a 2，b 2)所确定的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x －3y －1＝0D ．3x －2y －1＝0【答案】 A【解析】 ∵2a 1－3b 1＋1＝0,2a 2－3b 2＋1＝0， ∴(a 1，b 1)，(a 2，b 2)是直线2x －3y ＋1＝0上的点．5．已知直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值范围是( )A ．(33，1)∪(1，3) B ．(33，3) C ．(33，1) D ．(1，3)【答案】 A【解析】 因为k 1＝1，k 2＝a ，由数形结合知，直线l 2的倾斜角α∈(π6，π4)∪(π4，π3)，所以直线l 2的斜率a ∈(33，1)∪(1，3)． 6．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系是( )A.f (a )a >f (b )b >f (c )c B.f (c )c >f (b )b >f (a )a C.f (b )b >f (a )a >f (c )c D.f (a )a >f (c )c >f (b )b【答案】 B【解析】 作函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像，易知f (x )x表示直线的斜率．∴f (c )c >f (b )b >f (a )a，故选B. 二、填空题(每小题5分，共20分)7．过点P (1,2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为________． 【答案】 x ＋y －3＝0或2x －y ＝0【解析】 由题意可知直线的斜率必存在，当直线在坐标轴上的截距都为0时，可得该直线为2x －y ＝0；当直线在坐标轴上的截距相等且都为a (a ≠0)时，令x a ＋ya＝1.∵该直线过点P (1,2)，∴1a ＋2a ＝1，故a ＝3.∴该直线方程为x ＋y －3＝0.8．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________． 【答案】 3【解析】 线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，∴y ＝4－43x ，代入y 得xy ＝－43x 2＋4x ，由二次函数性质知，当x ＝32∈[0,3]时，xy 的最大值为3.9．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．【答案】 4x ＋y －8＝0【解析】 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12，即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.10．点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫14，1【解析】 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.三、解答题(共50分)11．(10分)设直线l ：2x ＋By －1＝0的倾斜角为α；若π6<α<2π3，试求B 的取值范围．【解析】 若α＝π2，则B ＝0，若α≠π2，则k <－3或k >33，即－2B <－3或－2B >33，解得－23<B <0或0<B <233.综上知，B ∈(－23，233)． 12．(20分)(1)求经过点(2，－1)，倾斜角为直线4x ＋3y ＋4＝0的倾斜角一半的直线方程．(2)直线l 经过点P (3,2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程．【解析】 (1)设所求直线的倾斜角为α， 则直线4x ＋3y ＋4＝0的倾斜角为2α. ∵tan2α＝－43，∴2tan α1－tan 2α＝－43， 解得tan α＝2或tan α＝－12.∵0<2α<π，∴0<α<π2，∴tan α>0，即tan α＝2.∴所求直线方程为y ＋1＝2(x －2)． 即2x －y －5＝0.(2)题中△OAB 的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式． 方法一 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，∴A (a,0)，B (0，b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝24，3a ＋2b＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4.∴所求的直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.方法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)， 令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距a ＝3－2k ，令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距b ＝2－3k .∴(3－2k )(2－3k )＝24.解得k ＝－23.∴所求直线方程为y －2＝－23(x －3)．即2x ＋3y －12＝0.【评析】求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：①设所求直线的方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设的方程．13．(20分)已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，经过原点O 以u ＝i ＋m j 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以v ＝m i －j 为方向向量的直线相交于点P ，其中m ∈R ，当点P 变动时，试问是否存在一个定点Q ，使得|PQ |为定值？若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由．【解析】 u ＝i ＋m j ＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )， v ＝m i －j ＝m (1,0)－(0,1)＝(m ，－1)， 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AP →＝(x ，y －1)． ∵OP →∥u ，AP →∥v ，∴mx －y ＝0，m (y －1)＋x ＝0， 消去m 得x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14，即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，故存在一点Q ⎝⎛⎭⎫0，12，使得|PQ |为定值12.。

课下能力提升（十五）直线方程的点斜式一、选择题1．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．直线y ＝ax －1a的图像可能是( )3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( )A ．2 009B ．2 010C ．2 011D ．2 0124．直线l 的方程为y ＝3x ＋2，若直线l ′与l 关于y 轴对称，则直线l ′的方程为( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝－33x ＋2 C ．y ＝3x －2 D ．y ＝－3x －25．在等腰△ABO 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，而点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)二、填空题6．若直线y ＝2x ＋b 与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b ＝________.7．直线l 的方程为x －y －(m 2－m ＋1)＝0，若l 在y 轴上的截距为－3，则m 的值为________．8．直线过点(1,2)且与直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．三、解答题9．已知△ABC 的三个顶点在第一象限，A (1,1)，B (5,1)，A ＝45°，B ＝45°，求：(1)AB 所在直线的方程；(2)AC 边和BC 边所在直线的方程．10．求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程．答 案1. 解析：选B ①中方程k ＝y －2x ＋1表示的直线不能过(－1,2)，而y －2＝k (x ＋1)表示过(－1,2)点、斜率为k 的直线，∴二者不能表示同一直线；②③正确；④中，点斜式、斜截式不能表示平行于y 轴的直线，∴结论错误．2. 解析：选B 在B 中，直线的倾斜角为钝角，故斜率a ＜0，直线在y 轴上截距－1a＞0，与直线和y 轴正半轴有交点，符合要求．3. 解析：选C ∵直线斜率k ＝5－－2－－＝2，∴直线的点斜式方程为y －5＝2(x －2)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，得b ＝2 011.4. 解析：选A ∵l ′与l 关于y 轴对称，直线l 过定点(0,2)，∴直线l ′也过点(0,2)．直线l 的斜率为3，∴l 的倾斜角为60°，l ′的倾斜角为180°－60°＝120°.∴l ′的斜率为－ 3.∴直线l ′的方程为y ＝－3x ＋2.5. 解析：选D 由题意，OA 与OB 的倾斜角互补．k OA ＝3 ，k AB ＝－3.∴AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．6. 解析：令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－b 2， ∴所求的面积S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2＝14b 2＝9.∴b ＝±6. 答案：±67. 解析：由题知3－(m 2－m ＋1)＝0，解得：m ＝－1或2.答案：－1或28. 解析：直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距为3，即直线l 过(0,3)．∴直线l 的斜率k ＝3－20－1＝－1. ∴l 的方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09. 解：根据已知条件，画出示意图如图．(1)由题意知，直线AB 平行于x 轴，由A ，B 两点的坐标知，直线AB 的方程为y ＝1.(2)由题意知，直线AC 的倾斜角等于角A ，所以k AC ＝tan 45°＝1，又点A (1,1)，所以直线AC 的方程为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .同理可知，直线BC 的倾斜角等于180°－B ＝135°，所以k BC ＝tan 135°＝－1，又点B (5,1)，所以直线BC 的方程为y －1＝－1·(x －5)，即y ＝－x ＋6.10. 解：由条件知该直线的斜率存在且不为0，由点斜式可设直线方程为y －3＝k (x －2)．令x ＝0得y ＝3－2k .令y ＝0得x ＝2－3k. 由|3－2k |＝|2－3k |，得k ＝－1或k ＝32，或k ＝1. 故直线方程为y ＝－x ＋5或y ＝32x 或y ＝x ＋1.。